- •Часть 2
- •Введение
- •1. Кинематика точки
- •1.1. Скорость точки
- •1.2. Ускорение точки
- •1.3. Векторный способ изучения движения
- •1.4. Координатный способ изучения движения Задание движения и траектория
- •Скорость в декартовых координатах
- •Уравнение годографа вектора скорости
- •Ускорение точки в декартовых координатах
- •1.5. Естественный способ изучения движения Естественный способ задания движения
- •Скорость точки при естественном способе задания движения
- •Геометрические понятия. Дифференцирование единичного вектора
- •Ускорение точки при естественном способе задания движения
- •Частные случаи движения точки
- •1.6. Скорость и ускорение точки в полярных координатах
- •1.7. Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах
- •1.8. Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах
- •Скорость точки в криволинейных координатах
- •Ускорение в ортогональных криволинейных координатах
- •1.9. Скорость и ускорение точки в сферических координатах
- •2. Простейшие движения твердого тела. Сложное движение точки
- •2.1. Степени свободы и теорема о проекциях скоростей
- •2.2. Поступательное движение твердого тела
- •2.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение
- •Частные случаи вращения твердого тела
- •Скорости и ускорения точек тела
- •Векторы угловой скорости и углового ускорения
- •Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела
- •2.4. Сложное движение точки Основные понятия
- •Сложение скоростей
- •Сложение ускорений при поступательном переносном движении
- •3. Плоское движение твердого тела
- •3.1. Уравнения плоского движения твердого тела
- •3.2. Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное
- •3.3. Угловая скорость и угловое ускорение тела при плоском движении
- •3.4. Скорости точек тела при плоском движении
- •3.5. Мгновенный центр скоростей
- •3.6. Вычисление угловой скорости при плоском движении
- •3.7. Ускорения точек тела при плоском движении
- •3.8. Мгновенный центр ускорений
- •3.9. Основные способы вычисления углового ускорения при плоском движении
- •3.10. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
- •4.10. Мгновенный центр вращения. Центроиды
- •4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела
- •4.1. Углы эйлера. Уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки
- •4.2. Теорема о конечном перемещении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку
- •4.3. Мгновенная ось вращения. Аксоиды
- •4.4. Угловая скорость и угловое ускорение при вращении тела вокруг неподвижной точки
- •4.5. Скорости точек тела при вращательном движении вокруг неподвижной точки
- •4.6. Ускорения точек тела при вращении вокруг неподвижной точки
- •4.7. Вычисление углового ускорения
- •4.8. Общий случай движения свободного твердого тела Разложение движения свободного твердого тела на поступательное и вращательное
- •Уравнения движения свободного твердого тела
- •Скорости и ускорения точек свободного твердого тела в общем случае
- •5. Сложное движение точки в общем случае
- •5.1. Абсолютная и относительная производные от вектора. Формула бура
- •5.2. Сложение скоростей
- •5.3. Сложение ускорений точки в общем случае переносного движения
- •5.4. Ускорение кориолиса
- •6. Сложение движений твердого тела
- •6.1. Сложение поступательных движений твердого тела
- •6.2. Сложение вращательных движений твердого тела Сложение вращений вокруг пересекающихся осей
- •Сложение вращений вокруг параллельных осей
- •6.3. Сложение поступательного и вращательного движений твердого тела
- •Скорость поступательного движения перпендикулярна оси относительного вращения
- •В Рис. 80 Рис. 80 интовое движение
- •Общий случай
- •6.4. Статические аналогии в кинематике
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Часть 2
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1. Кинематика точки
В кинематике точки рассматриваются характеристики движения точки, такие, как скорость, ускорение, и методы их определения при различных способах задания движения. Важным в кинематике точки является понятие траектории. Траекторией точки называется геометрическое место ее последовательных положений в пространстве с течением времени относительно рассматриваемой системы отсчета.
По виду траекторий движения точки делятся на прямолинейные и криволинейные. Форма траектории зависит от выбранной системы отсчета. Одно и то же движение точки может быть прямолинейным относительно одной системы отсчета и криволинейным относительно другой. Например, если с летящего горизонтально Земле с постоянной скоростью самолета отцеплен груз, то, пренебрегая сопротивлением воздуха и учитывая только действие силы тяжести, получим в качестве траектории движения центра масс груза относительно самолета прямую линию, а относительно Земли – параболу.
1.1. Скорость точки
О дной из основных характеристик движения точки является ее скорость относительно выбранной системы отсчета, которая изображена в виде декартовой прямоугольной системы координат (рис. 1).
П
Рис. 1
Средней скоростью точки за время называют отношение , т.е.:
.
Средняя скорость параллельна вектору . В общем случае она зависит от времени осреднения . У нее нет конкретной точки приложения на траектории.
Введем скорость точки в момент , которая определяется как предел средней скорости, если промежуток времени, за который определяется средняя скорость, стремится к нулю, т. е.
.
Скорость точки направлена в сторону ее движения по предельному направлению вектора при , стремящемся к нулю, т.е. по предельному направлению секущей , которая совпадает с касательной к траектории в точке . Таким образом, скорость точки равна первой производной по времени от ее радиуса-вектора. Она направлена по касательной к траектории в сторону движения точки.
Начало радиуса-вектора движущейся точки можно выбрать в любой неподвижной точке. На рис. 1 представлен случай, в котором радиусом-вектором является также с началом в точке . Радиусы-векторы имеют одинаковые изменения и за время и поэтому
. (1)
Размерность скорости в СИ получаем из (1): .
Для характеристики переменного вектора используют понятие его годографа. Годографом вектора называют геометрическое место его концов, если переменный вектор в различные моменты времени откладывать от одной и той же общей точки.
Траектория точки, очевидно, является годографом радиуса-вектора или (рис. 1). Последовательные положения вектора в различные моменты времени откладываются в этом случае от точки , а вектора – от точки .
Первая производная по времени от радиуса-вектора есть скорость точки, направленная по касательной к траектории. Следовательно, параллельно касательной к годографу направлена первая производная по скалярному аргументу от любого переменного вектора.
Г
Рис. 2
б)
а)
При равномерном движении точки по прямой годографом вектора скорости является одна точка; при неравномерном движении – отрезок прямой, параллельный траектории.