- •Справочник магнитного диска (Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования)
- •Введение
- •1. Случайные события
- •1.1. Пространство элементарных исходов
- •1.2. События, действия над ними
- •1.3. Сигма-алгебра событий
- •1.4. Решение типовых примеров
- •2. Вероятность
- •2.1. Классическое определение вероятности
- •2.2. Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики
- •2.3. Геометрическое определение вероятности
- •2.4. Статистическое определение вероятности
- •2.5. Аксиоматическое определение вероятности
- •2.6. Решение типовых примеров
- •Вопросы и задачи
- •3. Условная вероятность. Схема Бернулли
- •3.1. Определение условной вероятности
- •3.2. Формула умножения вероятностей
- •3.3. Независимые и зависимые события
- •3.4. Формула полной вероятности
- •3.5. Формула Байеса
- •3.6. Схема Бернулли
- •3.7. Решение типовых примеров
- •4. Одномерные случайные величины
- •4.1. Определение случайной величины
- •4.2. Функция распределения случайной величины
- •4.3. Дискретные случайные величины
- •4.4. Некоторые дискретные случайные величины
- •4.5. Непрерывные случайные величины
- •4.6. Некоторые непрерывные случайные величины
- •4.7. Решение типовых примеров
- •5. Многомерные случайные величины
- •5.1. Многомерная случайная величина. Совместная функция распределения
- •5.2. Дискретные двумерные случайные величины
- •5.3. Непрерывные случайные величины
- •5.4. Независимые случайные величины
- •6. Числовые характеристики случайных величин
- •6.1. Математическое ожидание случайной величины
- •6.2. Математическое ожидание. Свойства математического ожидания
- •6.3. Дисперсия. Моменты высших порядков
- •6.4. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин
- •6.5. Решение типовых примеров
- •7. Условные характеристики случайных величин
- •Условные распределения
- •7.2. Условные числовые характеристики
- •8. Предельные теоремы теории вероятностей
- •Сходимость последовательности случайных величин
- •8.2. Неравенства Чебышева. Закон больших чисел
- •9. Элементы математической статистики
- •9.1. Выборочный метод. Основные понятия
- •9.2. Статистическое распределение. Полигон и гистограмма
- •9.3. Эмпирическая функция распределения
- •9.4 Оценка параметров по выборке. Понятие несмещенности , состоятельности и эффективности оценки
- •9.5. Генеральная средняя. Выборочная средняя.
- •9.6. Генеральная дисперсия. Выборочная дисперсия. Эмпирическая дисперсия
- •9.7. Доверительная вероятность. Доверительный интервал
- •10. Математическая обработка результатов наблюдений
- •10. 1. Измерения и их погрешности. Применение методов математической статистики к обработке результатов наблюдений
- •10. 2. Оценка точного значения измеряемой величины
- •Доверительная оценка при неизвестной точности измерений.
- •10.3. Оценки точности измерений
- •Доверительные оценки средней квадратической погрешности.
- •10.4. Метод наименьших квадратов
- •Стационарные случайные процессы
- •Марковские случайные процессы
- •Процесс Пуассона
- •Случайные процессы с независимыми приращениями
- •12. Понятие о нелинейной регрессии Основные понятия
- •Доверительный интервал для коэффициентов
- •Библиографический список
- •ОгЛавление
- •6.1. Математическое ожидание случайной величины 159
- •10.3. Оценки точности измерений 215
- •3 94026 Воронеж, Московский просп.,14
6.3. Дисперсия. Моменты высших порядков
Две случайные величины могут иметь одинаковые средние значения, но их возможные значения будут по-разному рассеиваться вокруг этого среднего. Например, средний балл на экзамене в двух группах равен „4”, но в первой группе почти все студенты получили „4”, а во второй группе „четверочников” нет вообще, но есть как „пятерочники”, так и „троечники”. Поэтому, наряду со средним значением, хотелось бы иметь и число, характеризующее „разброс” случайной величины относительно своего среднего значения. Такой характеристикой обычно служит дисперсия. Кроме дисперсии можно предложить и другие меры разброса, например центральные моменты любого четного порядка, которые также будут определены в этом параграфе. Однако именно использование дисперсии и других характеристик второго порядка (ковариаций) позволяет применить в теории вероятностей сильно развитый аппарат гильбертовых пространств.
Определение 6.4. Вторым начальным моментом (обычно опускают слово „начальный”) случайной величины X называют математическое ожидание квадрата
:
для дискретной случайной величины X и
для непрерывной.
Определение 6.5. Дисперсией D(X) случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от ее среднего значения, т.е.
.
Используя формулы (7.1)-(7.4), в которых положено
,
легко написать расчетные формулы для дисперсий дискретной и непрерывной случайных величин соответственно:
(6.6)
и
. (6.7)
Замечание 6.4. Из определения непосредственно следует, что дисперсия любой случайной величины является неотрицательным числом.
Дисперсия D(Х) представляет собой второй момент центрированной (имеющей нулевое математическое ожидание) случайной величины
.
Поэтому иногда дисперсию называют вторым центральным моментом случайной величины.
Дисперсия имеет аналог в теоретической механике — центральный (относительно центра масс) момент инерции массы, распределенной на оси с линейной плотностью р(х).
Выведем некоторые свойства дисперсии.
Теорема 6.2. Дисперсия удовлетворяет следующим свойствам.
Если случайная величина X принимает всего одно значение С с вероятностью единица, то D(C) = 0.
.
.
D(X + Y) = D(X) + D(Y) для независимых случайных величин X и Y.
Если случайная величина X с вероятностью единица принимает всего одно значение С, то в силу свойства 1 математического ожидания (M(X) = С) получаем
,
откуда вытекает утверждение 1.
Определим дисперсию случайной величины
Y = аХ + b.
Используя свойство 2 математического ожидания, имеем
Поэтому справедливо утверждение 2.
Далее, согласно свойствам 2 и 3 математического ожидания, получаем
т.е. приходим к утверждению 3. Наконец, пусть X и Y – независимые случайные величины. Тогда, используя независимость случайных величин (см. лемму 1)
и ,
а также свойства 2-4 математического ожидания, получаем
Поскольку и . Значит, имеет место утверждение 4.
Замечание 6.7. Очевидно, что свойство 4 справедливо для суммы не только двух, но и любого числа п попарно независимых случайных величин
.
Пример 6.3. Найдем дисперсию случайной величины X, распределенной по закону Пуассона. Для этого воспользуемся свойством 3 дисперсии. Математическое ожидание было найдено в примере 6.1. Определим второй момент:
Таким образом,
,
и, значит, дисперсия X, так же как и математическое ожидание, совпадает с параметром .
Пример 6.4. Пусть X — число успехов в п испытаниях по схеме Бернулли. Дисперсию X и математическое ожидание можно вычислить непосредственно воспользоваться определением . Однако мы поступим другим образом. Для этого представим Х в виде суммы: Дисперсия каждого слагаемого равна:
Учитывая, что случайные величины являются независимыми, в силу свойства 4 дисперсии получаем
Пример 6.5. Дисперсия равномерно распределенной на отрезке [a,b] случайной величины Х определяется формулой