Пример 5.5.17. Вычислить интеграл Z

4√

dx

(x > 0).

1 + x4

Так как Z

4√

dx

= Z (1 + x4)−1/4 dx,

то m = 0,

n = 4, p = −

1

/ Z.

1 + x4

4

m + 1

1

m + 1

Тогда

=

/ Z,

+p = 0 Z. Поэтому применим подстановку

n

4

n

1 + x−4 = t4

и получим, что

1

и dx = −

t3dt

x =

4√

4

4√

.

4

(t

− 1)

4

t

− 1

t

− 1

Прежде, чем сделать подстановку, преобразуем подынтегральную функцию к виду (1 + x4)−1/4 = x−1(x−4 + 1)−1/4. Тогда

t2 dt

1

dt

1

dt

I = Z

x−1(x−4 + 1)−1/4 dx = − Z

= −

Z

−

Z

=

t4 − 1

2

t2 − 1

2

t2 + 1

x +

√

√

=

1

ln

t − 1

1

arctg t+C =

1

ln

1

+ x4

1

arctg

1 + x4

+C.

−

t + 1

−

4

−

4

4

x

2

4

√

2

4

x

4

+ x

−

5.5.3Интегрирование тригонометрических функций

Лемма 5.5.7. Функции вида R(sin x, cos x), где R(u, v) — рациональная функция от u и v, интегрируются в элементарных функциях.

Подстановка tg x2 = t, x (−π, π) рационализирует выражение

R(sin x, cos x) dx,

так как

2 tg

x

2t

1 − tg

2 x

1 − t2

sin x =

2

=

,

cos x =

2

=

,

x

2

x

1 + tg

2

1 + t

1 + tg

2

1 + t

2

2

2

x = 2 arctg t, dx =

2

dt.

1 + t2

R

2t

2

2

Поэтому R(sin x, cos x) dx =

,

1 − t

dt =

R1(t) dt,

Z

Z

1 + t

1 + t

1 + t

Z

где R1(t) — рациональная функция от t. Следовательно, рассматриваемая функция интегрируется в элементарных функциях.

Подстановка tg	x		= t называется универсальной тригонометриче-
2
ской подстановкой для интегралов вида Z				R(sin x, cos x) dx.
Однако универсальная тригонометрическая подстановка приводит
иной раз к сложным			выкладкам. Рассмотрим частные случаи, когда

173

цель может достигаться с помощью более простых подстановок. Напомним следующие простые результаты из курса алгебры. Если рациональная функция R(u, v) является нечетной по переменной u, то есть R(−u, v) = −R(u, v), то она приводится к виду R(u, v) = u R1(u2, v), где R1 — рациональная функция. Аналогичное представление имеет место, если функция R(u, v) является нечетной по переменной v. Если же рациональная функция R(u, v) является четной по совокупности

переменных,	то есть		R(−u, −v) = R(u, v)	, то она приводится к виду
	u
R(u, v) = R2(		, v2), где R2 — рациональная функция.
	v

Теперь выделим три специальных подстановки.

1. Если R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x), то подстановка cos x = t

рационализирует выражение R(sin x, cos x) dx, так как dt = − sin x dx и

Z	R(sin x, cos x) dx = Z		sin xR1(sin2 x, cos x) dx =
	= − Z	R1(1 − t2, t) dt = Z		R2(t) dt,

где R2(t) — рациональная функция от t.

2.Если R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x), то аналогичным образом подстановка sin x = t рационализирует выражение R(sin x, cos x) dx.

3.Если R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x), то исходное выражение

рационализирует подстановка tg x = t,

x (−π/2, π/2) , так как тогда

x = arctg t,

dx =

dt

,

cos2 x =

1

=

1

. Поэтому

2

1 + tg

2

x

2

1 + t

1 + t

R(sin x, cos x) dx = R2

sin x

, cos2 x! dx =

cos x

Z

Z

= R2

tg x,

1

! dx =

R2

t,

1

!

dt

=

R4(t) dt,

2

1 + t

2

1 + t

2

Z

1 + tg

x

Z

Z

где R4(t) — рациональная функция от t.

Рассмотрим примеры интегрирования в элементарных функциях ра-

циональных функций от sin x и cos x.

Пример 5.5.18. Вычислить интеграл Z

dx

.

5

−

4 sin x + 3 cos x

x

Выполним подстановку tg

= t,

x (−π, π) и получим

2

t2)

=

Z

5 4 sin x + 3 cos x = 2 Z

8t

3(1

dx

dt

−

(1 + t2) 5

−

+

−

2

1 + t

2

1 + t

= Z

dt

=

1

+ C =

1

+ C.

(t 2)2

2

t

x

−

−

2 − tg

2

174

Z

Пример 5.5.19. Вычислить интеграл sin5 x cos4 x dx.

Так как R(− sin x, cos x) = − sin5 x cos4 x = −R(sin x, cos x), то полагая cos x = t, получим

Z

sin5 x cos4 x dx = Z

sin4 x cos4 x sin x dx =

= − Z 1 − cos2 x 2 cos4 x d(cos x) = − Z (1 − t2)2t4 dt =

t5

2

1

= − Z (t4 − 2t6 + t8) dt = −

+

t7

−

t9 + C =

5

7

9

1

2

1

= −

cos5 x +

cos7 x −

cos9 x + C.

5

7

9

Пример 5.5.20. Вычислить интеграл Z

dx

.

sin3 x cos5 x

Так как R(− sin x, − cos x) =

1

=

R(sin x, cos x), то

(

−

sin x)3(

−

cos x)5

положим tg x = t и получим

Z

dx

= Z

dx

= Z

d

(tg

x)

=

sin3 x cos5 x

sin3 x

3

·

1

cos6 x cos2 x

tg

x

(1 + tg2 x)3

cos3 x

dt

(1 + t2)3

dt

dt

= Z

= Z

dt = Z

+ 3 Z

+ 3 Z

t dt + Z

t3 dt =

t3

1

t3

t3

t

(1 + t2)3

1

3

2

1

4

1

1

= −

+ 3 ln |t| +

t +

t + C =

−

+ 3 ln | tg x|+

2t2

2

4

2

tg2 x

+

3

tg2 x +

1

tg4 x + C.

2

4

Иногда при вычислении интегралов указанного типа бывает полезно прибегать к другим искусственным приемам, используя известные три-

гонометрические формулы.

Пример 5.5.21. Вычислить интеграл Z

dx

.

Z

sin3 x cos x

sin3 x dx =

sin3 x cos x

= Z

sin3 x cos x

dx = Z

sin x cos x + Z

dx

(sin2 x + cos2 x)

dx

cos x

= Z

tg x

+ Z

sin3 x

= ln | tg x| − 2 sin2 x + C.

d(tg x)

d(sin x)

1

Z

При вычислении интегралов вида

sin αx cos βx dx, используются

формулы:

sin αx cos βx = 12 sin(α + β)x + sin(α − β)x ,

175