zajcevVM

17. 1)

18. 1)

19. 1)

20. 1)

21. 1)

22. 1)

23. 1)

lim

ln(1 + x2 )

;

x→0 cos 3x −e−x

lim

1 − 2 sin x

;

cos 3 x

π

x→6

lim

e x2

−1

;

1

x→0 cos x −

lim

e x −esin x

;

x3

x→0

lim

arcsin 2 x

;

x→0

2 − 2e−4 x

2

lim

e

x2

− 1

;

π − 2arctg x

x→+∞

lim

e

x −1

;

sin x

x→0+0

4

2)

lim

ln( 2 x − 5 )

;

x→3

esinπ x

− 1

lim

x

−

x

2)

;

x − 1

ln x

x→1

2)

lim

1

−

1

;

x→1

ln x

x ln x

2)

lim

3

x − 1

;

4

x − 1

x→1

2)

lim

ln(x +7 )

;

7

x − 3

x→+∞

2)

lim

1

−

1

;

x

x→0

tg2 x

2)

lim

ln sin 3 x

;

x→π ( 6 x −π )2

6

3) lim(sin x )6 tg 3 x .

x→π2

							1
3)	lim( 1 + cos 3 x )							cos x	.
	x→π
	2
					x tg		π x
	lim		2	−			4
3)							.
	x→2				2
					1

3) lim( ctg2 x )ln x .

x→0

6

3) lim x 1+2 ln x . x→∞

2

3) lim(cos 4 x )x2 .

x→0

1

3) lim (cosπ x )sin2 π x .

x→0

e x2 −1

1

6

24. 1)

lim

;

2) lim

−

;

2

x→∞ 2arctg (x2 )−π

x→3 x

− 3

x

− 9

lim

ln x

π

25. 1)

;

2)

lim

tg2 x ctg

+ x

1 − x3

4

x→1

x→π4

26. 1)

lim

e2 x −e−x

;

2)

lim (1 −cos 2 x) ctg4 x ;

x→0

sin 2 x

x→0

27. 1)

lim

lncos x

lim

1

−

1

;

2)

;

x

x→0

x→0

x

e x −1

28. 1)

lim

e2 x −cos x

;

2)

lim

ln 2 x ln(2 x −1);

x→0 e−x −cos 2 x

x→0 ,5

121

3) lim ( −ln x )x .

x→0+0

; 3)		π		−x
	lim (cos x )2						.
	x→π
	2
3)	lim (1 − x)ln x .
	x→1
	lim( x2 + 3 )		1
3)			x		.
	x→∞
		1
3)	lim x	ln(ex −1)					.
	x→0+0

π tg (2 x)

29. 1) lim ( ) ; x→0 ln 1 −π x

	30. 1) lim	3 tgx −1		;
		2 sin2 x −	1
	x→π
	4

ln 3x

π x tg

π x

lim

2

2)

;

3)

lim

tg

.

3 x

x→+∞

x→1

4

ln(sin4 x)

2

2)

lim

;

3)

lim x

1+2 ln x

.

ln(sin x)

x→0+0

x→+∞

5.2. Провести полное исследование указанных функций и построить их графики.

1.

1)

y =

( x + 1 )2

;

2)

y = ln( x2 + 2 x + 2 ) .

x − 2

e−x−1

2.

1)

y =

x3

+ 4

;

2)

y =

.

x2

x

+ 1

x − 1

2) y = xe−

x2

3. 1)

y =

;

2

.

x2

− 4

4.

1)

y = x +

2 x

;

2)

y = x − ln( 1 + x2 ) .

x2 −

1

5. 1)

y =

2

;

2) y = (2 − x) e x−1 .

x2 + 2 x

x − 1

2

2

1

6. 1) y =

;

2) y = x

e x .

x

7. 1)

y =

1 − x3

;

x2

8. 1) y =

x

;

(x −1)2

9. 1)

y =

x − 1

;

x2 + 2 x

10. 1)

y =

x4

;

x3 − 1

2

x

11. 1)

y = −

;

2

x +

12. 1)

y =

x + 2

2

;

x − 1

2)y = ln xx +− 12 .

2)y = 2 ln xx +−21 −1 .

2)y = ln( x2 − 4 x + 8 ) .

2)y = x2 ex .

	2)	y =	e2 x	.
			2 x
	2)	y = x2 − 2 ln x .

122

13. 1) y =

2 x − 1

;

2

( x − 1 )

14. 1)

y =

4

(x + 1)2

;

x2

−

4 x +

4

15. 1)

y =

x3

+ 1

;

x2

2

16. 1)

y =

x + 1

;

1

x −

17. 1)

y =

1

;

1 − x4

18. 1) y =

x3

;

x2 − x + 1

19. 1)

y =

x3

− 1

;

4 x2

2)	y =		2 ln x				.
					x
2) y =		2 − 2 ln							x
										.
								x + 4
2)	y = e6 x−x2 .
		3				e− x .
2)	y = x			2
2)	y = (x −1) e2−x .
2)	y = ln				x + 6				.
						x
2)	y = e3 x−x2 .

	20. 1) y =		x4	;		2)	y =	x		.
			x3 −1					e x2
	21. 1) y =		x2 + 6		;	2)	y =	1	3	x2 (x − 5) .
			x2 + 1					3

22. 1) y =		(1 − x)3				;			2) y = x2 − 4 x + 5 .
		(x − 2)2
23. 1)	y =		x2 −1		;				2) y = −(x + 2) e x+3 .
			x2 + 1
24. 1)	y =		4 x		;				2) y = x ln | x | .
			1 + x2
25. 1)	y =				x3			;	2) y =	2x	.
			( x − 2 )( x + 3 )							x
26. 1)	y =		x −1	;					2) y = ln(x2 + 1).
			2
			x
27. 1)	y =		x3 − 1		;				2) y = x ln2 x .
			4 x2
									123

28. 1)

y = 2 x + 3

3 ( 2 − x )2 ; 2)

y =

ex

.

x +

3

x3

29. 1)

y =

;

2)

y = −ln

1 + x

.

x2 −1

1 − x

4 − 2 x

2

−

x2

30. 1)

y =

;

2) y = x

e

.

3

3

x2 − 1

5.3. Решить следующие задачи.

1. Полотняный шатёр объёмом V имеет форму прямого конуса. Какое должно быть отношение высоты конуса к радиусу его основания, чтобы на шатёр пошло наименьшее количество полотна?

2. Требуется изготовить открытый сверху цилиндрический сосуд данного объёма V. Каковы должны быть высота и радиус основания цилиндра, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала?

3. Проволокой, длина которой L, необходимо огородить клумбу, имеющую форму кругового сектора. Каким должен быть радиус круга, чтобы площадь клумбы была наибольшей?

4. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса R.

5. Точки равномерно движутся по осям координат со скоростями u1 и u2 . В начальный момент они занимали положение соответственно в точках M1 (a ,0) и

M2 (0 ,b) . Найти кратчайшее расстояние между точками.

6. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен p. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?

7. Определить наибольшую площадь прямоугольника, у которого одна сторона лежит на основании a данного треугольника, а две вершины на боковых сторонах треугольника, если треугольник имеет высоту h.

8. Требуется вырыть яму конической формы (воронку) с образующей L. При какой глубине объём воронки будет наибольшим?

9. Найти наибольшую площадь прямоугольника, вписанного в сегмент круга радиуса R, если центральный угол сегмента равен 2α .

10. При каких линейных размерах (радиус основания, высота) закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?

11. Найти наибольшую площадь прямоугольника, вписанного симметрично в сектор круга радиуса R, если центральный угол сегмента равен 2α .

12. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с. Каковы должны быть катеты, чтобы периметр треугольника был наибольшим?

124

13. Найти наибольший объём цилиндра, у которого периметр осевого сечения равен p.

14. Из квадратного листа жести со стороной а надо изготовить открытую сверху коробку. Для этого по углам листа вырезают равные квадраты и образовавшиеся края загибают вверх. Какого размера следует сделать вырезы, чтобы полученная коробка имела наибольшую вместимость?

15. Найти наименьший объём конуса, описанного около полушара радиуса R. 16. Равнобедренный треугольник, периметр которого р вращается вокруг основания. Найти длину основания а, при которой полученное тело вращения имеет

наибольший объём.

17. Найти наибольший объём конуса с данной образующей L.

18. Цистерна имеет форму прямого кругового цилиндра, завершенного сверху полушаром. Вместимость цистерны V. Найти радиус цилиндра R, при котором цистерна будет иметь наименьшую полную поверхность.

19. При каком наклоне боковых сторон равнобедренной трапеции площадь её будет наибольшей, если боковые стороны равны b, а меньшее основание равно a?

20. При каких линейных размерах (радиус основания, высота) цилиндр, вписанный в шар радиуса R, будет иметь наибольшую боковую поверхность?

21. На одной стороне прямоугольника построен полукруг (вне прямоугольника). Дан периметр р всей получившейся фигуры. Найти наибольшую возможную площадь этой фигуры.

22. Найти высоту прямого кругового конуса наименьшего объёма, описанного около шара радиуса R.

23. Указать на параболе y2 = 2 px точку, ближайшую к точке A(a ,0) .

24. Из фигуры, ограниченной кривой y = 3 x и прямыми x = 4 , y = 0 , вырезать прямоугольник наибольшей площадью.

25. Найти равнобедренную трапецию, которая при заданной площади S имела бы наименьший периметр. Острый угол при основании трапеции равен α .

26. Из всех цилиндров, вписанных в данный конус, найти тот, у которого боковая поверхность наибольшая. Высота конуса H, радиус основания R.

27. Найти кратчайшее расстояние от точки M0 ( p, p) до параболы y2 = 2 px .

28. Из всех конусов с данной боковой поверхностью S найти тот, у которого объём наибольший.

29. Найти внутренние размеры открытого сверху цилиндрического сосуда данной ёмкости V с толщиной стенок a, на который потребуется минимум материала.

30. Найти высоту конуса наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса R.

125

Раздел 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Литература: [2, модуль 12, 13]; [3, глава 9]; [5, глава 7].

До сих пор рассматривались функции одной переменной, т. е. функции, значения которых зависят от значений одной независимой переменной. Однако нередки случаи, когда независимых переменных оказывается несколько.

Так, например, площадь треугольника S зависит от длины основания a и от высоты h, опущенной на это основание. Эта зависимость выражается формулой

S = 0,5ah, которая даёт возможность, зная значения двух независимых переменных a и h, установить соответствующее значение S.

Объём V прямоугольного параллелепипеда с рёбрами, длины которых равны x, y и z, определяется по формуле V = xyz, т. е. зависит от значений трёх независимых переменных x, y и z.

Изучение такого рода зависимостей приводит к понятию функции нескольких переменных, что и будет составлять содержание этого раздела.

1. Понятие функции двух и более переменных

Уточнение понятия функции в случае нескольких независимых переменных начнём с простейшего случая, когда этих переменных две.

Величина z называется функцией двух независимых переменных x и y, опреде-

лённой в некоторой области D их изменения, если каждой паре (x, y) их значений из области D по определённому правилу или закону ставится в соответствие единственное значение z.

Область D называется областью определения функции z, а множество всех значений функции z областью значений функции. Переменные x и y называются

аргументами функции.

В дальнейшем будем считать, что x, y, z R, т. е. и аргументы, и значение функции – действительные числа.

Запись функции z такова: z = f(x, y), z = g(x, y) и т. п.

Буквы f, g и другие используются для обозначения закона соответствия между независимыми переменными x и y и зависимой переменной z. Иногда и закон соответствия, и результат соответствия обозначают одной буквой, т. е. функцию записывают в виде z = z(x, y).

Из определения функции z = f(x, y) следует, что эту функцию можно пони-

мать как функцию точки координатной плоскости Oxy, если пару чисел (x, y)

изображать в виде точки M(x, y) на этой плоскости. Тогда возможна запись:

126

z = f(x, y) = f(M) – функция точки M плоскости. Областью определения функции двух переменных может быть вся плоскость Oxy или её часть.

Пример 6.1. Указать области определения функций:

1) z = x2 + y2;

2) z = 1 − x2 − y2 .

Решение. 1) Область определения этой функции D = {M(x, y): x, y R}, т. е. вся плоскость Oxy (ограничений применения данной формулы нет). Ясно, что об-

ласть значений {z R: z ≥ 0} – множество всех неотрицательных действительных чисел.

2) Выражение 1 − x2 − y2 определено только при 1− x2 − y2 ≥ 0. Поэтому

D = {M(x, y): x, y R и x2 + y2 ≤ 1}. Множество таких точек образует единичный круг с центром в начале координат. Область значений функции – отрезок [0; 1].

Как известно, функция одной переменной y = f(x) геометрически иллюстрируется своим графиком – множеством точек {x, f(x)} плоскости Oxy, т. е. в общем случае некоторой линией плоскости.

Подобным образом, функция двух переменных z = f(x, y) геометрически иллюстрируется своим графиком – множеством точек {x, y, f(x, y)} уже в пространстве Oxyz. Это будет, вообще говоря, некоторая поверхность, равенство z = f(x, y)

называется уравнением этой поверхности.

Напомним, что в аналитической геометрии были рассмотрены некоторые поверхности и их уравнения. Так, например, уравнение x − 2y − z + 1 = 0 является уравнением плоскости, т. е. графиком функции z = x − 2y + 1 служит плоскость.

Понятие функции u трёх независимых переменных x, y, z даётся аналогично случаю двух переменных.

Функцию u = f(x, y, z), так же как и функцию двух переменных, можно рассматривать как функцию точки M(x, y, z), но уже не на плоскости Oxy, а в про-

странстве Oxyz: u = f(x, y, z) = f(M).

Область определения теперь представляет собой всё пространство или его часть. Так, например, функция u = x2 + y2 + z2 определена во всём пространстве, а

функция u = 1 − x2 − y2 − z2 определена только для тех точек пространства,

координаты которых удовлетворяют неравенству 1− x2− y2− z2 ≥ 0, т. е. определена в единичном шаре с центром в начале координат.

Изобразить функцию трёх переменных с помощью графика в трёхмерном пространстве нельзя.

Для функции нескольких переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной (в данном пособии эти вопросы не рассматриваются).

127

2. Частные производные

Пусть в некоторой области задана функция двух переменных z = f(x, y). Возьмём произвольную точку M(x, y) этой области и дадим аргументу x произвольное приращение ∆x, оставляя значение второго аргумента y неизменным, т. е. перейдём на плоскости от точки M(x, y) к точке M1(x+∆x, y). Тогда функция z получит приращение

∆x z = f (x + ∆x, y) − f (x, y) = f (M1 ) − f (M ) ,

называемое частным приращением функции z = f(x, y) по аргументу x. Аналогично определяется частное приращение функции z по аргументу y:

∆y z = f (x, y + ∆y) − f (x, y) = f (M2 ) − f (M ) .

Полное приращение ∆z функции z определяется равенством

∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y).

	Если существует конечный предел
	lim	∆x z	= lim	f ( x + ∆x, y) − f ( x, y)	,	(6.1)
				∆x
	∆x→0	∆x	∆x→0

то он называется частной производной функции z= f(x, y) в точке M(x, y) по пе-

ременной x и обозначается одним из следующих символов:

	z′x , fx′ ,	∂z	,	∂f .
		∂x
				∂x

Аналогично определяется и обозначается частная производная функции z= f(x, y) в точке M(x, y) по переменной y:

	z′y =	lim	∆y z	= lim	f ( x, y + ∆y) − f (x, y)	.	(6.2)
			∆y		∆y
		∆y→0		∆y→0

Из определения следует, что частная производная функции нескольких (двух, трёх и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные вычисляют по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной.

Пример 6.2. Найти частные производные функций:

1) z = x3 − 2 xy2 + y ;

2) z = xsin y .

Решение. 1) Считая y = const, имеем

z′x = (x3 )′x − 2 y2 (x)′x + ( y )′x = 3x2 − 2 y2 . 128

При вычислении z′y нужно считать x = const, поэтому
z′y = (x3 )′ − 2 x ( y2 )′ +(		y )′ = −4 xy +	1	.
y	y	y	2 y

2) Если y = const, то функция z является степенной функцией аргумента x,

поэтому z′x = (xsin y )′x = sin y xsin y−1 .

При x = const функция z – показательная функция аргумента y, поэтому

z′y = (xsin y )′y = xsin y ln x (sin y )′y = xsin y

3. Полный дифференциал функции

Если полное приращение ∆z функции z = f (x, y) представить в виде

ln x cos y .

в точке M (x, y) можно

∆z = z′x (M ) ∆x + z′y (M ) ∆y +α1 ∆x +α2 ∆y ,

где α1 , α2	– бесконечно малые величины при ∆x →0, ∆y →0 , то функция
z = f (x, y)	называется дифференцируемой в точке M (x, y) .
Полным дифференциалом функции z = f (x, y) называется		главная часть
полного приращения ∆z , линейная относительно ∆x и ∆y , т. е.
	dz = z′x ∆x + z′y ∆y .	(6.3)

При этом ∆x = dx и ∆y = dy , если x и y – независимые переменные. Поэтому полный дифференциал функции двух переменных вычисляется по формуле

dz = z′x dx + z′y dy .

Из определения дифференциала функции z = f (x, y) следует, что при доста-

точно малых ∆x и ∆y имеет место приближённое равенство ∆z ≈ dz или
f (x + ∆x, y + ∆y) ≈ f (x, y) + fx′ (x, y) ∆x + f y′ (x, y) ∆y ,	(6.4)
которое можно использовать в приближённых вычислениях.

Пример 6.3. Вычислить приближённо (1,08)3,96.

Решение. Заметим, что (1,08)3,96 есть частное значение функции f(x, y) = xy в точке M1(1,08; 3,96). Возьмём близкую к точке M1 точку M0(1; 4), в которой функцию и частные производные легко вычислить:

129

f (M0 ) = 1, fx′ = yx y−1 fx′(M0 ) = 4, fy′= x y ln x fy′(M0 ) = 0 .

Так как ∆x =1,08 − 1 = 0,08, ∆y =3,96 − 4 = − 0,04, то, согласно (6.4) в точ-

ке M0, получим

(1,08)3 ,96 ≈ f (M0 ) + fx′(M0 )∆x + fy′(M0 )∆y = 1,32 .

4. Частные производные высших порядков

	Частные производные	∂z(x, y)	,	∂z(x, y)	называют частными производными
		∂x		∂y

1-го порядка, они являются функциями от x и y. Частными производными 2-го по-

рядка от функции z = f (x, y) называются частные производные от её частных

производных и обозначаются:

∂2 z

∂2 z

∂

∂z

= z′′xx =

;

∂

∂z

= z′′yy =

;

∂y2

∂x2

∂x

∂x

∂y

∂y

∂

∂z

= z′′xy =

∂2 z

;

∂

∂z

= z′′yx =

∂2 z

.

∂x∂y

∂y∂x

∂y

∂x

∂x

∂y

Аналогично определяются и обозначаются частные производные 3-го, 4-го и высших порядков, например:

z′′′

=

∂

∂2 z

=

∂3z

;

z′′′

=

∂

∂2 z

=

∂

3 z

.

2

3

2

2

xxx

∂x

∂x

xxy

∂x

∂x

∂y

∂x

∂y

Частная производная любого порядка, взятая по различным переменным, на-

	зывается смешанной, например,	∂2 z	,	∂2 z	,	∂3 z	,	∂3 z	, ...
		∂x∂y		∂y∂x		∂x∂y∂x		∂y∂x∂x

Отметим, что смешанные производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны. Например:

∂2 z = ∂2 z ; ∂x∂y ∂y∂x

	∂3 z		=	∂3 z	=	∂3 z	.
	∂x2	∂y		∂y∂x2		∂x∂y∂x

Пример 6.4. Вычислить все частные производные функции z = x4 +5x2y2 до 3-го порядка включительно.

Решение. Имеем

z′x = 4 x3 + 10 xy2 , z′y = 10 x2 y,

z′′xx = 12x2 + 10 y2 ,			z′′xy = z′′yx = 20 xy,		z′′yy = 10 x2 ,
′′′	′′′		′′′	′′′	′′′	′′′	′′′	′′′
zxxx = 24 x,	zxxy	= zxyx = zyxx = 20 y,			zxyy = zyxy = zyyx = 20 x,			zyyy = 0.
				130