Теорема 4.31. Для того, чтобы прямая y = kx+b была наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x → +∞, необходимо и

	достаточно, чтобы существовали конечные пределы
	lim	f(x)		= k,		lim (f(x)			−	kx) = b.	(4.23)
		x			x
	x +					→	+	∞
	→ ∞

Необходимость. Если y = kx + b — асимптота f при x → +∞, то по определению 4.12.8

f(x) = kx + b + α(x),

(4.24)

где α(x) → 0 при x → +∞. Разделим обе части полученного равенства на x и получим

f (x)

= k +

b

+

α(x)

,

x

x

x

откуда следует существование предела

lim

f(x)

= k. Но (см. (4.24))

x

x→+∞

f(x) − kx = b + α(x), где α(x) → 0 при x → +∞.

Поэтому lim (f(x)

−

kx) = b.

x→+∞

Достаточность. Если существуют конечные пределы, перечисленные в 4.23, то f(x) − (kx + b) = α(x), где α(x) → 0 при x → +∞, а поэтому по определению 4.12.8 прямая y = kx + b является наклонной асимптотойf при x → +∞.

Аналогично формулируется и доказывается критерий существования наклонной асимптоты графика f при x → −∞.

4.12.5 Построение графика функции.

Для построения графика функции y = f(x) нужно последовательно выполнить следующие операции:

1.Найти область определения функции f, изучить функцию на четность (нечетность), периодичность.

2.Исследовать функцию на непрерывность, указать точки разрыва, найти асимптоты.

3.Найти f0(x), исследовать функцию на экстремум, указать промежутки монотонности.

4.Найти f00(x), исследовать функцию на перегиб, указать промежутки выпуклости вверх (вниз) графика функции.

5.Дать характеристику поведения функции на каждом из полученных промежутков.

132

6. Нарисовать график.

√

Пример 4.12.7. Построить график функции f(x) = 3 x3 + x2.

1. D(f) = R; функция является функцией общего вида (иными слова-

ми: функция не является четной, не является нечетной), так как

q √

f(−x) = 3 (−x)3 + (−x)2 = − 3 x3 − x2, x R.

Функция не является периодической, так как обращается в нуль только

вдвух точках x = 0 и x = −1.

2.f(x) C(R), поэтому f не имеет вертикальных асимптот. Пря-

мая y = x +

1

— наклонная асимптота f

при x → ±∞ (см. пример

3

4.12.6(b)).

S

3. Для всех x

,

−

1)

(

−

1, 0)

(0, +

∞

)

(−∞

2 S

f0(x) =

1 3x

+ 2x

=

1 3x + 2

.

3q

3

3q

3q

3

(x3 + x2)2

(x + 1)2

x

Так как

3√

3√

f(x) − f(0)

x3 + x2

lim

= lim

= lim

x + 1

=

,

x→0

x

x→0

x

3q

x→0

3√x

∞

lim

f(x) − f(−1)

= lim

(x + 1)x2

=

∞

,

x

→−

1

x + 1

x

→−

1

x + 1

то функция имеет в точках x = −1 и x = 0 бесконечные производные, а значит f имеет в соответствующих точках (−1, 0) и (0, 0) вертикальные

касательные и эти точки являются критическими.

2

2

Далее, f0

(x) = 0 x = −

.

Поэтому

x = −

— стационарная

3

3

точка функции. Поскольку sgn f0(x) = sgn x (3x + 2),

{−

1; 0

}

, то

x /

sgn f0(x) +

+

−

+

-

f(x)

-1r

2

jH0r

r

*

* H

*

−

3

−

3

−

3

3

x =

2

— точка локального максимума и

f

2

!

=

√3 4

, x = 0 —

точка локального минимума и f(0) = 0. На (−∞, −2/3], [0, +∞) функция возрастает, а на [−2/3, 0] — убывает.

4. Так как

f00(x) = −23(x + 1)−5/3x−4/3, x (−∞, −1) [(−1, 0) [(0, +∞),

то f00(x) 6= 0 на указанном множестве и x = −1, x = 0 — точки возможного перегиба f . Но sgn f00(x) = − sgn (x + 1), x 6= 0, −1, а значит

133