zajcevVM

2 x1 + x2 + x3 = 2
	x1 − 3x2 + 4 x3 = 8 .
11.
	x2 − 3x3 = −4
	2 x1 + x2	= 4
		x3 = 2 .
13. x1 +
x1 − 2 x2 − x3 = −4
2 x1 − 3x2 + x3 = 0
	x1 + 2 x2 + 2 x3 = 2 .
15.
	x1 − 2 x2	= 0
	x1 − 3x2 + x3 = 2
	2 x1 + x2	= 5 .
17.
	x1 + 3x2 + x3 = 8
−x1 + 2 x2 + x3 = −3
	x1 + 3x2 + x3 = −3 .
19.
	2 x1 + x2	= 0
−x1 + x2 + x3 = 1
	2 x1 − 3x2 + 2 x3 = 0 .
21.
	x2 − 2 x3 = 0
2 x1 + 3x2		= −4
	x1 +	x3 = 4 .
23.
	x1 − 5 x2 − x3 = 8
2 x1 − 3x2 + x3 = −1
	3x1 + 2 x2 + x3 = 4 .
25.
	x1 − 5 x2	= −5
	x1 − 2 x2 + 3x3 = −5
	−x1 + x2	= 0 .
27.
	x1 + 2 x2 + 2 x3 = 4

x1 + 3x2 + x3 = 3
	5 x2 + 2 x3 =7 .
12.
4 x1 + x2 − x3 = −4
x1 + x2 − 2 x3 = −1
		3x3 = 2 .
14. x1 +
x1 + 2 x2 + x3 = 4
2 x1 + x2			= 4
16. 3x1 − x2 + 2 x3 =7 .
	x1 + x2 + 2 x3 = 9
3x1 − x2 − x3 = 6
		3x2 + x3 = 5 .
18.
		+ 2 x2 + x3 = 2
−x1
2 x1 + 3x2 − x3 = 9
	x1	+ x2 + 2 x3 = −1 .
20.
		2 x2 +	x3 = 0
x1 + 2 x2 + x3 = 2
		− x2 + 3x3 = −3 .
22.
		+ x2 − x3 = 10
3x1
x1 + x2 − 2 x3 = −5
	−x1	+	3x3 =7 .
24.
	3x1	+ 5 x2 + x3 = −1
2 x1 + 3x2			= 8
	−x1	+ 5 x2 + 4 x3 = 5 .
26.
	x1	+ x2 + 3x3 = 0
x1 + x2 + 2 x3 = −2
		2 x2 + 3x3 = −5 .
28.

x1 + 3x2 + 4 x3 = −6

31

−x1 + 2 x2 + x3 = −5				x1 + 3x2 − 8 x3 =7
	4 x1	+ x2	+ x3 = 6 .		+ x2 + 3x3 = 3 .
29.				30. x1
	2 x1	+ 5 x2	= −1		5 x2 + 9 x3 = 5

1.4. Методом Гаусса найти множество pешений одноpодной системы тpёх линейных уpавнений с четыpьмя неизвестными:

x1 − 5 x2 − x3 − 2 x4 = 0
		4 x1 − 6 x2 + 3x3 −7 x4 = 0 .
1.
		2 x1 + 4 x2 + 5 x3 − 3x4 = 0
3x1 + x2 − 3x3 − 2 x4 = 0
		x1	+ 5 x2 −7 x3 − 2 x4 = 0 .
3.
		2 x1 − 3x2 + x3			= 0
x1 + x2 − 3x3 − 8 x4 = 0
			− 3x2 −7 x3 − x4 = 0 .
5. 7 x1
			− x2 − 5 x3 − 2 x4 = 0
4 x1
x1 + 4 x2 − 3x3 − x4 = 0
			3x2 −7 x3 − 2 x4 = 0 .
7.
			+ x2 + x3 − 8 x4 = 0
2 x1
x1 +				3x3 + x4 = 0
			− 2 x2 + 8 x3 + 4 x4 = 0 .
9. 3x1
		x1	− 2 x2 + 2 x3 + 2 x4 = 0
x1 − 5 x2 − x3 − 2 x4 = 0
	2 x1		− 6 x2 + x3 − 4 x4 = 0 .
11.
	−x1		+ 4 x2 + 5 x3 − 3x4 = 0
3x1 + x2 − 3x3 − 3x4 = 0
	−x1		+ 5 x2 − 2 x3 − 2 x4 = 0 .
13.
	2 x1		− 3x2 + x3		= 0

2 x1 + 2 x2 − x3 − 3x4 = 0
				= 0 .
2. 3x1 − 3x2 + 4 x3 − 3x4
	x1 + 2 x2 − 6 x3 − 5 x4 = 0
x1 + 3x2 − x3 − 6 x4 = 0
		+ 3x2	+ 2 x3 − x4	= 0 .
4. −x1
		− 3x2	+ 4 x3 − 3x4	= 0
5 x1
x1 + 2 x2 + x3 − x4 = 0
	−2 x1 −7 x2 − 2 x3 − 5 x4 = 0 .
6.
	3x1 − 2 x2 + 4 x3 − x4 = 0
2 x1 − 2 x2 + 3x3 + x4 = 0
		− 2 x2	+ 4 x3 − 4 x4	= 0 .
8. 5 x1
		+ 2 x2	− 2 x3 − 6 x4	= 0
x1
x1 − 2 x2 + 2x3 − x4 = 0
	5 x1	− 3x2	+ 2 x3 + 4 x4	= 0 .
10.
	3x1	+ x2	− 2 x3 + 6 x4	= 0
4 x1 + 2 x2 − x3 + 3x4 = 0
	3x1	− 3x2	+ 4 x3 − 3x4	= 0 .
12.
	x1	+ 2 x2	− 2 x3 − 5 x4	= 0
x1 + 3x2 − x3 − 4 x4 = 0
	2 x1	+ 3x2	+ 2 x3 − x4	= 0 .
14.
	−x1	− 3x2	+ 2 x3 − 3x4	= 0

32

x1 + x2 − 3x3 − 2 x4 = 0
	2 x1	− 3x2 − 4 x3 − x4 = 0 .
15.
	3x1	− x2 − 2 x3 − 2 x4 = 0
x1 + 4 x2 + 3x3 − x4 = 0
		2 x2 −7 x3 − 2 x4 = 0 .
17.
	2 x1	+ x2 + x3 − 3x4 = 0

x1 +				3x3 + x4 = 0
	3x1		− 2 x2	+ 5 x3 + 4 x4 = 0 .
19.
	2 x1		− 4 x2	+ 2 x3 + 2 x4 = 0
x1 − 5 x2 − x3 − 2 x4 = 0
			− 6 x2	+ 3x3 − 3x4 = 0 .
21. 5 x1
	2 x1		+ 4 x2	+ 2 x3 − 3x4 = 0
3x1 + x2 − 3x3 − 2 x4 = 0
		−x1	+ 5 x2	− 5 x3 − 2 x4 = 0 .
23.
		2 x1	− 3x2	+ x3	= 0
x1 + x2 − 3x3 − 2 x4 = 0
			− 3x2	−7 x3 − x4 = 0 .
25. 6 x1
		4 x1	− x2	− 5 x3 − 2 x4 = 0
x1 + 4 x2 − 3x3 − x4 = 0
			x2 − 6 x3 − 2 x4 = 0 .
27.
		2 x1	+ x2 + x3 − 4 x4 = 0
x1 +				2 x3 + x4 = 0
		3x1	− 2 x2	+ x3 + 4 x4 = 0 .
29.
		x1	− 2 x2	+ 2 x3 + 2 x4 = 0

x1 + 2 x2 + x3 − 3x4 = 0
	−2 x1		−7 x2	− 2 x3 − 5 x4	= 0 .
16.
	3x1		+ 2 x2	+ 4 x3 + x4	= 0
2 x1 − 2 x2 − 5 x3 + x4 = 0
	−x1 − 2 x2 + 4 x3 − 2 x4 = 0 .
18.
	x1 + 2 x2 − 2 x3 − 3x4 = 0
	− 3x1 − 2 x2 + 2x3 − x4 = 0
		6 x1 − 3x2 + 2 x3 + 4 x4 = 0 .
20.
		3x1 + x2 − 2 x3 + 2 x4 = 0
	2 x1 + 2 x2 − x3 − 3x4 = 0
		3x1	− 3x2	+ 4 x3 − 3x4	= 0 .
22.
		−x1	+ 2 x2	− 3x3 − 5 x4	= 0
	x1 + 2 x2 − x3 − 5 x4 = 0
		−x1	+ 3x2	+ 2 x3 − x4	= 0 .
24.
			− 3x2	+ 4 x3 − 3x4	= 0
	5 x1
	x1 + 2 x2 + x3 − x4 = 0
26. −2 x1 − 3x2 − 2 x3 − 5 x4 = 0 .
		4 x1 − 2 x2 + 4 x3 − x4 = 0
	2 x1 − 2 x2 + 3x3 + x4 = 0
		4 x1	− 2 x2	+ 4 x3 − 4 x4	= 0 .
28.
		x1	+ 2 x2	− 2 x3 − 5 x4	= 0
	x1 − 2 x2 + 2x3 − x4 = 0
		4 x1	− 3x2	+ 2 x3 + 4 x4	= 0 .
30.
			+ x2	− 3x3 + 6 x4	= 0
	3x1

33

Раздел 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Литература: [ 1, модуль 4, 5, 6 ]; [ 3, глава 2, 3, 4 ]; [4, глава 1]; [ 5, глава 2 ].

1. Линейные операции над векторами

Вектором называется направленный отрезок, т. е. отрезок прямой с указанием uur

точек начала А и конца В. Вектор обозначается символом AB или a .

Длина направленного отрезка называется длиной или модулем вектора и
обозначается так:		uuur	.
		AB
Если длина вектора равна единице, то он называется единичным или ортом.
Вектор,	длина которого				равна нулю,	называется	нулевым	вектором и
	r			uur	r
обозначается 0 , например,				AA = 0 . Нулевой вектор направления не имеет.
Векторы	называются			коллинеарными,		если они	лежат на	одной или

параллельных прямых.

Векторы, лежащие в одной или в параллельных плоскостях, называются

компланарнымиr.

r

называются равными, если они имеют одинаковую длину,

Векторы

a и

b

коллинеарны и одинаково направлены:

r

r

r

=

r

r

r

a

= b

a

b

и a ↑↑ b .

Таким образом,

вектор b равен

вектору ar , если

вектор

b

может быть

получен из вектора ar

при помощи параллельного переноса.

Над векторами рассматриваются линейные операции: операция сложения

векторов и операция умножения вектора на число.

r

r

r

r

называется новый вектор,

который идёт

Суммой a

+ b

двух векторов a и

b

из начала вектора

ar

в конец вектора

br , при условии,

что начало вектора b

совпадает с концом вектора a (правило треугольника) (см. рисунок, случай а)).

а)

б)

в)

Можно два вектора складывать и по правилу параллелограмма. Для этого векторы переносят так, чтобы начала их были в одной точке O. Затем строят

34

параллелограмм со сторонами, равными a и b . Вектор ar + b будет вектором

диагонали с началом в этой точке O и концом в точке С (см. рисунок, случай б)).

Очевидно, что оба правила дают одинаковый результат.

r r

Пусть требуется сложить n векторов a1 ,a2 , K,an . Cуммой этих векторов r

будет вектор S , соединяющий начало первого вектора a1 с концом последнего

вектора

an

при условии, что начало каждого совмещено с концом предыдущего

(правило многоугольника) (см. рисунок, случай в)).

Произведением вектора a на число λ называется новый вектор br ,

который

коллинеарен вектору a , имеет длину

λ

ar

, одинаково направлен с вектором ar ,

если λ > 0, и противоположно направлен, если λ < 0.

Из определения произведения вектора на число следует необходимое и

достаточное условие коллинеарности двух векторов: два ненулевых вектора

a и

b

коллинеарны тогда и только тогда,

когда существует такое число λ ≠ 0 ,

что

b = λar.

Вычитание вектора b из вектора a (разность векторов a и br ) заменяют

сложением вектора

a с вектором (−1) b , противоположным вектору

br ,

т.

е.

r

r

r

r

uur

a

− b = a

+ ( −b ) (вектор BA на рисунке б)).

2. Координаты вектора и точки

В дальнейшем

будет использоваться ортонормированный базис ir,

rj ,

kr

в

пространстве ( i , rj

на плоскости). В этом случае считается, что

1)

ir

=

rj

=

kr

= 1 ;

2)

i

rj , ir kr, rj kr ;

3)

тройка векторов i , rj , kr

– правая тройка, т. е. вращение от первого

вектора ir

ко второму j на наименьший угол (в данном случае на 90°) происходит

против часовой стрелки, если смотреть с конца третьего вектора kr .

Прямоугольной системой координат в пространстве называется совокупность

точки О и ортонормированного базиса

i , rj , kr . Точка О носит название начала

координат.

Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных

векторов

i ,

rj , kr

называются координатными осями (соответственно Оx – ось

абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат). Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями (плоскости Oxy, Oxz, Oyz).

35

Любой вектор ar может быть единственным образом представлен в виде суммы ar = ax i + ay rj + az kr (говорят, что вектор ar разложен по базису i , rj , kr ).

Коэффициенты разложения ax , ay , az при векторах i , rj , kr называются

прямоугольными декартовыми координатами вектора a , при этом используется
запись ar ={ax , ay , az } . Таким образом, записи	ar = ax i + ay rj + az kr	,
ar ={ax , ay , az } означают одно и то же. Отметим, что	координаты вектора a

совпадают с проекциями вектора ar на соответствующие координатные оси. uuur

Рассмотрим произвольную точку	М. Вектор	OM		называется радиус–
вектором точки М по отношению к точке О.					М
Прямоугольными декартовыми	координатами		точки			r	называются
uuur		uuur	= xM i				r
координаты её радиус-вектора OM ,	т. е., если OM				+ yM j		+ zM k , то
числа xM , yM , zM являются координатами точки		М и		это	обозначается так:
M ( xM , yM , zM ) .

Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости.

Все линейные операции над векторами сводятся к точно таким же линейным операциям над их соответствующими координатами. Например, если

ar ={ax , ay , az } , br ={bx , by , bz }, то
ar +br ={ax +bx , ay +by , az +bz } ,	λar ={λax , λay , λaz }.

Условие коллинеарности двух векторов, заданных своими координатами:

r

r

a

x

a y

a

z

a || b

=

=

.

(2.1)

b

b

b

x

y

z

Если известны координаты точек

A( xA ,

yA , zA ) и B( xB , yB , zB ) , то

uur

координаты вектора AB определяются так:

uur

− yA , zB − zA} ,

AB ={xB − xA , yB

(2.2)

uur

длина вектора AB (расстояние между точками А и В) равна

uuur

= ( xB − xA )2 + ( yB − yA )2 + ( zB − zA )2 .

AB =

AB

(2.3)

36

Пример 2.1.

Даны точки A( 1, −1, 2 ) , B( 2, 1, 3 ) и вектор

r

r

r

r

uur

uuur

. При

a

= 2i

−λ j +

2k . Определить координаты вектора AB и его длину

AB

uur

каком значении λ векторы AB и a коллинеарны?

uur

{2

− 1, 1 − ( −1 ),

3 − 2} ={1, 2, 1} .

Решение. По формуле (2.2)

AB =

Длину этого вектора вычислим по формуле (2.3)

uuur

=

12 + 22 + 12 =

6 .

AB

uuur

r

1

2

1

Согласно (2.1)

AB || a

=

=

. Отсюда

λ = −4 .

2

−λ

2

3. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением

ar b

двух векторов

a

и

b называется

число,

равное произведению длин этих векторов на косинус угла ϕ между ними:

r

r

r

r

cosϕ .

(2.4)

a b =

a

b

Свойства скалярного произведения:

1)

r

r

r

a

b = b

a ;

r

r

( b

r

r

r

r

2) a

+ c )

= a

b

+ a c ;

3) ar (λbr)

= (λar) br = λ(ar br)

;

4)

ar ar =

ar

2 cos0 =

ar

2

ar

=

ar ar ;

5)

r

b

v

v

a

a

b = 0 (критерий перпендикулярности векторов).

Скалярное произведение векторов av = {ax ,ay ,az }

и br = {bx ,by ,bz },

заданных координатами, можно вычислить по формуле:

ar b = axbx

+ ayby + azbz .

(2.5)

В этом случае угол между векторами a и b можно определить из равенства:

r

r

ar b

axbx + ayby + azbz

cosϕ = cos ( a ,b ) =

r

r

=

.

(2.6)

a

b

ax2 + a2y + az2 bx2 + by2 + bz2

Пример 2.2. Найти внутренний угол В в треугольнике, вершины которого заданы координатами А(–1, –2, 4), В(–4, –2, 0), С(3, –2, –1).

37

uuur

={−1

−(

−4 ), − 2 −( −2 ), 4 −0} ={3, 0, 4}

Решение. Рассмотрим векторы BA

uuur

−4 ), − 2 −(

−2 ), 1 −0}

= {7 , 0, 1} .

и BC ={3 −(

Тогда, согласно (2.6),

uuur uuur

uur

uuur

3 7 + 0 0 + 4 1

1

BA

BC

32

cos B = cos ( BA, BC ) = | BC |

| BC | =

+02 +42

7 2 +02 +12 =

2 .

uuur

uuur

Отсюда следует, что B = 45°.

4. Векторное произведение векторов

Векторным

произведением

двух векторов

a и b

называется

вектор

cr = ar× b , определяемый условиями:

1)

r

r

r

=

r

r

sinϕ ;

c

= a

×b

a

b

2)c ar и cr b ;

3)вектор c направлен так, что кратчайший поворот от a к b виден с его

конца как поворот против часовой стрелки (т. е. ar, b и c образуют

векторов).

Свойства векторного произведения: 1) ar× br = − (br× ar) ;

2) ar× ( br + cr ) = ar× br + ar× cr ;

3) ar× (λbr) = (λar) ×br = λ(ar× br) ;

4) ar || bv av× bv = 0 (критерий коллинеарности векторов).

Векторное произведение векторов av = {ax ,ay ,az } и br = {bx заданных координатами, можно вычислить по формуле:

правую тройку

,by ,bz },

r	r	=		ir	rj	kr		r	r
a	×b			ax	ay	az		= ( aybz − byaz )i + ( bxaz − axbz ) j	+ ( axby − bxay )k . (2.7)
				bx	by	bz

Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b .

Пример 2.3. Найти площадь ∆ABC , если А(1, –1, 2), В(0, 1, 1), С(–1, 3, 1).

38

Решение. Можно считать, что

∆ABC построен на векторах

uuur

uuuur

AB и

AC .

Ясно, что площадь ∆ABC

равна

половине

площади параллелограмма,

построенного на этих векторах. Найдём координаты этих векторов:

uur

uuur

{–1–1, 3–(–1), 1–2} ={–2, 4, –1}.

AB = {0–1, 1–(–1), 1–2} ={–1, 2, –1},

AC =

Тогда

rj kr

1

uuur

uuuur

1

i

1

r

r

r

S∆ABC =

AB ×

AC

=

|

−1

2 −1

| =

i 2 − j ( −1 ) + k 0

=

2

2

2

−2

4 −1

=

1

{2, 1, 0}

=

22 + 12

=

5

.

2

2

2

5. Смешанное произведение векторов

Смешанным

произведением

упорядоченной

тройки

векторов

ar, b

и c

называется число (ar×br) cr .

Свойства смешанного произведения.

1) Знак смешанного произведения определяет ориентацию тройки векторов:

если ( ar × b ) cr > 0 , то ar,b ,cr

– правая тройка;

если ( ar × b ) cr < 0 , то ar,b ,cr

– левая тройка.

2) Модуль смешанного произведения равен объёму параллелепипеда,

построенного на векторах ar,b ,cr :

Vпар. =

(ar×br) cr

.

r r

r

Отметим, что объём треугольной пирамиды, построенной на векторах a ,b ,c ,

1

1

r

r

r

равен Vпир. =

Vпар. =

(a

×b ) c

.

6

6

3) Критерий компланарности трёх векторов:

(ar×br) cr = 0

ar, br

, cr – компланарные.

Смешанное произведение векторов

ar ={ax ,ay ,az } , br ={bx ,by ,bz } ,

cr ={cx ,cy ,cz }, заданных координатами, можно вычислить по формуле:

(ar×br) cr =

ax ay az

bx

by

bz

.

(2.8)

cx

cy

cz

39

Пример 2.4. Найти объём пирамиды, вершинами которой служат точки

A(1, 2, 0),

B(0, 1, 1),

C(1, 0, 1), D(1, 1, 1).

Решение. Можно считать, что пирамида построена, например, на векторах

uuur uuuur

uuuur

AB, AC , AD . Укажем координаты этих векторов:

uuur

uuuur

uuur

AB ={−1, −1, 1} , AC ={0, − 2, 1} , AD ={0, −1, 1} .

Вычислим

uuur

uuuur

uuur

=

−1

− 1

1

= −1

−2 1

= 1 .

(AB ×

AC )

AD

0

− 2 1

0

− 1 1

−1 1

Объем пирамиды Vпир. = 61 1 = 61 .

6. Прямая линия на плоскости

Всякая прямая на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат Oxy может быть задана уравнением 1-й степени (линейным) относительно переменных x и y :

Ax + By + C = 0	(2.9)
– общее уравнение прямой на плоскости, причём вектор	nr ={A, B} будет

перпендикулярен этой прямой.

В зависимости от исходных данных удобно пользоваться и другими видами уравнений прямой.

1) Уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0) перпендикулярно вектору нормали nr ={A, B}:

A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0 .							(2.10)
2) Уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0) параллельно
направляющему вектору sr ={sx , sy } :
	x − x0	=	y − y0			(каноническое уравнение).	(2.11)
	sx
			sy
3) Уравнение (2.11) можно записать в виде параметрических уравнений:
	x = x		+ s	x	t
		0	+ s		t	, t – параметр.	(2.12)
	y =	y
		0		y

4) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2):

40