и n0 − 1 6 ab . Следовательно, n0 − 1 6 ab < n0 и (n0 − 1)b 6 a < n0b. Поскольку число n0 — минимальный элемент Y , то оно единственно. Cледствие. 1. Для любого числа x R существует единственное число k Z такое, что k 6 x < k + 1 (достаточно в теореме положить b = 1). Такое число k называют целой частью числа x и обозначают

через [x] или E(x).

Cледствие. 2. Для любого положительного числа ε существует натуральное число n такое, что 0 < 1/n < ε.

Пусть ε — положительное число. По принципу Архимеда найдется такое n Z, что n > 1/ε. Поскольку ε > 0, то n N и 0 < 1/n < ε.

Теорема 1.8 (о плотности Q в R). Для любых чисел a, b R, a < b, найдется рациональное число r такое, что a < r < b.

Число b − a положительно. По следствию 2 принципа Архимеда подберем натуральное число n0 такое, что 0 < 1/n0 < b − a. Далее, по принципу Архимеда по числу a и 1/n0 > 0 найдется m0 Z :

m0 − 1 6 a < m0 . n0 n0

Докажем, что рациональное число m0/n0 — искомое. Действительно,

	m0	=	m0 − 1	+	1	< a + (b	−	a) = b.
	n0		n0		n0
Отсюда, a < m0/n0 < b.

1.6.3Счетные и несчетные множества

При изучении множеств приходится по некоторым правилам сравнивать их между собой по запасу элементов. Изложим одно такое правило.

Пусть n — натуральное число, а Nn = {k N : k 6 n}. Множество X называют конечным, если существует такое n N, что между множествами X и Nn можно установить биективное отображение, в противном случае множество X называют бесконечным.

Определение 1.6.8. Бесконечное множество X называют счетным, если существует биективное отображение f : N → X. Если бесконечное множество X не является счетным, его называют несчетным.

Иными словами, счетное множество — это такое бесконечное множество, элементы которого можно занумеровать: a1, a2, . . . , an, . . . , n N.

Пример 1.6.3. Множество X натуральных четных чисел счетно, поскольку функция f : N → X, f(n) = 2n, является биекцией.

Пример 1.6.4. Множество Z целых чисел счетно. В этом случае

20

биективное отображение f : N → Z, f(n) = (−1)n−1[n/2], позволяет пронумеровать элементы множества Z следующим образом:

0, −1, 1, −2, 2, −3, . . . , −n, n, . . . , n N.

Теорема 1.9. Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Пусть X — бесконечное множество, а x1 — произвольный элемент из X. Заметим, что множество {x0 X| x0 6= x1} бесконечно. Зафиксируем любой элемент этого множества и обозначим его x2. Продолжая этот процесс, на n-ом шаге выделим элемент xn X такой, что

xn 6= xk, k = 1, 2, 3, . . . , n − 1.

В результате получим множество Y = {xn X : n N}, которое является счетным, так как xn 6= xk при n 6= k.

Теорема 1.10. Объединение конечной или счетной совокупности счетных множеств есть счетное множество.

Пусть множество A является объединением счетной совокупности счетных множеств A1, A2, . . . . Поскольку множества Ak, k N, являются счетными, то их можно представить в виде:

A1 = {a11, a12, a13, . . . },

A2 = {a21, a22, a23, . . . },

A3 = {a31, a32, a33, . . . },

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Пронумеруем элементы множества A следующим образом:

a1 := a11, a2 := a12, a3 := a21, a4 := a31, a5 := a22, a6 := a13, . . .

Если у множеств Ai и Aj, i 6= j, окажутся одинаковые элементы, то их посчитаем один раз. Поскольку A = {ak : k N} и ai 6= aj, если i 6= j, то множество A — счетно.

Cледствие. Множество рациональных чисел счетно.

Множество рациональных чисел определяется следующим образом: Q = ( mn : m Z, n N, числа m и n взаимно простые ) .

Расположим рациональные числа в таблицу. Сначала в первую строку поместим все целые числа в порядке не убывания их абсолютных величин и так, что за каждым натуральным числом следует ему противоположное:

0, 1, −1, 2, −2, . . . , n, −n, . . . .

21