- •Введение
- •1. Теория колебаний
- •1.1. Устойчивость положения равновесия
- •1.1.1. Определение устойчивости положения равновесия
- •1.1.2. Теорема Лагранжа–Дирихле
- •1.2. Колебания системы с одной степенью свободы
- •1.2.1. Собственные линейные колебания системы
- •Дифференциальное уравнение собственных линейных колебаний системы
- •Интегрирование дифференциального уравнения собственных колебаний
- •1.2.2. Влияние линейного сопротивления на малые собственные колебания системы с одной степенью свободы
- •Интегрирование дифференциального уравнения движения
- •Затухающие колебания
- •Затухающие движения
- •1.2.3. Вынужденные колебания системы без учета сопротивления
- •Основные свойства вынужденных колебаний
- •Исследование вынужденных колебаний
- •Общие свойства вынужденных колебаний
- •Основы виброзащиты
- •1.3. Математический и физический маятники
- •1.4. Малые колебания системы с двумя степенями свободы (результат для общего случая)
- •1.4.1. Кинетическая энергия
- •1.4.2. Потенциальная энергия
- •1.4.3. Диссипативная функция
- •1.4.4. Дифференциальные уравнения собственных колебаний
- •1.4.5. Интегрирование дифференциальных уравнений. Уравнение частот
- •1.4.6. Главные координаты
- •1.4.7. Влияние линейного сопротивления на собственные колебания
- •1.4.8. Вынужденные колебания без учета сопротивления
- •1.4.9. Влияние линейного сопротивления на вынужденные колебания
- •2. Теория удара
- •2.1. Основные положения и понятия теории удара
- •2.2. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс для удара. Теорема Кельвина
- •2.3. Теорема об изменении кинетического момента при ударе
- •2.4. Удар точки о неподвижную поверхность
- •2.4.1. Прямой удар
- •2.4.2. Косой удар
- •2.4.3. Экспериментальное определение коэффициента восстановления
- •2.5. Теорема Карно
- •2.6. Удар двух тел
- •2.7. Центр удара
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.4. Малые колебания системы с двумя степенями свободы (результат для общего случая)
Дифференциальные уравнения малых колебаний системы с двумя степенями свободы получим из уравнений Лагранжа:
1, . (56)
Каждая из обобщенных сил в общем случае состоит из трех сил: обобщенной силы от потенциальных сил , сил сопротивления , возмущающих сил .
Для рассмотрения малых колебаний системы в окрестности устойчивого положения равновесия необходимо получить разложения в ряды кинетической и потенциальной энергий и диссипативной функции.
1.4.1. Кинетическая энергия
Кинетическая энергия системы вычисляется по формуле
.
Для системы с двумя степенями свободы, на которую наложены стационарные, идеальные, голономные, неосвобождающие связи, радиус-вектор каждой точки является функцией только обобщенных координат , . При движении системы обобщенные координаты и зависят от времени. Следовательно, производная по времени от радиус вектора
.
Подставляя ее в выражение кинетической энергии, получаем
,
где введены обозначения
, ,
.
Величины , , зависят только от и , как и , инее зависят от и . Разложим каждую из этих функций в ряд по степеням и в окрестности положения равновесия, приняв в положении равновесия . Имеем для
.
Индекс 0 здесь и далее указывает, что эти величины следует вычислять при . Аналогичные разложения получаются для , . Введем обозначения
; ; .
Постоянные величины , , называются коэффициентами инерции системы. Отбрасывая члены третьего и более высокого порядков по отношению к , , , , получаем следующее выражение для кинетической энергии
. (57)
Однородной квадратичной формой двух переменных и называют выражения вида
,
где , , – постоянные величины, не все равные нулю.
Квадратичная форма, которая принимает только положительные значения в области изменения переменных и и равна нулю только при нулевых значениях переменных, называется определенно-положительной.
Если пренебречь слагаемыми третьего и более высокого порядка, кинетическая энергия системы в окрестности положения равновесия будет однородной квадратичной формой обобщенных скоростей , . Так как кинетическая энергия всегда положительна и равна нулю только при нулевых значениях обобщенных скоростей, то выражается вблизи положения равновесия системы определенно-положительной квадратичной формой обобщенных скоростей.
Для того что бы квадратичная форма была определенно-положительной, необходимо и достаточно, чтобы ее коэффициенты удовлетворяли условиям
; ; . (58)
Получим эти условия. Пусть – определенно-положительная квадратичная форма. Тогда, если при , , то . Аналогично из условия, что при , , следует что . Это необходимые условия определенной положительности квадратичной формы, но они недостаточны, так как может стать отрицательной вследствие того, что имеет достаточное по величине отрицательное значение.
Преобразуем квадратичную форму, введя переменную , если в рассматриваемой области не равна нулю. В противном случае можно поменять местами и . Квадратичная форма примет вид
.
Для того чтобы была всюду положительной в области рассматриваемых значений , необходимо и достаточно, чтобы квадратное уравнение
не имело действительных корней, т.е. парабола
,
для которой и , целиком располагалась над осью абсцисс.
Для этого дискриминант квадратного уравнения должен быть отрицательным, т.е.
или .
Условия (58) доказаны.
Так как кинетическая энергия в окрестности положения равновесия представляется определенно-положительной квадратичной формулой, то ее коэффициенты должны удовлетворять условиям (58); поэтому для , , имеем
; ; . (59)
Для системы с любым конечным числом степеней свободны кинетическая энергия в окрестности положения равновесия выражается однородной квадратичной формой
.
Условия ее определенной положительности таковы:
, ,
, … , .