- •Введение
- •1. Лекции
- •1.1. Проблемная лекция
- •1. Тема «Кривые второго порядка»
- •2. Тема «Свойства функций, непрерывных на отрезке»
- •3. Тема «Обыкновенные дифференциальные уравнения»
- •1.2 Лекция-визуализация
- •1.3. Лекция-конференция
- •1.4. Лекция-беседа
- •2. Практические занятия
- •2.1. Лабораторные работы
- •2.2. Элементы компьютерных симуляций
- •2.3. Дидактические игры
- •2.4. Решение сюжетных и профессионально-ориентированных задач
- •2.5. Составление опорных конспектов
- •Основные виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •Исследование знакопеременного ряда на сходимость
- •3. Самостоятельная работа студентов
- •На сайте http://www.Mathtest.Ru (тесты по математике online) можно за 15 минут или быстрее проверить свой уровень знаний по математике за любой раздел первого курса.
- •3.1. Использование рабочих тетрадей
- •Фрагмент рабочей тетради по теме «Кратные интегралы»
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Фрагменты рабочей тетради по теме «Степенные ряды»
- •3.2. Работа над учебными проектами
- •4) Проект «Сборник профессиональных задач»
- •5) Проекты, связанные с опредмечиванием математических объектов
- •6) Игровые проекты
- •3.3. Обучающее тестирование
- •Литература
- •Оглавление
- •4) Проект «Сборник профессиональных задач» 134
- •5) Проекты, связанные с опредмечиванием математических объектов 137
- •6) Игровые проекты 138
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
3. Тема «Обыкновенные дифференциальные уравнения»
Обычно изложению темы «Обыкновенные дифференциальные уравнения» предшествует рассмотрение практической задачи из какой-либо предметной области, приводящей к дифференциальному уравнению.
Однако общая постановка задач, приведших к появлению дифференциальных уравнений, возникла не из запросов практики, а в недрах самой математики. Как только задачи на проведение касательных к кривым свелись к вычислению производных, они потеряли свою привлекательность для ученых. Их решение теперь состояло в применении известных правил и не требовало творчества. Внимание математиков переключается на более сложные обратные задачи на касательные. Так назывались задачи, в которых требуется найти кривые по заданным свойствам касательных к ним.
Первые обратные задачи на касательные сформулировал в 1638 г. французский математик Флоримон де Бон.
В этой связи студентам можно сначала предложить, например, такую задачу: Найти все кривые, обладающие следующим свойством: если в любой точке кривой провести касательную, то отрезок касательной, заключенный между осями координат, будет делиться в точке касания пополам (рис. 1.4).
Р ешение. Пусть – искомая кривая. Обозначим через X и Y координаты точек касательной к этой кривой и запишем уравнение этой касательной в точке : .
Найдем точки пересечения касательной с осями координат:
A: X = 0 ; B: Y = 0 .
Так как точка касания M – середина отрезка AB, то
и ,
откуда следует, что искомая кривая должна удовлетворять соотношению
.
Для решения задачи по ее условию составлено уравнение, выражающее зависимость между искомой функцией, ее аргументом и производной; оно называется дифференциальным.
Легко убедиться, что функции вида , где C – произвольная постоянная, дают все решения полученного уравнения:
, ,
(две первообразные одной функции отличаются на постоянную),
( ), .
Далее, поскольку к дифференциальным уравнениям приводит множество практических задач, полезно рассмотреть также другие, сначала достаточно простые, затем – более содержательные, задачи из физики, техники, экономики или других областей, приводящие к дифференциальным уравнениям: о радиоактивном распаде, об охлаждении тела, о движении моторной лодки, о потере заряда проводником, о концентрации раствора, об износе оборудования, о зависимости давления воздуха от высоты над уровнем моря и т. п. Сюжет задачи определяется направлением подготовки студентов [1], [3], [11], [16].
Например, студентам технических направлений можно предложить установить зависимость между переменной массой и скоростью летящей ракеты [47].
Рассмотрим движение ракеты в космосе. Для простоты пренебрежем всеми внешними силами, действующими на ракету. Основными параметрами, характеризующими ракету и ее двигатель, являются: – скорость истечения газов из сопла ракеты относительно корпуса ракеты, для простоты считаем ее постоянной, она зависит от вида применяемого топлива; – исходная масса ракеты с горючим; – конечная масса ракеты после выгорания всего горючего.
Напишем уравнение движения ракеты, считая, что она движется по прямой линии. Пусть – координата ракеты (вдоль этой прямой) в момент времени t; – скорость ракеты в момент времени t; – масса ракеты в момент времени t (эта масса уменьшается по мере сгорания горючего).
Воспользуемся законом сохранения импульса (количества движения). При этом удобно ввести мгновенную систему координат, связанную с летящей ракетой (точнее, равномерно движущуюся той скоростью, с которой ракета движется в момент времени t). В этой системе координат скорость ракеты (и имеющегося в ней топлива) в момент времени t равна нулю. Рассмотрим момент времени в этой же системе координат. Предположим, что за это время в ракете сгорело и вылетело из нее топливо массой . Скорость самой ракеты (с остатками топлива увеличилась на и в рассматриваемой системе координат стала равной , в то время как скорость вылетевшего топлива равна (с учетом направления).
Суммарный импульс в момент примерно равен с точностью, растущей с уменьшением (здесь неточность связана с тем, что со временем меняется масса и, кроме того, скорость вылета горючего в рассматриваемой системе координат будет равна лишь в момент времени t, так как дальше сама ракета начнет двигаться). Приравнивая суммарный импульс к нулю, получим .
Деля обе части на и переходя к пределу при , получим точное равенство (дифференциальное уравнение) .
Это уравнение легко решается и без знания специальных приемов:
, или , откуда .
При , и уравнение принимает вид , т. е. , поэтому .
В момент, когда все топливо израсходовано, получим ,
.
Эта формула называется формулой Циолковского.
Ракета может достичь скорости, большей, чем скорость истечения газов из сопла, хотя для этого отношение массы ракеты с топливом к массе ракеты без топлива должно быть очень велико. Для увеличения отношения на разных этапах полета ракеты делают многоступенчатыми.
Можно отметить, что полученная формула годится лишь для движения в вакууме и при отсутствии силы тяжести. Учет сопротивления воздуха и земного тяготения намного усложняет дифференциальное уравнение.
Изложение темы «Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами» в учебных пособиях начинается обычно так: «Пусть дано однородное дифференциальное уравнение второго порядка , где p и q – постоянные действительные числа. Будем искать частные решения в виде: , где ; тогда , , ...» и т. д.
Искусственность этого приема вызывает у студентов вопрос: «А каким образом можно все же догадаться искать решения данного уравнения именно в форме ?»
Более правильным можно считать следующий прием решения этого вопроса. Левая часть этого уравнения представляет собой сумму самой функции y и ее производных , взятых с некоторыми постоянными коэффициентами. Чтобы такая сумма тождественно равнялась нулю, надо чтобы были похожи, отличались друг от друга постоянными множителями. Поэтому, например, ни одна из функций , , , никак не может оказаться решением данного уравнения.
Аудитории ставится вопрос: «Не помните ли такую функцию, у которой производные похожи на саму функцию?» Ответ: « , , , ...» –обычно поступает немедленно. Только после этого можно заявить: «Итак, частные решения будем искать в виде ».