- •Часть 2
- •Введение
- •1. Кинематика точки
- •1.1. Скорость точки
- •1.2. Ускорение точки
- •1.3. Векторный способ изучения движения
- •1.4. Координатный способ изучения движения Задание движения и траектория
- •Скорость в декартовых координатах
- •Уравнение годографа вектора скорости
- •Ускорение точки в декартовых координатах
- •1.5. Естественный способ изучения движения Естественный способ задания движения
- •Скорость точки при естественном способе задания движения
- •Геометрические понятия. Дифференцирование единичного вектора
- •Ускорение точки при естественном способе задания движения
- •Частные случаи движения точки
- •1.6. Скорость и ускорение точки в полярных координатах
- •1.7. Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах
- •1.8. Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах
- •Скорость точки в криволинейных координатах
- •Ускорение в ортогональных криволинейных координатах
- •1.9. Скорость и ускорение точки в сферических координатах
- •2. Простейшие движения твердого тела. Сложное движение точки
- •2.1. Степени свободы и теорема о проекциях скоростей
- •2.2. Поступательное движение твердого тела
- •2.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение
- •Частные случаи вращения твердого тела
- •Скорости и ускорения точек тела
- •Векторы угловой скорости и углового ускорения
- •Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела
- •2.4. Сложное движение точки Основные понятия
- •Сложение скоростей
- •Сложение ускорений при поступательном переносном движении
- •3. Плоское движение твердого тела
- •3.1. Уравнения плоского движения твердого тела
- •3.2. Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное
- •3.3. Угловая скорость и угловое ускорение тела при плоском движении
- •3.4. Скорости точек тела при плоском движении
- •3.5. Мгновенный центр скоростей
- •3.6. Вычисление угловой скорости при плоском движении
- •3.7. Ускорения точек тела при плоском движении
- •3.8. Мгновенный центр ускорений
- •3.9. Основные способы вычисления углового ускорения при плоском движении
- •3.10. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
- •4.10. Мгновенный центр вращения. Центроиды
- •4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела
- •4.1. Углы эйлера. Уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки
- •4.2. Теорема о конечном перемещении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку
- •4.3. Мгновенная ось вращения. Аксоиды
- •4.4. Угловая скорость и угловое ускорение при вращении тела вокруг неподвижной точки
- •4.5. Скорости точек тела при вращательном движении вокруг неподвижной точки
- •4.6. Ускорения точек тела при вращении вокруг неподвижной точки
- •4.7. Вычисление углового ускорения
- •4.8. Общий случай движения свободного твердого тела Разложение движения свободного твердого тела на поступательное и вращательное
- •Уравнения движения свободного твердого тела
- •Скорости и ускорения точек свободного твердого тела в общем случае
- •5. Сложное движение точки в общем случае
- •5.1. Абсолютная и относительная производные от вектора. Формула бура
- •5.2. Сложение скоростей
- •5.3. Сложение ускорений точки в общем случае переносного движения
- •5.4. Ускорение кориолиса
- •6. Сложение движений твердого тела
- •6.1. Сложение поступательных движений твердого тела
- •6.2. Сложение вращательных движений твердого тела Сложение вращений вокруг пересекающихся осей
- •Сложение вращений вокруг параллельных осей
- •6.3. Сложение поступательного и вращательного движений твердого тела
- •Скорость поступательного движения перпендикулярна оси относительного вращения
- •В Рис. 80 Рис. 80 интовое движение
- •Общий случай
- •6.4. Статические аналогии в кинематике
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Часть 2
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Частные случаи движения точки
Равномерное движение. При равномерном движении точки по траектории любой формы , следовательно, постоянна и алгебраическая скорость , которая может отличаться от только знаком. Так как
, то , ,
если принять при .
Равнопеременное движение. Равнопеременным движением называют такое движение по траектории любой формы, при котором касательное ускорение . Движение является равноускоренным, если алгебраическая скорость и касательное ускорение имеют одинаковые знаки. Если и , имеют разные знаки, то движение является равнозамедленным.
Получим формулы для алгебраической скорости и расстояния при равнопеременном движении. Имеем
, , ,
следовательно , (21)
если принять при .
Так как , то с учетом (21)
, ,
если при .
Выполняя интегрирование, получим:
. (22)
Из (21) и (22) можно определить любые две неизвестные величины, если известны остальные три величины, входящие в эти формулы.
1.6. Скорость и ускорение точки в полярных координатах
Рассмотрим движение точки по плоскости. В этом случае движение можно задать в полярных координатах. Для этого примем какую-либо точку плоскости за полюс и проведем из нее полярную ось, например ось (рис. 20). Положение движущейся точки на плоскости известно, если заданы радиус-вектор и полярный угол как функции времени, т.е.
, . (23)
П
Рис. 20
Уравнения (23) называются уравнениями движения точки в полярных координатах. Они являются также уравнениями траектории точки в параметрической форме. Если из (23) исключить параметр – время , то получим уравнение траектории в полярных координатах:
.
Введем единичный вектор , направленный по радиусу-вектору от полюса к точке . Тогда
.
Для скорости получаем:
.
Согласно (15), для производной по времени от единичного вектора имеем:
,
где вместо единичного вектора введен единичный вектор , направление которого получается поворотом вектора на 900 в положительном направлении угла , т.е. против часовой стрелки (рис. 20). После этого для скорости точки получаем:
. (24)
Это разложение скорости точки на радиальную и трансверсальную (поперечную) составляющие, т.е.:
, (25)
где , .
Для проекций скорости на оси, положительные направления которых совпадают с направлениями единичных векторов и из (24), получаем:
, . (26)
Они соответственно называются радиальной и трансверсальной скоростями. В зависимости от знаков производных и радиальная и трансверсальная скорости могут быть как положительными, так и отрицательными.
Используя (24), определяем ускорение точки в полярных координатах. Имеем
.
Выполняя дифференцирование, получим
.
Для производной по времени от единичного вектора имеем
,
так как вектор поворачивается с той же угловой скоростью , что и вектор , а единичным вектором, по которому направлен вектор , является вектор .
После подстановки в выражение для ускорения производных от единичных векторов и объединения слагаемых имеем
. (27)
Получили разложение ускорения точки на радиальную , и трансверсальную составляющие, т.е.
, , .
Для проекций ускорения на оси и получаем
, . (28)
Ускорение называется радиальным, а – трансверсальным. Трансверсальное ускорение можно выразить также в форме:
.
Это выражение для трансверсального ускорения широко используется при рассмотрении движения планет и искусственных спутников Земли.
Радиальная и трансверсальная составляющие ускорения взаимно перпендикулярны, поэтому
. (29)
Отметим, что для неподвижных осей координат , и справедливы формулы
, , .
Для подвижных осей и , как следует из (26) и (28), и не равны производным по времени от и .
Частные случаи
1. Если , то имеем прямолинейное движение по прямой . В этом случае и , из (26) и (28) получаем:
, , ,
, , .
Эти величины совпадают с ранее полученными в ыражениями для них при изучении движения точки в декартовых координатах. Только расстояние следует заменить на координату .
2
Рис. 21
, , ,
, , .
В этих формулах является угловой скоростью вращения радиуса-вектора, а – его угловым ускорением.