- •Справочник магнитного диска (Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования)
- •Введение
- •1. Случайные события
- •1.1. Пространство элементарных исходов
- •1.2. События, действия над ними
- •1.3. Сигма-алгебра событий
- •1.4. Решение типовых примеров
- •2. Вероятность
- •2.1. Классическое определение вероятности
- •2.2. Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики
- •2.3. Геометрическое определение вероятности
- •2.4. Статистическое определение вероятности
- •2.5. Аксиоматическое определение вероятности
- •2.6. Решение типовых примеров
- •Вопросы и задачи
- •3. Условная вероятность. Схема Бернулли
- •3.1. Определение условной вероятности
- •3.2. Формула умножения вероятностей
- •3.3. Независимые и зависимые события
- •3.4. Формула полной вероятности
- •3.5. Формула Байеса
- •3.6. Схема Бернулли
- •3.7. Решение типовых примеров
- •4. Одномерные случайные величины
- •4.1. Определение случайной величины
- •4.2. Функция распределения случайной величины
- •4.3. Дискретные случайные величины
- •4.4. Некоторые дискретные случайные величины
- •4.5. Непрерывные случайные величины
- •4.6. Некоторые непрерывные случайные величины
- •4.7. Решение типовых примеров
- •5. Многомерные случайные величины
- •5.1. Многомерная случайная величина. Совместная функция распределения
- •5.2. Дискретные двумерные случайные величины
- •5.3. Непрерывные случайные величины
- •5.4. Независимые случайные величины
- •6. Числовые характеристики случайных величин
- •6.1. Математическое ожидание случайной величины
- •6.2. Математическое ожидание. Свойства математического ожидания
- •6.3. Дисперсия. Моменты высших порядков
- •6.4. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин
- •6.5. Решение типовых примеров
- •7. Условные характеристики случайных величин
- •Условные распределения
- •7.2. Условные числовые характеристики
- •8. Предельные теоремы теории вероятностей
- •Сходимость последовательности случайных величин
- •8.2. Неравенства Чебышева. Закон больших чисел
- •9. Элементы математической статистики
- •9.1. Выборочный метод. Основные понятия
- •9.2. Статистическое распределение. Полигон и гистограмма
- •9.3. Эмпирическая функция распределения
- •9.4 Оценка параметров по выборке. Понятие несмещенности , состоятельности и эффективности оценки
- •9.5. Генеральная средняя. Выборочная средняя.
- •9.6. Генеральная дисперсия. Выборочная дисперсия. Эмпирическая дисперсия
- •9.7. Доверительная вероятность. Доверительный интервал
- •10. Математическая обработка результатов наблюдений
- •10. 1. Измерения и их погрешности. Применение методов математической статистики к обработке результатов наблюдений
- •10. 2. Оценка точного значения измеряемой величины
- •Доверительная оценка при неизвестной точности измерений.
- •10.3. Оценки точности измерений
- •Доверительные оценки средней квадратической погрешности.
- •10.4. Метод наименьших квадратов
- •Стационарные случайные процессы
- •Марковские случайные процессы
- •Процесс Пуассона
- •Случайные процессы с независимыми приращениями
- •12. Понятие о нелинейной регрессии Основные понятия
- •Доверительный интервал для коэффициентов
- •Библиографический список
- •ОгЛавление
- •6.1. Математическое ожидание случайной величины 159
- •10.3. Оценки точности измерений 215
- •3 94026 Воронеж, Московский просп.,14
5. Многомерные случайные величины
В прикладных задачах обычно приходится рассматривать не одну случайную величину, а несколько случайных величин, одновременно измеряемых (наблюдаемых) в эксперименте. При этом с каждым элементарным исходом бывает связан набор числовых значений некоторых количественных параметров.
В этой главе мы обобщим ранее полученные результаты на совокупность из нескольких случайных величин, заданных на одном и том же вероятностном пространстве.
5.1. Многомерная случайная величина. Совместная функция распределения
Определение 5.1. Совокупность случайных величин
Заданных на одном и том же вероятностном пространстве ( ,B, Р), называют многомерной (n-мерной) случайной величиной, или п-мерным случайным вектором. При этом сами случайные величины называют координатами случайного вектора. В частности, при п=1 говорят об одномерной, при п=2 – двумерной случайной величине (или двумерном случайном векторе).
Для n-мерного случайного вектора воспользуемся обозначениями и . В случае двумерных и трехмерных случайных векторов на ряду с обозначениями и будем использовать также обозначения (X, Y) и (X, Y, Z).
Приведем примеры случайных векторов.
Пример 5.1. Отклонение точки разрыва снаряда от точки прицеливания при стрельбе по плоской цели можно задать двумерной случайной величиной (X, Y), где Х – отклонение по дальности, а Y – отклонение в боковом направлении.
При стрельбе по воздушной цели необходимо рассматривать трехмерный случай вектора (X, Y, Z), где X, Y, Z – координаты отклонения точки разрыва зенитного снаряда от точки прицеливания в некоторой пространственной системе координат.
Пример 5.2. При испытании прибора на надежность совокупных внешних воздействий в некоторый момент времени можно описать случайным вектором (X, Y, Z, …). Здесь, например, Х – температура окружающей среды, Y – атмосферное давление, Z – амплитуда вибрации платформы, на которой установлен прибор и т.д. Размерность этого вектора зависит от количества учитываемых факторов и может быть достаточно большой.
Определение 5.2. Функцией распределения (вероятностей)
(п-мерного) случайного вектора называют функцию, значение которой в точке равно вероятности совместного осуществления (пересечения) событий , т.е.
Функцию распределения называют также совместной (п-местной) функцией распределения случайных величин . В частности, при п=1 будем говорить об одномерной, при п=2 – о двумерной функции распределения.
Значение двумерной функции распределения в точке , согласно определению 5.2, представляет собой не что иное, как вероятность попадания точки с координатами в квадрант с вершиной в точке , заштрихованный на рис. 5.1.
Свойства двумерной функции распределения, аналогичные свойствам функции распределения одномерной случайной величины, доказываются в следующей теореме.
Теорема 5.1. Двумерная функция распределения удовлетворяет следующим свойствам.
1) .
2) - неубывающая функция по каждому из аргументов и
3) .
4) .
5) 6) - непрерывная слева в любой точке по каждому из аргументов и функция.
7) .