21. Методика обучения решению простых задач в начальной школе

В процессе математического и общего умственного развития детей младшего школьного возраста существенное место занимает обучение их решению и составлению простых арифметических задач. В начальной школе проводится работа по формированию у детей уверенных навыков вычислений при сложении и вычитании однозначных чисел и быстрых устных вычислений с двузначными числами с целью подготовки их к обучению в начальной школе. Каждая арифметическая задача включает числа данные и искомые. Числа в задаче характеризуют количество конкретных групп предметов или значения величин; в структуру задачи входят условие и вопрос. В условии задачи указываются связи между данными числами, а также между данными и искомыми. Эти связи и определяют выбор арифметического действия. Установив эти связи, ребенок довольно легко приходит к пониманию смысла арифметических действий и значения понятий “прибавить”, “вычесть”, “получится”, “останется”. Решая задачи, дети овладевают умением находить зависимость величин. Вместе с тем задачи являются одним из средств развития у детей логического мышления, смекалки, сообразительности. В работе с задачами совершенствуются умения проводить анализ и синтез, обобщать и конкретизировать, раскрывать основное, выделять главное в тексте задачи и отбрасывать несущественное, второстепенное. Решение задач способствует воспитанию терпения, настойчивости, воли, способствует пробуждению интереса к самому процессу поиска решения, дает возможность испытать глубокое удовлетворение, связанное с удачным решением.

Конечно, полностью соответствовать своей роли текстовые задачи могут лишь при правильной организации методики обучения детей решению задач. Ее основные требования будут более понятными, если рассмотреть особенности понимания младшими школьниками арифметической задачи.

Последовательные этапы и методические приемы в обучении решению арифметических задач

Обучение младших школьников решению задач проходит через ряд взаимосвязанных между собой этапов.

Первый этап — подготовительный. Основная цель этого этапа — организовать систему упражнений по выполнению операций над множествами. Так, подготовкой к решению задач на сложение являются упражнения по объединению множеств. Упражнения на выделение части множества проводятся для подготовки детей к решению задач на вычитание. С помощью операций над множествами раскрывается отношение “часть — целое”, доводится до понимания смысл выражений “больше на...”, “меньше на...”.

Учитывая наглядно-действенный и наглядно-образный характер мышления детей, следует оперировать такими множествами, элементами которых являются конкретные предметы. Учитель предлагает детям отсчитать и положить на карточку шесть грибов, а затем добавить еще два гриба. “Сколько всего стало грибов? (Дети считают.) Почему их стало восемь? К шести грибам прибавили два (показывает на предметах) и получили восемь. На сколько стало больше грибов?” Подобные упражнения проводятся и на выделение части множества. В качестве наглядной основы для понимания отношений между частями и целым могут применяться диаграммы Эйлера — Венна, в которых эти отношения изображаются графически.

На втором этапе нужно учить детей составлять задачи и подводить к усвоению их структуры. Детей учат устанавливать связи между данными и искомым и на этой основе выбирать для решения необходимое арифметическое действие. Подводить к пониманию структуры задачи лучше всего на задачах-драматизациях. Учитель знакомит детей со словом задачаи при разборе составленной задачи подчеркивает необходимость числовых данных и вопросов: “Что известно?”, “Что нужно узнать?”.

На этом этапе обучения составляются такие задачи, в которых вторым слагаемым или вычитаемым является число 1. Это важно учитывать, чтобы не затруднять детей поиском способов решения задачи. Прибавить или вычесть число 1 они могут на основе имеющихся у них знаний об образовании последующего или предыдущего числа. Например, учитель просит ребенка принести и поставить в стакан семь флажков, а в другой — один флажок. Эти действия и будут содержанием задачи, которую составляет учитель. Текст задачи произносится так, чтобы было четко отделено условие, вопрос и числовые данные. Составленную задачу повторяют двое-трое детей. Учитель при этом должен следить, чтобы дети не забывали числовые данные, правильно формулировали вопрос.

При обучении младших школьников составлению задач важно показать, чем отличается задача от рассказа, загадки, подчеркнуть значение и характер вопроса.

Для усвоения значения и характера вопроса в задаче можно применить такой прием: к условию задачи, составленной детьми (“С одной стороны стола поставили двух девочек, а с другой стороны одного мальчика”), ставится вопрос не арифметического характера (“Как зовут этих детей?”). Дети замечают, что задача не получилась. Далее можно предложить им самим поставить такой вопрос, чтобы было понятно, что это задача. Следует выслушать разные варианты вопросов и отметить, что все они начинаются со слова сколько.

Чтобы показать отличие задачи от рассказа и подчеркнуть значение чисел и вопроса в задаче, учителю следует предложить детям рассказ, похожий на задачу. В рассуждениях по содержанию рассказа отмечается, чем отличается рассказ от задачи.

Чтобы научить детей отличать задачу от загадки, учитель подбирает такую загадку, где имеются числовые данные. Например: “Два кольца, два конца, а посередине гвоздик”. “Что это?” — спрашивает учитель. “Это не задача, а загадка”,— говорят дети. “Но ведь числа указаны”,— возражает учитель. Однако ясно, что в этой загадке описываются ножницы и решать ничего не надо.

На следующем занятии, продолжая учить детей составлять задачи, нужно особо подчеркнуть необходимость числовых данных. Например, учитель предлагает следующий текст задачи: “Лене я дала гусей и уток. Сколько птиц я дала Лене?” В обсуждении этого текста выясняется, что такой задачи решить нельзя, так как не указано, сколько было дано гусей и сколько — уток. Лена сама составляет задачу, предлагая детям решить ее: “Мария Петровна дала мне восемь уток и одного гуся. Сколько птиц дала мне Мария Петровна?” “Всего девять птиц”,— говорят дети.

Чтобы убедить детей в необходимости наличия не менее двух чисел в задаче, учитель намеренно опускает одно из числовых данных: “Сережа держал в руках четыре воздушных шарика, часть из них улетела. Сколько шариков осталось у Сережи?” Дети приходят к выводу, что такую задачу решить невозможно, так как в ней не указано, сколько шариков улетело.

Учитель соглашается с ними, что в задаче не названо второе число; в задаче всегда должно быть два числа. Задача повторяется в измененном виде. “Сережа держал в руках четыре шарика, один из них улетел. Сколько шариков осталось у Сережи?”

На конкретных примерах из жизни дети яснее осознают необходимость иметь два числа в условии задачи, лучше усваивают отношения между величинами, начинают различать известные данные в задаче и искомое неизвестное.

После таких упражнений можно подвести детей к обобщенному пониманию составных частей задачи.

Основными элементами задачи являются условие и вопрос. В условии в явном виде содержатся отношения между числовыми данными и неявном — между данными и искомым. Анализ условия подводит к пониманию известных и к поискам неизвестного. Этот поиск идет в процессе решения задачи. Детям надо объяснить, что решать задачу — это значит понять и рассказать, какие действия нужно выполнить над данными в ней числами, чтобы получить ответ. Таким образом, структура задачи включает четыре компонента: условие, вопрос, решение, ответ. Выяснив структуру задачи, дети легко переходят к выделению в ней отдельных частей. Младших школьников следует поупражнять в повторении простейшей задачи в целом и отдельных ее частей. Можно предложить одним детям повторить условие задачи, а другим поставить в этой задаче вопрос. Формулируя вопрос, дети, как правило, употребляют слова стало, осталось.Следует показывать им, что формулировка вопроса в задачах на сложение может быть разной. Например: “На аэродроме стояло пять самолетов. Затем вернулся еще один”. Ребенок ставит вопрос: “Сколько стало самолетов?” Педагог поясняет, что вместо словасталолучше сказатьстоит,ведь самолеты стоят на аэродроме. Таким образом, в вопросе следует употреблять глаголы, отражающие действия по содержанию задачи(прилетели, купили, выросли, гуляют, играюти т. д.).

Когда дети научатся правильно формулировать вопрос, можно перейти к следующей задаче этого этапа — научить анализировать задачи, устанавливать отношения между данными и искомым. На этой основе можно уже научиться формулировать и записывать арифметическое действие, пользуясь цифрами и знаками +, —, =.

Поскольку задача представляет собой единство целого и части, с этой позиции и следует подводить детей к ее анализу. Приведем пример. Задача составляется на основе действий, выполняемых детьми: “Нина в одну вазу поставила пять флажков, а в другую — один флажок”. Дети рассказывают, что сделала Нина и фактически уже знают, что описание действий Нины называется условием задачи. “Что же известно из задачи? — спрашивает учитель. (Пять флажков в одной вазе и один — в другой.) — А что неизвестно, что надо еще узнать? Сколько флажков поставила Нина в обе вазы? То, что неизвестно в задаче,— это вопрос задачи. (Дети повторяют вопрос в задаче.) О каких же числах известно в задаче?” (О числе флажков в одной вазе — их пять и о числе флажков в другой вазе — один.) Предлагается цифрами изобразить эти данные на бумаге и на доске: “Что же требуется узнать? Сколько всего флажков в обеих вазах?”

Подобным образом дети анализируют задачу на вычитание. На основе практических действий ребят составляется содержание задачи. Например, дежурный Коля поставил вокруг стола шесть стульев, а дежурный Саша один стул убрал. Дети составляют условие задачи, ставят вопрос. Условие и вопрос повторяются раздельно.

Далее задача анализируется, выясняется, что известно из задачи (поставили шесть стульев, а затем один убрали) и что неизвестно (сколько стульев осталось у стола). Детям предлагается решить задачу и ответить на ее вопрос.

Обучающее значение приведенных выше задач на сложение и вычитание состоит не столько в том, чтобы получить ответ, а в том, чтобы научить анализировать задачу и в результате этого правильно выбрать нужное арифметическое действие.

Итак, на втором этапе работы над задачами дети должны: а) научиться составлять задачи; б) понимать их отличие от рассказа и загадки; в) понимать структуру задачи; г) уметь анализировать задачи, устанавливая отношения между данными и искомым.

Учить детей формулировать арифметические действия сложения и вычитания — задача третьего этапа.

На предыдущей ступени младшие школьники без затруднения находили ответ на вопрос задачи, опираясь на свои знания последовательности чисел, связей и отношений между ними. Теперь же нужно познакомить с арифметическими действиями сложения и вычитания, раскрыть их смысл, научить формулировать их и “записывать” с помощью цифр и знаков в виде числового примера.

Прежде всего детей надо научить формулировать действие нахождения суммы по двум слагаемым при составлении задачи по конкретным данным (пять рыбок слева и одна справа). “Мальчик поймал пять карасей и одного окуня”, — говорит Саша. “Сколько рыбок поймал мальчик?” — формулирует вопрос Коля. Учитель предлагает детям ответить на вопрос. Выслушав ответы нескольких детей, он задает им новый вопрос: “Как вы узнали, что мальчик поймал шесть рыбок?” Дети отвечают, как правило, по-разному: “Увидели”, “Сосчитали”, “Мы знаем, что пять да один будет шесть” и т.п. Теперь можно перейти к рассуждениям: “Больше стало рыбок или меньше, когда мальчик поймал еще одну?” “Конечно, больше!” — отвечают дети. “Почему?” — “Потому что к пяти рыбкам прибавили еще одну рыбку”. Учитель поощряет этот ответ и формулирует арифметическое действие: “Дима правильно сказал, надо сложить два числа, названные в задаче. К пяти рыбкам прибавить одну рыбку. Это называется действием сложения. Теперь мы будем не только отвечать на вопрос задачи, но и объяснять, какое действие мы выполняем”.

На основе предложенного наглядного материала составляются еще одна-две задачи, с помощью которых дети продолжают учиться формулировать действие сложения и давать ответ на вопрос.

На первых занятиях словесная формулировка арифметического действия подкрепляется практическими действиями: “К трем красным кружкам прибавим один синий кружок и получим четыре кружка”. Но постепенно арифметическое действие следует отвлекать от конкретного материала: “Какое число прибавили к какому?” Теперь уже при формулировке арифметического действия числа не именуются. Спешить с переходом к оперированию отвлеченными числами не следует. Такие абстрактные понятия, как “число”, “арифметическое действие”, становятся доступными лишь на основе длительных упражнений детей с конкретным материалом.

Когда дети усвоят в основном формулировку действия сложения, переходят к обучению формулировке вычитания. Работа проводится аналогично тому, как это описано выше.

При формулировке арифметического действия можно считать правильным, когда дети говорят отнять, прибавить, вычесть, сложить.Словасложить, вычесть, получится, равняетсяявляются специальными математическими терминами. Этим терминам соответствуют бытовые словаприбавить, отнять, стало, будет.Разумеется, бытовые слова ближе опыту ребенка и начинать обучение можно с них. Но желательно, чтобы учитель в своей речи пользовался математической терминологией, постепенно приучая и детей к употреблению этих слов. Например, ребенок говорит: “Нужно отнять из пяти яблок одно”, а учитель должен уточнить: “Нужно из пяти яблок вычесть одно яблоко”.

Упражняя детей в формулировке арифметического действия, полезно предлагать задачи с одинаковыми числовыми данными на разное действие. Например: “У Саши было три воздушных шара. Один шар улетел. Сколько шаров осталось?” Или: “Коле подарили три книги и одну машину. Сколько подарков получил Коля?” Устанавливается, что это задачи на одно и то же действие. Важно при этом обращать внимание на правильную и полную формулировку ответа на вопрос задачи.

Можно показывать задачи и внешне похожие, но требующие выполнения разных арифметических действий. Например: “На дереве сидели четыре птички, одна птичка улетела. Сколько птичек осталось на дереве?” Или: “На дереве сидели четыре птички. Прилетела еще одна. Сколько птичек сидит на дереве?” Хорошо, когда подобные задачи составляются одновременно и детьми.

На основе анализа данных задач дети приходят к выводу, что хотя в обеих задачах речь идет об одинаковом количестве птичек, но они выполняют разные действия. В одной задаче одна птичка улетает, а в другой — прилетает, поэтому в одной задаче числа нужно сложить, а в другой — вычесть одно из другого. Вопросы в задачах различны, поэтому различны и арифметические действия, различны ответы.

Такое сопоставление задач, их анализ полезны детям, так как они лучше усваивают как содержание задач, так и смысл арифметического действия, обусловленного содержанием.

Проследим динамику вопросов учителя к детям для формулировки арифметического действия. На первых занятиях задается развернутый вопрос, содержание которого близко к содержанию вопроса к задаче: “Что надо сделать, чтобы узнать, сколько птичек сидит на дереве?” Затем вопрос формулируется в более общем виде: “Что надо сделать, чтобы решить эту задачу?” Или: “Что надо сделать, чтобы ответить на вопрос задачи?”

Учитель не должен мириться с односложными ответами детей (отнять, прибавить). Выполненное арифметическое действие должно быть сформулировано полно и правильно. Очень важно вовлекать всех детей в обдумывание наиболее точного ответа.

Поскольку к моменту обучения решению задач дети уже знакомы с цифрами и знаками +, —, =, следует упражнять их в записи арифметического действия и учить читать запись (3+1=4). (К трем птичкам прибавить одну птичку. Получится четыре птички.) Умение читать запись обеспечивает возможность составления задач по числовому примеру. Например, на доске запись: 10—1=? Учитель предлагает прочитать запись и сказать, что обозначает этот знак (?). Затем просит составить задачу, в которой заданы такие же числа, как на доске. Педагог следит при этом, чтобы содержание задач было разнообразным и интересным, чтобы в них правильно ставился вопрос. Для решения выбирается самая интересная задача. Кто-то из детей повторяет ее. Дети, выделяя данные и искомое в задаче, называют арифметическое действие, решают задачу и записывают решение у себя на бумаге. Кто-то из детей формулирует ответ задачи. Проведенная беседа приучает ребят логически мыслить, учит правильно строить ответы на поставленные вопросы — о теме, сюжете задачи, о числовых данных и их отношениях, обосновывать выбор арифметического действия.

Для упражнения детей в распознавании записей на сложение и вычитание учителю рекомендуется использовать несколько числовых примеров и предлагать детям их прочесть. По указанным примерам составляются задачи на разные арифметические действия, при этом детям предлагается сделать самостоятельно запись решенных задач, а затем прочесть ее. Обязательно нужно исправить ответы детей, допустивших ошибки в записи. Читая запись, дети скорее обнаруживают свою ошибку.

Запись действий убеждает детей в том, что во всякой задаче всегда имеются два числа, по которым надо найти третье— сумму или разность. Н.И.Непомнящая и Л.П.Клюева рекомендуют другой способ записи арифметического действия. Авторы предложили знакомить детей с моделью, помогающей усвоить обобщенное понятие арифметического действия (сложения и вычитания) как отношения части и целого. Модель записи арифметических действий способствует переходу от восприятия конкретных связей и отношений между частями и целым множеством к модели изображения связей и отношений арифметических действий с помощью условных и математических знаков. Модель записи является промежуточным звеном при переходе от графического изображения отношений между множествами к числовому равенству.

Дети уже знакомы со знаками плюс (+), минус (—), равняется (=), теперь их знакомят с моделью записи арифметического действия условными значками целое — круг, часть целого — полукруг и учат составлять равенство.

В процессе обучения следует составлять и решать задачи на сложение и вычитание величин. В качестве наглядного материала используются шнуры, тесемка, ленты, мягкая проволока и другие предметы, подлежащие измерению, а также условные мерки разного размера и др.

Дети уже знакомы со способами и приемами измерения величин (длина, масса) и умеют пользоваться такими правильными выражениями, как отрезок веревки, отрезок тесьмы(но не кусок веревки, тесьмы).

Приведем пример такой задачи. Вывешивается картина с изображением куклы, в руках у которой корзина с выстиранным бельем. Перед куклой два колышка, между которыми надо натянуть веревку для развешивания на ней белья. На фланелеграфе изображены два колышка, между которыми следует натянуть веревку.

Ребенок должен вынуть из корзины веревку, чтобы натянуть ее между колышками, но она оказывается мала, и тогда он должен взять другой отрезок веревки и соединить ее с первой так, чтобы длина веревки была достаточной для натягивания между колышками.

Детям предлагают рассмотреть картину и составить по ней задачу. Для этого надо прежде всего измерить длину обоих отрезков веревки. Отрезки веревок измеряются: один отрезок равен шести меркам, а другой — одной. Составляется задача: один отрезок веревки, взятый для того, чтобы натянуть ее между колышками, оказался недостаточным, в нем было шесть мерок. Взяли другой отрезок, равный одной мерке, и соединили его с первым отрезком. Сколько мерок в длине всей веревки? Учитель предлагает сделать запись, чтобы были видны известное и неизвестное числа. Дети формулируют действие и результат, дают ответ на вопрос задачи.

Учителю далее следует предложить подумать, нельзя ли по этой картине составить и другую задачу. Дети предлагают сначала измерить длину всей веревки и длину одного из отрезков веревки, чтобы можно было вычесть длину отрезка веревки от длины всей веревки и получить длину второго отрезка. Составляется новая задача на действие вычитания, в которой неизвестным числом становится длина второго отрезка.

Следует отметить, что опыт, приобретенный детьми в процессе измерения величин, находит применение и при составлении задач. Приведем некоторые из них.

“Мама купила 1 м синей ленты и 2 м красной. Сколько всего метров ленты купила мама?”

“Мы ходили в магазин и купили 2 кг яблок и 1 кг слив. Сколько всего фруктов мы купили?”

“Мальчик сел в лодку и проплыл 6 м, а ширина реки всего 8 м. Сколько ему еще надо проплыть?”

“Шофер залил в бак машины 6 л бензина, а потом добавил еще 3 л. Сколько всего бензина шофер залил в бак?”

Итак, на третьем этапе дети должны научиться формулировать арифметические действия (сложения, вычитания), различать их, составлять задачи на заданное арифметическое действие.

На четвертом этапе работы над задачами детей учат приемам вычисления — присчитывание и отсчитывание единицы.

Если до сих пор вторым слагаемым или вычитаемым в решаемых задачах было число 1, то теперь нужно показать, как следует прибавлять или вычитать числа 2 и 3. Это позволит разнообразить числовые данные задачи и углубить понимание отношений между ними, предупредит автоматизм в ответах детей. Однако здесь нужно соблюдать осторожность и постепенность. Сначала дети учатся прибавлять путем присчитывания по единице и вычитать путем отсчитывания по единице число 2, а затем число 3.

Присчитывание — это прием, когда к известному уже числу прибавляется второе известное слагаемое, которое разбивается на единицы и присчитывается последовательно по 1: 6+3=6+1+1+1=7+1+1=8+1=9.

Отсчитывание — это прием, когда от известной уже суммы вычитается число (разбитое на единицы) последовательно по 1: 8—3=8—1—1—1=7—1—1=6—1=5.

Внимание детей должно быть обращено на то, что нет необходимости при сложении пересчитывать по единице первое число, оно уже известно, а второе число (второе слагаемое) следует присчитывать по единице; надо вспомнить лишь количественный состав этого числа из единиц. Этот процесс напоминает детям то, что они делали, когда считали дальше от любого числа до указанного им числа. При вычитании же чисел 2 или 3, вспомнив количественный состав числа из единиц, надо вычитать это число из уменьшаемого по единице. Это напоминает детям упражнения в обратном счете в пределах указанного им отрезка чисел.

Итак, изучая действия сложения и вычитания при решении арифметических задач, можно ограничиться этими простейшими случаями прибавления (вычитания) чисел 2 и 3. Нет необходимости увеличивать второе слагаемое или вычитаемое число, так как это потребовало бы уже иных приемов вычисления. Задача детского ,сада состоит в том, чтобы подвести детей к пониманию арифметической задачи и к пониманию отношений между компонентами арифметических действий сложения и вычитания.

На завершающем этапе работы над задачами можно предложить младшие школьникам составлять задачи без наглядного материала (устные задачи). В них дети самостоятельно избирают тему, сюжет задачи и действие, с помощью которого она должна быть решена. Учитель регулирует лишь второе слагаемое или вычитаемое, напоминая детям, что числа свыше трех они еще прибавлять и отнимать не научились. (Здесь могут быть и исключения.)

При введении устных задач важно следить за тем, чтобы они не были шаблонными. В условии должны быть отражены жизненные связи, бытовые и игровые ситуации. Надо приучать детей рассуждать, обосновывать свой ответ, в отдельных случаях использовать для этого наглядный материал.

После усвоения детьми решения устных задач первого и второго вида можно перейти к решению задач на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц,

Исследования и практика показывают, что младшие школьникам доступно решение некоторых видов косвенных задач. Их можно предлагать детям, будучи уверенными, что обязательный программный материал усвоен ими хорошо. И лишь при необходимости усложнить работу можно ввести такие задачи. Поскольку в косвенных задачах логика арифметического действия противоречит действию по содержанию задачи, они дают большой простор для рассуждений, доказательств, приучают детей логически мыслить.

Приведем примеры таких задач:

“Из графина вылили пять стаканов воды, но в нем остался один стакан воды. Сколько воды было в графине?”

“Леша сделал елочные игрушки. Три из них он повесил на елку, а две оставил. Сколько игрушек сделал Леша?”

“У Лены было семь конфет. Она угостила ребят, и у нее осталось четыре конфеты. Сколько конфет она отдала ребятам?”

“На дереве сидели птички. Когда прилетели еще четыре, их стало восемь. Сколько птиц сидело на дереве сначала?”

Предлагать подобные задачи для решения лучше всего в виде сюрприза: “Кто сообразит, как решать задачу, которую я вам сейчас задам?” Надо отметить, что эти задачи вызывают большой интерес у детей.

Итак, работа над задачами не только обогащает детей новыми знаниями, но и дает богатый материал для умственного развития.

Задачи на нахождение суммы и остатка

Работа над этими видами задач начинается с первых же уроков математики и вначале носит характер практических упражнений, в ходе которых дети, имея дело с реальными предметами окружающей действительности, выполняют соответствующие операции над множествами: объединяют данные множества или удаляют часть данного множества. От практических действий с предметами дети постепенно переходят к рассмотрению операций над множествами предметов, изображенных на рисунке. Такого рода задания широко представлены в учебнике математики для 1 класса.

При решении задач по представлению полезно перейти к зарисовке условий задач в тетрадях. При этом рисование предметов, о которых говорится в задаче (флажки, яблоки, огурцы и т, п.), выступает в качестве средства, помогающего детям воспроизвести содержание задачи, представить образно это содержание. Например, решая задачу: “Сережа нарисовал 4 флажка, а потом еще 1 флажок. Сколько всего флажков нарисовал Сережа?”, ученики могут нарисовать сначала 4 флажка и чуть поодаль еще 1 флажок, а затем подсчитать число флажков и записать решение (или показать ответ с помощью сигнальной карточки),

Как показывает опыт, уже на этапе изучения чисел первого десятка можно при решении задач рассматриваемых видов использовать и более отвлеченную, условную наглядность. Например, вместо 5 яблок, о которых говорится в задаче, ученик нарисует 5 кружков, 3 книги изобразит 3 квадратами и т. п.

Покажем, как нами проводилась работа по выполнению таких условных рисунков при решении первых арифметических задач—задач на нахождение суммы.

Рассмотрим задачу: “У Коли 5 книг, у Саши 4 книги. Сколько книг у Коли и Саши вместе?”

Ученики анализируют задачу (т.е. выясняют, что известно и что неизвестно) , выполняя одновременно с анализом соответствующие зарисовки: “О чем говорится в задаче? (О том, что у Коли и Саши были книги.) Что известно про книги, которые были у Коли? (У Коли было 5 книг.) Обведите столько клеток, сколько книг было у Коли, и закрасьте их. (Ученики обводят в тетрадях 5 клеток и закрашивают их.) Что известно про книги, которые были у Саши? (У Саши было 2 книги.)

Обведите столько клеток, сколько книг было у Саши, (Ученики на той же строке обводят еще 2 клетки.) О чем спрашивается в задаче? (Сколько книг было у Коли и Саши вместе?) Обозначьте это. (Ученики рисуют объединяющую скобку и ставят под ней знак вопроса).

В выполненной иллюстрации важную роль играет условный знак — объединяющая скобка (на первых порах дуга или прямая черточка), указывающая на необходимость объединения элементов двух данных множеств.

Благодаря схематичности изображения количественные отношения выступают здесь с большей отчетливостью, что позволяет сосредоточить на них внимание детей и найти решение: 5+2=7.

Для проверки понимания выполненного рисунка полезно ставить контрольные вопросы вида: “Что изображают 5 раскрашенных клеток? (Число книг, которые были у Коли.) Что изображают 2 не раскрашенные клетки? (Число книг, которые были у Саши.) На что указывает объединяющая скобка (прямая черта, дуга)? (Нужно узнать, сколько всего книг у Коли и Саши, сколько всего клеток обведено.) ”

Подобные контрольные вопросы — важное звено в работе учеников по овладению приемами графического изображения задачи.

Необходимо, чтобы такие вопросы задавал не только учитель ученикам, но и сами ученики друг другу. Умение сформулировать контрольные вопросы характеризует уровень понимания детьми сути дела.

Рассмотрим теперь задачу на нахождение остатка: “У Мити было 7 шаров. Подул ветер, и 2 шара улетели. Сколько шаров осталось у Мити?”

Иллюстрация выполняется одновременно с анализом задачи, так как только в этом случае она будет действенным средством, оказывающим реальную помощь в деле обучения детей самостоятельному решению задач: “Что известно про шары, которые были у Мити? (У Мити было 7 шаров.) Нарисуйте столько кружков, сколько шаров было у Мити. (Ученики самостоятельно выполняют задание.) Что еще известно в задаче? (Подул ветер, и 2 шара улетели.) Перечеркните столько кружков, сколько шаров улетело. (Ученики выполняют задание.) О чем спрашивается в задаче? (Сколько шаров осталось у Мити.); обозначьте скобкой, о каких шарах спрашивается в задаче”.

Учитель показывает, как, пользуясь выполненным рисунком, подсчитать ответ и записать решение: 7—2=5.

При изучении нумерации чисел первого десятка основной способ нахождения результата — счет предметов. Поэтому при обучении решению задач на нахождение суммы и остатка выполнение рисунка по задаче (предметного или условного) — необходимое условие их решения. Уже после сообщения учителем тек” ста задачи подобные рисунки могут выполняться детьми самостоятельно. Эти рисунки могут выступать и как средство проверки самостоятельного решения задачи.

Отметим, что при самостоятельном выполнении рисунка по задаче следует рекомендовать ученикам все время контролировать себя, сопоставляя рисунок с тем, о чем говорится в задаче, и при надобности вносить нужные поправки.

После того как ученики научатся решать задачи на нахождение суммы и остатка, опираясь на знание соответствующих случаев сложения и вычитания, графическое изображение таких задач может выступать и как эффективное средство проверки правильности решения задачи арифметическим способом. Покажем это на примере такой задачи: “На одной тарелке 3 яблока, а на другой — 2. Сколько всего яблок на двух тарелках?” После арифметического решения задачи ученикам предлагается сделать рисунок по задаче: “Нарисуйте на одной строке столько кружков, сколько яблок на одной тарелке; нарисуйте чуть подальше на этой. же строке столько кружков, сколько яблок на второй тарелке. Сосчитайте, сколько всего кружков вы нарисовали. Посмотрите ответ задачи: такое ли число у вас получилось?”

Известно, что ученики нередко ассоциируют сложение со словами “принесли”, “прилетели”, “купили” и т.п., а вычитание— со словами “унесли”, “убежали”, “улетели”, “потеряли” и т. п. и руководствуются этими словами при выборе действия для решения задачи, что зачастую приводит к ошибкам. Для преодоления этого нежелательного явления в тексты задач вносится известное разнообразие, которое должно способствовать предупреждению шаблонного подхода при выборе действия. Так, ученикам предлагаются задачи, в которых фигурируют слова “убежали”, “вынули”, “улетели” и т.п., но которые решаются действием сложения. Например, в методической литературе рекомендуется предлагать для сравнения пары таких задач:

1) В коробке было 4 карандаша. Мальчик положил в нее еще 2 карандаша. Сколько всего карандашей стало в коробке?

2) Из коробки вынули сначала 4 карандаша, а потом 2 карандаша. Сколько всего карандашей вынули из коробки?

Во второй задаче выбор действия затруднен тем, что описанные в задаче жизненные действия (“вынули”, “еще вынули”) в сознании детей связываются с действием вычитания. Здесь требуется большое внимание к анализу текста задачи. Выполняя одновременно с анализом задачи ее зарисовку (вместо карандашей можно рисовать палочки), дети убеждаются, что как для первой, так и для второй задачи получаем одно и то же графическое изображение. Это помогает им понять, что обе задачи имеют одну и ту же математическую сущность, решаются одним и тем же действием — сложением.

Опыт показывает, что затруднения в выборе действия возникают при решении задач такого вида: “Когда сожгли 6 поленьев, то осталось еще 3 полена. Сколько всего было поленьев?” Трудность решения вызывается тем, что определение числа предметов, часть из которых уже уничтожена, реже встречается в опыте ребенка, чем подсчет существующих предметов. Преодолеть эти трудности тоже поможет рисунок.

Разбирая задачу, учитель предлагает детям нарисовать столько палочек, сколько поленьев было сожжено (6 палочек). Эти палочки перечеркиваются, чтобы показать, что поленья сожгли. Затем дети рисуют столько палочек, сколько осталось поленьев (3 палочки). Обратив внимание детей на то, что в задаче спрашивается, сколько всего было поленьев, учитель просит показать на рисунке все те поленья, которые были сначала (дети показывают все нарисованные палочки). После этого на рисунке с помощью объединяющей скобки и знака вопроса обозначается, что же нужно узнать. С опорой на такой рисунок задача решается легко.

Задачи на увеличение или уменьшение числа на несколько единиц

Задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц вводятся сразу же после задач на нахождение суммы и остатка. Подготовка к рассмотрению простейших задач этого вида ведется задолго до их введения. Она заключается в установлении соотношений: если прибавить к данной группе предметов один или несколько предметов, то это приводит к увеличению первоначального числа предметов, а если же вычесть — то к уменьшению. Соотношения эти устанавливаются с помощью различного наглядного материала. Оперируя дидактическим материалом, дети выполняют практические упражнения вида: “Положите 3 квадрата, придвиньте к ним еще 1 квадрат. Сколько стало квадратов? (4) Как узнали? (К 3 прибавили 1, получили 4.) Больше или меньше стало квадратов? (Больше: прибавили 1, стало больше на 1.)” Затем можно перейти к работе с сюжетными картинками (и, в частности, с рисунками, представленными в учебнике математики для 1 класса). С помощью картинок разбираются те же вопросы, что и при использовании дидактического материала. На этом же этапе обучения, при решении готовых задач, целесообразно переходить к использованию условных рисунков.

Покажем, как может быть проведена соответствующая работа на примере такой задачи: “В автобусе было 7 пассажиров. После остановки число пассажиров увеличилось на 2. Сколько пассажиров стало в автобусе после остановки?”

Рисунок выполняется по ходу разбора задачи: “Сколько пассажиров было в автобусе до остановки? (Было 7 пассажиров.) Зарисуем задачу. Вместо каждого пассажира будем рисовать кружок. Сколько кружков надо нарисовать, чтобы показать, сколько пассажиров было в автобусе до остановки? (7 кружков.) Рисуйте. (Дети рисуют 7 кружков.) Что сказано в задаче о числе пассажиров в автобусе после остановки? (После остановки число пассажиров увеличилось на 2.) Как это понять: больше стало пассажиров после остановки или меньше? (Пассажиров стало больше.) На сколько больше стало пассажиров? (На 2.) Сколько же кружков еще надо нарисовать, чтобы показать, сколько стало в автобусе пассажиров после остановки? (Надо нарисовать еще 2 кружка.) Нарисуйте их и покажите на своем рисунке, что же нужно узнать”. Дети рисуют еще 2 кружка, скобку, объединяющую все нарисованные кружки, и ставят под ней вопросительный знак. Решение задачи по рисунку дети выполняют самостоятельно.

Так же может быть проведена иллюстрация и в том случае, когда рассматривается задача на уменьшение данного числа на несколько единиц. В этом случае придется только воспользоваться приемом перечеркивания соответствующего числа принятых условных изображений.

С первых же дней обучения начиналась подготовительная работа к введению более трудных задач на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, в которых сравниваются два множества предметов. В ходе практических упражнений дети учились устанавливать взаимно-однозначное соответствие между элементами двух множеств предметов, выяснили, в каком из двух сравниваемых множеств больше предметов, а в каком — меньше и т.п.

Перед введением задач рассматриваемого вида приобретенные детьми ранее знания надо оживить путем выполнения ряда заданий с опорой на те же средства наглядности, которые были и раньше.

Начав с использования дидактического материала, можно сразу же перейти к работе с картинками, с помощью которых дети сравнивают два множества предметов. Составление задач по картинкам в данном случае отличается известным своеобразием. Вот что пишет по этому поводу М.И.Моро: “Действительно, попробуем дать иллюстрацию, составленную с использованием полной предметной наглядности. Например, на рисунке изображены 2 пучка морковки, в одном — 6 морковок, а в другом — 4. Для того чтобы составить по такой картинке задачу на увеличение (или уменьшение) на несколько единиц, ученику пришлось бы выяснить, на сколько морковок в одном пучке больше, чем в другом, но решать задачи на разностное сравнение он еще не умеет. Поэтому при схематической записи условий задач этого вида разностное отношение между искомым и данным должно быть дано в своем числовом выражении, а не наглядно. Вместе с тем для решения подобных задач очень важно иметь ясное представление о том, что значит “больше”, “дороже”, “шире” и т.п.

В связи с этим особенно большое значение приобретает здесь не составление задачи по картинке, а зарисовка условия готовой задачи”.

Для иллюстрации эффективности зарисовки условий задачи с целью выяснения смысла увеличения и уменьшения на несколько единиц используем пример из опыта учительницы М. А. Бобрищевой. Ее опыт А.С.Пчелко описывает так:

“Учимся мы увеличивать и уменьшать число на несколько единиц. Решаем задачу-картинку про грибы. Задаю вопрос: “Сколько белых грибов нашли Ваня с Машей?” Быстро поднимаются руки, спрашивают: “Сколько нашел Ваня? Сколько нашла Маша?”

Даю одинаковое количество: Ваня — 4 и Маша — 4. “Ой, поровну! Ой, одинаково!” — слышишь заключение, а это и была намеченная цель.

Дома рисуют задачи - картинки “поровну”, а завтра друг другу картинки показывают, задачи задают.

От задач “поровну” легкий переход к задачам “больше на столько-то” и “меньше на столько-то”.

Каждому ученику даю лист бумаги, разделенный вертикально пополам: “Одна половина будет твоя. Другая, придумай сам, чья она будет? На одной половине нарисуй 3 (чего угодно), а на другой — на 2 больше”.

Договариваемся, кто что будет рисовать (карандаши, вишни, флажки и т.д.).

Рисуют разное, а задание одно: “3 и на 2 больше”. Тут ли не радость, когда видишь, что рисуют почти все правильно: сначала поровну на обеих половинках, а потом ... потом после ценнейшего раздумья решают: “А теперь еще 2, лишних 2, больше на 2!”

Н рядом или чуть поодаль рисуют еще 2 лишних. На последующих уроках делаем естественный вывод: если у Маши карандашей на 2 больше, чем у Вовы, то значит, у Вовы на 2 меньше, чем у Маши. Я выше тебя, значит, ты ниже меня. И т.д.

Объясняя “меньше на столько-то”, даю всем задание рисовать елочки: “7 и на 3 меньше”.

Опять нарисовали сначала поровну, а потом задумались. Некоторые к одной семерке пририсовали еще 3 елочки, и у них стало 10. “Тут на 3 больше, а здесь на 3 меньше”,—объясняют они. Но такое действие не отвечает заданию: надо “7 и на 3 меньше”, а не “10 и на 3 меньше”. “Вы, ребята, сделали правильно, когда нарисовали 7 и 7. А отчего бы могло стать здесь елочек на 3 меньше?” — Сломало ветром! — Спилили на дрова! — Засохли! Н т. д.

“Ну, так продолжайте работу дальше... Значит, трех уже нет, а у вас все стоят”. И... догадались многие: закрыли 3 рукой! Первого сообразившего мы позвали к доске. Он нарисовал елочки по 7 штук на двух сторонах. Потом закрыл 3, и перед глазами предстало всем 7 елочек и на 3 меньше. Действие ответило заданию: от 7 отнять 3. Мы сейчас же перевели это действие на язык арифметической записи:

7-3=4.

Ценю я этот метод за то, что ученик работал и запомнил головой то, что ясно, отчетливо слышали уши, запомнил руками, когда рисовал; запомнил глазами, когда ими проверял”.

От простейших предметных рисунков легко осуществить переход к рисункам условным. Покажем это на примере такой задачи: “На одной полке 6 книг, а на другой — на 3 книги больше. Сколько книг на второй полке?” Рисунок, как и обычно, возникает по ходу анализа задачи. “Пусть клетка изображает книгу. Как изобразить в этом случае, что на первой полке 6 книг? (В виде 6 клеток.)” Обращаясь к тексту задачи, выясняем, что на второй полке книг столько же (обводятся ниже, через строчку, 6 клеток) да еще 3 (обводятся на второй строчке еще 3 клетки). Задача фактически решена графически, поскольку выполненный условный рисунок отображает число предметов, содержащихся в сравниваемых множествах. При этом возникает опасность, что ответ на вопрос задачи будет найден простым пересчетом числа клеток, изображенных на второй строке. Поэтому при решении следующих задач нужно переходить к использованию частичной наглядности, находить результат путем вычисления и лишь затем иллюстрировать его на рисунке. Выполняя последнее задание, ученики обводят на первой строке 6 клеток, а затем рассуждают так: “На второй строке надо обвести столько клеток, сколько на первой и еще 3. К 6 прибавить 3, получится 9. На второй строке надо обвести 9 клеток”.

Дальнейшая работа состоит в том, чтобы научить детей изображать условия таких задач (а в дальнейшем и задач других видов) в “отрезках”.

Предпосылкой иллюстрации текстовых задач с помощью “отрезков” служит решение представленных в учебнике математики для 1 класса задач геометрического содержания. Так, вначале дети учатся чертить отрезки заданной длины по линейке, затем выполняют задания на увеличение или уменьшение данного отрезка и, наконец, решают с помощью чертежа задачи на сравнение отрезков.

Методика соответствующей работы хорошо описана в современных методических руководствах и в методических указаниях к учебнику. Нам же важно показать, как применяются соответствующие умения при изображении “в отрезках” условий текстовых сюжетных задач. Первый вопрос, который возникает в этой связи: на примере каких задач рассматриваемого вида лучше начать знакомство с изображением их условий “в отрезках”? Как известно, вначале решаются такие задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, в которых фигурируют термины “больше”, “меньше”, и только после этого переходят к решению задач, в которых увеличение или уменьшение на несколько единиц выражается терминами “длиннее”, “короче”, “выше”, “ниже” и т. п. Эти задачи более всего подходят для обучения детей построению графических иллюстраций “в отрезках”.

Рассмотрим задачу: “Высота яблони 6 м. Береза выше яблони на 3 м. Найти высоту березы”. Работу над задачей можно начать с сопоставления картинки и схематического чертежа, причем целесообразно использовать такую иллюстрацию, которая создает возможность проследить выражение одних и тех же соотношений в двух различных планах: конкретно-предметном (рисунки яблони и березы) и обобщенно-абстрактном (высота яблони и березы изображены с помощью отрезков).

Рассуждения при переходе от использования более конкретной наглядности к менее конкретной могут быть примерно такими: “Рядом с яблоней изображен отрезок. Этот отрезок условно приняли за высоту яблони и рядом написали, что он изображает 6 м. Известна ли высота березы? (Нет.) А что известно? Береза на 3м выше яблони.) Как вы это понимаете? (Береза такой же высоты, что и яблоня, да еще 3 м.) Правильно. Поэтому рядом с березой сначала начертили отрезок, который соответствует высоте яблони, а затем продолжили его на такой отрезок, который условно соответствует 3 м”.

Знакомство с иллюстрацией условий задач с помощью схематических чертежей можно продолжить на задачах, условия которых связаны с мерами длины. Например: “У Кости было 2 куска проволоки: первый длиной 5 м, а второй на 2 м короче. Какой длины был второй кусок проволоки?”

Рассуждения при построении схематического чертежа: “С помощью произвольного отрезка изобразим длину первого куска проволоки и надпишем над ним, что он равен 5 м. Так как второй кусок проволоки короче первого на 2м, то ниже, под первым отрезком (через строчку) начертим сначала отрезок, равный ему (начала отрезков должны находиться на одном уровне), а затем от правого его конца отложим влево отрезок, условно изображающий 2 м. Надпишем над этой частью второго отрезка, что она изображает 2 м, а над остальной частью поставим знак “?”, так как она иллюстрирует искомое”.

Обучение детей изображению условий текстовых задач в отрезках с помощью чертежа, выполненного в заданном масштабе, начинается во IIклассе.

Рассмотрим задачу: “У папы было 2 электрошнура: один длиной 6 м, а второй на 3 м длиннее. Какой длины второй шнур?”

Для построения чертежа примем длину одной клетки ученической тетради за 1 м, тогда электрошнур длиной 6 м изобразится отрезком длиной 6 клеток тетради. Длине второго электрошнура, очевидно, будет соответствовать отрезок длиной 6 клеток, увеличенный на отрезок длиной 3 клетки.

В том случае, если данные задачи не связаны с мерами длины, построение чертежа осуществляется аналогичным образом. Например: “С первого огорода накопали 8 мешков картофеля, а со второго на 2 мешка меньше. Сколько накопали мешков картофеля со второго огорода?” Договоримся, что один мешок картофеля будем изображать отрезком, длина которого равна длине одной клетки ученической тетради. Для того чтобы изобразить при помощи отрезка 8 мешков картофеля, надо начертить отрезок, равный по длине восьми клеткам тетради. Так как с другого огорода накопали на 2 мешка меньше, то под первым отрезком (через строчку) чертим второй отрезок, равный первому, и отделяем на нем часть, равную двум клеткам. Напишем над этой частью “2 меш.”, а над остальной частью поставим “?”, так она иллюстрирует искомое.

Следует отметить, что на отрезке, изображающем неизвестное (условно), лучше не делать отметок, отделяющих единичные отрезки.

В том случае, если подобные задачи содержат большие числовые данные (с такими числовыми данными ученики впервые встречаются при изучении темы “Сотня”), предпочтение следует отдавать схематическим чертежам, не связанным с определенным масштабом.

С большими трудностями дети сталкиваются при встрече с задачами на увеличение или уменьшение числа на несколько единиц, выраженными в косвенной форме. При обучении решению подобных задач важно научить детей устанавливать в какой из совокупностей, о которых идет речь в задаче, больше предметов, а в какой — меньше, какое число нужно узнать: большее или меньшее. Разобраться в этих вопросах поможет использование наглядного материала. Отвечая на вопросы о том, в kаком порядке и как использовать различные виды наглядности при введении таких задач, М.И.Моро и А.М.Пышкало пишут; “Сначала это могут быть демонстрации, связанные с использованием дидактического материала того вида, которые приводились при сравнении двух множеств предметов с первых уроков математики, затем — рисунок, чертеж, краткая запись”.

Далее, авторы на примере задачи: “На столе 8 чашек, их на 3 больше, чем стаканов. Сколько стаканов на столе?” — показывают, как выполнять рисунок, а в дальнейшем и графическую схему в отрезках. Приведем соответствующие выдержки из цитируемой книги.

“По ходу разбора задачи будем выполнять рисунок так: нарисуем в ряд 8 чашек, а затем ниже, под каждой чашкой по 1 стакану. Получим, что стаканов столько же, сколько чашек. Но в задаче сказано, что чашек должно быть на 3 больше. Всего должно быть 8 чашек (как и изображено на рисунке). Значит, их трогать нельзя, а чтобы их оказалось на 3 больше, чем стаканов, нужно “убрать” 3 стакана (на рисунке можно перечеркнуть 3 изображения стаканов). Такая иллюстрация помогает оживить в сознании детей уже известные им соотношения: а) если в одном из сравниваемых множеств на сколько предметов больше, то в другом — их на столько же меньше, т. е. если чашек на 3 больше, значит, стаканов на 3 меньше; б) чтобы стаканов стало на 3 меньше, чем чашек, нужно взять столько же стаканов, сколько и чашек, без 3. Отсюда уже естественно вытекает и запись решения:

8—3=5.

Построение схематического чертежа к этой же задаче комментируется так: “изобразим с помощью произвольного отрезка число чашек, напишем над ним, что он изображает “8 ч.”, начертим ниже равный ему отрезок, который должен условно изображать столько же стаканов. Обращаясь к тексту задачи, вспоминаем, что 8 чашек — это на 3 больше, чем стаканов. Значит, верхний отрезок должен быть больше, а нижний, изображающий число стаканов, — меньше. Отделяем на нижнем отрезке часть его, иллюстрирующую “лишние” 3 стакана, и надписываем над ней “3 шт.”. Над остальной частью отрезка можно поставить знак “?”, так как она иллюстрирует искомое”.

Описанное выше использование рисунков, схематических чертежей и чертежей при решении задач на увеличение (или уменьшение) числа на несколько единиц (выраженных как в прямой, так и косвенной форме) помогает наглядному представлению данных и искомого, связей и зависимостей между соответствующими величинами и тем самым облегчает выбор нужного действия.