- •Введение
- •1. Лекции
- •1.1. Проблемная лекция
- •1. Тема «Кривые второго порядка»
- •2. Тема «Свойства функций, непрерывных на отрезке»
- •3. Тема «Обыкновенные дифференциальные уравнения»
- •1.2 Лекция-визуализация
- •1.3. Лекция-конференция
- •1.4. Лекция-беседа
- •2. Практические занятия
- •2.1. Лабораторные работы
- •2.2. Элементы компьютерных симуляций
- •2.3. Дидактические игры
- •2.4. Решение сюжетных и профессионально-ориентированных задач
- •2.5. Составление опорных конспектов
- •Основные виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •Исследование знакопеременного ряда на сходимость
- •3. Самостоятельная работа студентов
- •На сайте http://www.Mathtest.Ru (тесты по математике online) можно за 15 минут или быстрее проверить свой уровень знаний по математике за любой раздел первого курса.
- •3.1. Использование рабочих тетрадей
- •Фрагмент рабочей тетради по теме «Кратные интегралы»
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Фрагменты рабочей тетради по теме «Степенные ряды»
- •3.2. Работа над учебными проектами
- •4) Проект «Сборник профессиональных задач»
- •5) Проекты, связанные с опредмечиванием математических объектов
- •6) Игровые проекты
- •3.3. Обучающее тестирование
- •Литература
- •Оглавление
- •4) Проект «Сборник профессиональных задач» 134
- •5) Проекты, связанные с опредмечиванием математических объектов 137
- •6) Игровые проекты 138
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
Задачи для самостоятельного решения:
1) Вычислите двойные интегралы, взятые по прямоугольным областям интегрирования D, заданным условиями в скобках:
а) (Ответ: /12);
б) (Ответ: – 2);.
2 ) Представьте двойной интеграл , где D – области, указанные на рис. 3.2 а, б, в, г, в виде суммы двукратных интегралов (с наименьшим числом слагаемых). Фигуры, показанные на рис. 3.2 в, г, составлены из прямых линий и дуг окружностей.
3) Вычислите двойной интеграл , если D – область, ограниченная параболами и (Ответ: 33/140).
4) Вычислите двойной интеграл , если D – область, ограниченная линиями и , .
5) Вычислите двойной интеграл , если D – параллелограмм, ограниченный прямыми , , , .
6) Вычислите двойной интеграл , если D – треугольник с вершинами в точках: O(0; 0), A(0; 1), B(1; 1). Можно ли вычислить данный интеграл, сводя его к повторному первым способом (случай 2.1)? вторым способом (случай 2.2)?
7) Вычислите двойной интеграл по области D, заключенной между двумя квадратами с центрами в начале координат и сторонами, параллельными осям координат, если сторона внутреннего квадрата равна 2, а внешнего – 4.
Фрагменты рабочей тетради по теме «Степенные ряды»
Проведите доказательство формулы Эйлера
с помощью степенных рядов.
Воспользуйтесь разложениями в ряд Маклорена следующих элементарных функций:
, (3.1)
, (3.2)
. (3.3)
Эти разложения справедливы для любой точки x числовой прямой.
Замените в выражении (3.1) x на ix с учетом того, что
, , , для .
,
. (3.4)
Сравните правые части выражений (3.4), (3.2), (3.3).
Исторические сведения:
Степенные ряды начали широко использоваться в математике с работ И. Ньютона.
Формула бинома Ньютона для натурального показателя
,
где , была известна задолго до рождения великого ученого.
Его заслуга заключалась в распространении этого результата на дробные показатели. По аналогии с известной формулой он пришел к равенству
,
для произвольного рационального r. Строгое доказательство этой формулы было дано значительно позже (1811) Гауссом. Для натурального показателя, т.е. для , коэффициенты при , поэтому в правой части остается многочлен. Но если r не является натуральным числом, этого не происходит и правая часть представляет собой бесконечную сумму степенных функций.
Бесконечную сумму степенных функций с произвольными действительными коэффициентами называют степенным рядом.
Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии:
.
Ее знаменатель . Ряд сходится при . Интегрируя обе части равенства на отрезке [0; x], , получим:
.
С другой стороны, .
В результате имеем разложение в степенной ряд еще одной функции:
. (3.5)
Оно справедливо для всех .
Разложение это впервые встречается в «Научном сборнике» (1501) индийского математика Нилоканты в виде
.
При x = 1 разложение (3.5) превращается в равенство
. (3.6)
Этот ряд позволяет вычислить число с любой степенью точности, однако сделать это трудно: ряд (3.6) сходится очень медленно.
Например, для получения значения с точностью до 0,01 надо вычислить сумму 50 первых слагаемых (докажите самостоятельно). Эйлер для устранения этого недостатка использовал тождество
.
Полученные ряды
, .
сходятся гораздо быстрее ряда (3.6). Покажите самостоятельно, что достаточно взять только по три первых слагаемых этих рядов, чтобы получить значение с двумя верными знаками после запятой.
Фрагмент рабочего документа MathCAD с исследованием ряда Маклорена для функции
Построены график функции и графики многочленов пятой степени (взяли первые три члена ряда) и пятнадцатой степени (взяли первые восемь членов ряда).
По рисунку видно, что приближение функции рядом Маклорена имеет локальный характер: функция хорошо аппроксимируется частичными суммами ряда Маклорена в окрестности точки 0. Аппроксимация тем лучше, чем больше членов ряда мы берем.
Задание. Исследуйте графически поведение заданной функции и частичных сумм ее ряда Маклорена.
Применение рабочих тетрадей при работе со студентами позволяет преподавателю:
– усилить наглядность и «яркость» обучения (в тетради содержится наглядный материал в виде опорных конспектов, схем, таблиц, рисунков и т. п., задания на упорядочение информации, на построение графиков и др.);
– расширить виды деятельности на занятии (преподаватель может вести диалог со студентами, вовлекать их в дискуссию, побуждать к рассуждениям, совместному доказательству и выводам; осуществлять обучение через игровую или практическую деятельность; проводить контроль над качеством усвоения изучаемого материала);
– учесть индивидуальные особенности студентов (студент имеет возможность выбирать задания, которые соответствуют его творческому потенциалу).
Комплект рабочих тетрадей по высшей математике призван оказать студентам младших курсов реальную помощь в выполнении заданий по ряду сложных разделов высшей математики, научить их самостоятельно работать и тем самым повысить качество получаемого студентами образования, активизировать познавательную самостоятельность студентов.