- •Введение
- •1. Теория колебаний
- •1.1. Устойчивость положения равновесия
- •1.1.1. Определение устойчивости положения равновесия
- •1.1.2. Теорема Лагранжа–Дирихле
- •1.2. Колебания системы с одной степенью свободы
- •1.2.1. Собственные линейные колебания системы
- •Дифференциальное уравнение собственных линейных колебаний системы
- •Интегрирование дифференциального уравнения собственных колебаний
- •1.2.2. Влияние линейного сопротивления на малые собственные колебания системы с одной степенью свободы
- •Интегрирование дифференциального уравнения движения
- •Затухающие колебания
- •Затухающие движения
- •1.2.3. Вынужденные колебания системы без учета сопротивления
- •Основные свойства вынужденных колебаний
- •Исследование вынужденных колебаний
- •Общие свойства вынужденных колебаний
- •Основы виброзащиты
- •1.3. Математический и физический маятники
- •1.4. Малые колебания системы с двумя степенями свободы (результат для общего случая)
- •1.4.1. Кинетическая энергия
- •1.4.2. Потенциальная энергия
- •1.4.3. Диссипативная функция
- •1.4.4. Дифференциальные уравнения собственных колебаний
- •1.4.5. Интегрирование дифференциальных уравнений. Уравнение частот
- •1.4.6. Главные координаты
- •1.4.7. Влияние линейного сопротивления на собственные колебания
- •1.4.8. Вынужденные колебания без учета сопротивления
- •1.4.9. Влияние линейного сопротивления на вынужденные колебания
- •2. Теория удара
- •2.1. Основные положения и понятия теории удара
- •2.2. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс для удара. Теорема Кельвина
- •2.3. Теорема об изменении кинетического момента при ударе
- •2.4. Удар точки о неподвижную поверхность
- •2.4.1. Прямой удар
- •2.4.2. Косой удар
- •2.4.3. Экспериментальное определение коэффициента восстановления
- •2.5. Теорема Карно
- •2.6. Удар двух тел
- •2.7. Центр удара
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.4.9. Влияние линейного сопротивления на вынужденные колебания
Так как использование главных координат при учете линейного сопротивления не ведет к существенным упрощениям системы дифференциальных уравнений, но в то же время нарушает симметрию, то целесообразно использовать обобщенные координаты и . В этом случае кинетическая и потенциальная энергии выражаются формулами (57) и (60), а диссипативная функция – (62)
Обобщенные возмущающие силы считаем гармоническими:
; .
Подставляя эти значения указанных величин в уравнения Лагранжа (56), получаем следующую систему линейных дифференциальных уравнений колебаний с учетом линейного сопротивления:
;
. (97)
Решение системы уравнений (97) для каждой координаты является суммой собственных движений , и вынужденных колебаний , :
; .
В зависимости от корней характеристического уравнения для однородной системы уравнений, которая получается из (97) путем отбрасывания правых частей, они могут быть линейной комбинацией затухающих колебаний с затухающими непериодическими движениями или этими движениями по отдельности.
Рассмотрим вынужденные колебания , . Они являются частными решениями системы уравнений (97). В этом случае их следует искать в форме
(98)
Постоянные , , , связаны с постоянными , , , соотношениями
(99)
и соответственно амплитуды , и сдвиги фаз ,
(100)
Подставим (98) в систему уравнений (97). Получим тождества справедливые для любого момента времени. Если в каждом тождестве собрать отдельно члены с синусами и косинусами, то коэффициенты при них должны быть равны нулю. Это дает систему уравнений для определения неизвестных , , , :
(101)
Можно доказать, что это система неоднородных линейных уравнений, т. е. ее определитель не равен нулю ни при каких значениях . Решая систему уравнений (101), можно сделать выводы о влиянии линейного сопротивления на вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы. Как и для случая системы с одной степенью свободы, вынужденные колебания являются незатухающими гармоническими колебаниями и происходят с частотой возмущающей силы. Они не зависят от начальных условий. При резонансе амплитуды вынужденных колебаний остаются постоянными в отличии от случая отсутствия сопротивления.
В случае системы с степенями свободы выводы о влиянии линейного сопротивления на вынужденные колебания остаются прежними.
Более сложные колебания совершают системы с бесконечным числом степеней свободы, как, например, различные типы сплошных сред. В некоторых случаях их можно с достаточной точностью заменить системой с конечным числом степеней свободы.
Для сплошных сред дифференциальные уравнения движения будут уравнениями в частных производных в отличие от систем с конечным числом степеней свободы, для которых дифференциальные уравнения являются обыкновенными.
2. Теория удара
2.1. Основные положения и понятия теории удара
Ударом называют явление, при котором за малый промежуток времени, т.е. почти мгновенно, скорости части или всех точек системы изменяются на конечные величины по сравнению с их значениями непосредственно перед ударом или после него. Длительность удара составляет обычно десятые и меньшие части долей секунды.
И зменение скоростей точек при ударе на конечные величины связано с большими ударными ускорениями этих точек, возникновение которых требует больших ударных сил.
Е
Рис. 18
. (102)
Ударный импульс графически изображен на рис. 18 заштрихованной площадью, ограниченной кривой линией изменения ударной силы, и осью абсцисс, по которой откладывается время.
Иногда рассматривают среднюю ударную силу – постоянную в течение удара силу, которая за время удара дает такой же ударный импульс, как и переменная ударная сила. Средняя ударная сила определяется из соотношения
. (103)
Большие ударные силы дают конечные ударные импульсы за малое время удара. Средняя ударная сила, согласно ее определению, имеет величину порядка , т. е. при малом является величиной большой.
Импульс неударной силы, например силы тяжести тела, за время удара имеет порядок величины , т. е. является величиной малой по сравнению с ударными импульсами. Поэтому импульсами неударных сил можно пренебрегать по сравнению с ударными импульсами.
При ударе двух тел в месте их соприкосновения возникают деформации и, следовательно, перемещения точек тел, обусловленные деформациями. Вследствие малости деформаций по сравнению с перемещениями точек тел за конечный промежуток времени перемещения точек тел за время удара являются величинами малыми. В общем случае, если – средняя скорость за время удара какой-либо точки системы, испытывающей удар, то перемещение этой точки имеет порядок величины , так как средняя скорость есть величина конечная. Поэтому перемещениями точек за время удара можно пренебрегать. Считают, что за время удара точки системы не успевают изменить свое положение, а следовательно, не изменяются радиусы-векторы точек и их координаты. Если, например, тело падает на спиральную пружину, то за время удара величина перемещения тела равна сжатию пружины за это время. Этим перемещением можно пренебречь по сравнению, например, с перемещением тела от начала удара тела до момента наибольшей деформации пружины. При ударе пружину можно считать твердым телом в приближенных расчетах при рассмотрении перемещения тела за время удара.
Явление удара широко используется в технике при ковке, штамповке, забивке свай и т.д. Это же явление часто является нежелательным, особенно при ударе деталей в машинах друг о друга вследствие люфтов, при ударе колес транспорта о неровности дороги, стыки рельсов и т. п.
Многие величины, характеризующие удар, с достаточной точностью могут быть получены из общих теорем динамики. Рассмотрим особенности применения этих теорем к явлению удара.