- •Введение
- •Отчитаться перед преподавателем.
- •Занятие 1
- •1. Основные понятия, формулы и теоремы
- •2. Основные навыки и умения
- •3. Контрольные вопросы
- •4. Типичные задачи
- •5. Ответы к задачам
- •6. Примеры решения задач по теме занятия
- •1. Основные понятия, формулы и теоремы
- •3. Контрольные вопросы
- •4. Типичные задачи
- •5. Ответы к задачам
- •6. Примеры решения задач по теме занятия
- •7. Задачи для самостоятельного решения
- •8. Ответы к задачам
- •Занятие 3
- •1. Основные понятия, формулы и теоремы
- •2. Основные навыки и умения
- •3. Контрольные вопросы
- •4. Типичные задачи
- •5. Ответы к задачам
- •6. Примеры решения задач по теме занятия
- •7. Задачи для самостоятельного решения
- •9. Форма отчетности: устный опрос или контрольная работа.
- •5. Ответы к задачам
- •6. Примеры решения задач по теме занятия
- •7. Задачи для самостоятельного решения
- •8. Ответы к задачам
- •Занятие 5
- •1. Основные понятия, формулы и теоремы
- •2. Основные навыки и умения
- •3. Контрольные вопросы
- •4. Типичные задачи
- •5. Ответы к задачам
- •6. Примеры решения задач по теме занятия
- •7. Задачи для самостоятельного решения
- •8. Ответы к задачам
- •Занятие 6
- •1. Основные понятия, формулы и теоремы
- •2. Основные навыки и умения
- •3. Контрольные вопросы
- •4. Типичные задачи
- •Случайная величина задана интегральной функцией при
- •5. Ответы к задачам
- •6. Примеры решения задач по теме занятия
- •7. Задачи для самостоятельного решения
- •8. Ответы к задачам
- •Приложение
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Методические указания
- •Составители: Бырдин Аркадий Петрович
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3. Контрольные вопросы
3.1. Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка?
3.2. Сформулируйте теорему о дифференцировании оригинала. Какие изображения будут иметь первая и вторая ( и ) производные оригинала?
Как перейти в дифференциальном уравнении от оригинала к изображению?
В чем состоит метод Крамера и метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений?
Назовите 4 типа элементарных рациональных дробей. В чем заключается метод неопределенных коэффициентов представления рациональной дроби в виде суммы элементарных дробей?
С помощью таблицы найдите оригинал, соответствующий изображению .
4. Типичные задачи
4.1. Найти решение уравнения при начальных условиях , .
Найти решение уравнения при начальных условиях , , .
Найти решение системы дифференциальных уравнений
при начальных условиях
5. Ответы к задачам
4.1. . 4.2. 4.3.
6. Примеры решения задач по теме занятия
1. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .
Решение. Пусть . По теореме о дифференцировании оригинала и таблице изображений получим изображающее уравнение
Подставляя начальные данные, имеем
Отсюда находим .
Разложим дробь на сумму простейших дробей
и получим систему уравнений для определения коэффициентов и
Отсюда находим , Таким образом, имеем
.
По таблице изображений находим решение уравнения в пространстве оригиналов
2. Найти общее решение уравнения
.
Решение. По таблице изображений находим
.
Полагая , имеем
где числа и играют роль произвольных постоянных.
Изображающее уравнение имеет вид
.
Отсюда
.
Преобразуем первое слагаемое для и найдем по таблице соответствующий ему оригинал
Для второго слагаемого имеем
Для отыскания оригинала последнего слагаемого разложим его на простейшие дроби
.
Система уравнений для определения коэффициентов разложения имеет вид
Откуда находим , , . Следовательно,
Собирая оригиналы всех слагаемых, находим решение уравнения
.
Положим , , получим
3. Найти решение уравнения при начальных условиях
Решение. Найдем прежде всего изображение правой части. Так как (формула 12), то по теореме затухания . Учитывая, что и составим операторное уравнение:
;
отсюда .
Оригинал для первого слагаемого находим по формуле, указанной выше. Так как , то (теорема смещения в изображении).
Второе слагаемое запишем в виде
.
Тогда и окончательно
.
4. Найти решение системы дифференциальных уравнений
при начальных условиях
Решение. Если считать, что и , то по теореме дифференцирования оригинала и (для краткости записи мы не пишем аргументы функций). Система операторных уравнений примет вид
или, после преобразования,
В результате мы получили систему алгебраических линейных уравнений относительно неизвестных изображений и Решая эту систему, находим
и, возвращаясь к оригиналам,
5. Найти решение однородной системы
при начальных условиях
.
Решение. Система операторных уравнений запишется в виде
Эту систему решим при помощи определителей. Определитель системы равен
Вычислим его, опираясь на свойства определителей (сначала к первому столбцу прибавим оба остальных столбца, а затем из второй и третьей строк вычтем первую; в результате этих преобразований определитель не изменится):
= .
Вычислим определители
=
=
=
Теперь находим изображения искомых решений:
Для перехода к оригиналам воспользуемся формулой, согласно которой:
Применяя теорему дифференцирования оригинала, находим .
Снова применяя эту же теорему, получим (каждый раз значение оригинала при равно нулю)