zajcevVM

4)уравнения прямой L, проходящей через точку D перпендикулярно грани

ABC;

5)координаты точки E пересечения прямой L и плоскости P1;

6)угол между плоскостью P1 и плоскостью P2 , содержащей грань BCD;

7)pасстояние от точки A до плоскости P2 .

1.A (– 3; 4; – 7), B (1; 5; – 4), C (– 5; – 2; – 14), D (– 12; 7; – 1) .

2. A (– 1; 2; – 3), B (4; –1; 0), C (2; 1; – 2), D (1; – 6; – 5) .

3.A (– 3; – 1; 1), B (– 9; 1; – 2), C (3; – 5; 4), D (6; 0; 3) .

4.A (1; – 1; 1), B (– 2; 0; 3), C (2; 1; –1), D (– 2; 4; 2) .

5.	A (1; 2; 0),	B (1; – 1; 2),			C (0; 1; –1),					D (2; – 1; 4) .
6.	A (1; 0; 2),	B (1; 2; – 1),			C (2; – 2; 1),					D (– 5; – 9; 1) .
7.	A (1; 2; – 3),		B (1; 0; 1),		C (– 2; – 1; 6), D (3; – 2; – 9) .
8.	A (3; 10; – 1),			B (– 2; 3; – 5),				C (– 6; 0; – 3), D (– 6; 7; –10) .
9.	A (– 1; 2; 4),		B (– 1; – 2; – 4),					C (3; 0; – 1),			D (– 2; 3; 5) .
10.	A (0; – 3; 1),		B (– 4; 1; 2),			C (2; – 1; 5), D (– 3; 4; – 5) .
11.	A (1; 3; 0),	B (4; – 1; 2),			C (3; 0; 1),				D (4; 3; 0) .
12.	A (– 2; – 1; – 1), B (0; 3; 2),						C (3; 1; 4), D (0; 0; – 2) .
13.	A (– 3; – 5; 6),			B (2; 1; – 4),			C (0; – 3; – 1), D (3; 6; 8) .
14.	A (2; – 4; – 3),			B (5; – 6; 0),			C (– 1; 3; – 3),				D (2; – 10; 8) .
15.	A (1; – 1; 2),		B (2; 1; 2),		C (1; 1; 4),				D (– 3; 2; 7) .
16.	A (1; 3; 6),	B (2; 2; 1), C (– 1; 0; 1),							D (5; – 4; 5) .
17.	A (– 4; 2; 6),		B (2; – 3; 0),			C (– 10; 5; 8), D (– 12; 1; 8) .
18.	A (7; 2; 4),	B (7; – 1; – 2),				C (– 5; – 2; – 1),					D (10; 1; 8) .
19.	A (2; 1; 4),	B (3; 5; – 2),			C (– 7; – 3; 2), D (– 3; 1; 8) .
20.	A (– 1; – 5; 2),			B (– 6; 0; – 3),				C (3; 6; – 3),			D (10; – 8; –7) .
21.	A (0; – 1; – 1),			B (– 2; 3; 5),			C (1; – 5; – 9),				D (– 4; –13; 6) .
22.	A (5; 2; 0),	B (2; 5; 0), C (1; 2; 4), D (– 3; – 6; – 8) .
23.	A (2; 1; – 1),		B (1; 2; 1),		C (5; 0; 6),				D (14; – 3; 7) .
24.	A (– 2; 0; – 4),			B (– 1; 7; 1),			C (4; – 8; – 4),				D (6; 5; 5) .
25.	A (14; 4; 5),		B (– 5; – 3; 2),				C (– 2; – 6; – 3),				D (– 1; – 8; – 7) .
26.	A (1; 2; 0),	B (3; 0; – 3),			C (5; 2; 6),				D (– 13; – 8; 16) .
27.	A (2; – 1; 2),		B (1; 2; 1),		C (3; 2; 1),				D (– 5; 3; 7) .
28.	A (1; 1; 2),	B (– 1; 1; 3),			C (2; – 2; 4),					D (– 2; – 3; 8) .
29.	A (2; 3; 1),	B (4; 1; – 2),			C (6; 3; 7),				D (– 8; 4; 8) .
30.	A (1; 1; – 1),		B (2; 3; 1),		C (3; 2; 1),				D (– 3; 7; 6) .

51

2.3. Уpавнения линий втоpого поpядка пpивести к каноническому виду. Опpеделить тип кpивой, сделать чеpтёж.

1.	1)	9x2	+ 4y2 –72x – 8y + 112 = 0;		2)	x2 – 6x + 4y +9 = 0.
2.	1)	4x2 – 25y2 – 32x – 50y –61 = 0;			2)	y2	+ x + 6y + 9 = 0.
3.	1)	25x2 + 4y2 – 50x + 16y –59 = 0;			2) x2 + 2x + 2y + 1 = 0.
4.	1)	–25x2 + 4y2 + 50x + 16y –109 = 0;			2)	y2 – 3x – 2y + 1 = 0.
5.	1)	25x2		+ 9y2 + 100x –54y – 44 = 0;	2)	x2 – 4x – 4y + 4 = 0.
6.	1)	9x2	– 16y2 – 54x – 32y – 79 = 0;		2) y2		– 4x + 2y + 1 = 0.
7.	1)	16x2		+ 25y2 + 32x – 50y – 359 = 0;	2) x2 + 6x – 2y + 9 = 0.
8.	1)	–9x2 + 25y2 – 18x – 100y – 134 = 0;			2) y2 + 2x – 4y + 4 = 0.
9.	1)	9x2 + 16y2 – 54x + 32y – 47 = 0;			2)	x2 – 2x – 6y + 1 = 0.
10. 1)		16x2		– 25y2 + 32x + 50y – 409 = 0;	2) y2		– 6x – 6y +9 =0.
11. 1)		25x2		– 9y2 – 100x + 18y – 137 = 0;	2) x2		+ 4x – 4y – 1 = 0.
12. 1)		16x2		+ 4y2 – 32x – 24y – 12 = 0;	2) y2 + 6x – 4y + 4 = 0.
13. 1)		–9x2 + 4y2 – 72x – 8y – 176 = 0;			2) x2 + 6x – 2y + 9 = 0.
14. 1)		4x2	+ 9y2 – 16x – 18y – 11 = 0;		2) y2 – 2x – 6y – 15 = 0.
15. 1)		16x2		– 9y2 + 64x + 36y – 116 = 0;	2) x2 + 4x – 6y – 3 = 0.
16. 1)		4x2	+ 25y2 – 32x + 50y – 11 = 0;		2) x2		– 4x – 4y + 4 = 0.
17. 1)		–25x2 + 9y2 – 100x – 54y – 244 = 0;			2) y2		– 2x + 6y – 15 = 0.
18. 1)		16x2		+ 9y2 + 64x – 36y – 44 = 0;	2) x2– 8x + 2y + 13 = 0.
19. 1)		16x2		– 4y2 – 32x + 24y – 84 = 0;	2) y2 – 4x + 2y + 1 = 0.
20. 1)		9x2	+ 25y2 + 18x – 100y – 116 = 0;		2) x2 + 8x – 4y + 4 = 0.
21. 1)		36x2		+ 36y2 – 36x – 24y – 23 = 0;	2) 2x2 – 4x + 2y – 3 = 0.
22. 1)		16x2		+ 25y2 – 32x + 50y – 359 = 0;	2) y2 + x + 4y – 7 = 0.
23. 1) x2 + 4y2 – 4x – 8y + 8 = 0;					2) x2 + 2x – 4y + 5 = 0.
24. 1)		5x2	+ 8y2 + 10x + 16y + 5 = 0;		2) y2 + 6x – 6y – 3 = 0.
25. 1)		8x2	– 25y2 + 16x + 50y – 217 = 0;		2) y2 + x + 2y + 3 = 0.
26. 1)		9x2	+ 2y2 – 72x – 4y + 2 = 0;		2) x2 + 2x – 2y – 3 = 0.
27. 1)		4x2	– 25y2 – 8x – 50y – 121 = 0;		2) y2		+ x + 2y + 7 = 0.
28. 1)		– 25x2 + 2y2 + 50x + 8y – 117 = 0;			2) x2– 2x + 4y = 0.
29. 1) x2 + 4y2 – 2x + 16y – 11 = 0;					2) x2 + 2x + 4y – 1 = 0.
30. 1)		– 9x2 + 4y2 – 72x + 8y – 464 = 0;			2) x2		– 2x + 4y + 3 = 0.

52

Раздел 3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Литература: [ 1, модуль 7, 8]; [ 3, глава 5 ]; [ 4, глава 2 ]; [ 5, глава 1 ].

1. Понятие функции

Пусть даны два непустых множества X и Y.

Соответствие или правило f, которое каждому элементу x X сопоставляет единственный элемент y Y, называется функцией и обозначается y = f(x).

Множество X называется областью определения функции f и обозначается D(f), а множество E(f) = {y = f(x): x X} называется областью значений функции f.

В дальнейшем будем изучать, в основном, функции, у которых и область определения и множество значений – подмножества множества действительных

чисел R (точки на числовой оси). Переменная x X называется аргументом функции f, а величина y = f(x) – значением функции в точке x.

Пример 3.1. Найти область определения и область значений функции

	f ( x) =	1	.
		1 − x2

Решение. Областью определения этой функции является множество

D(f) = {x R : 1 – x2 > 0} = {x R : |x| < 1} = (–1, 1).

Областью значений – множество E(f) = {y R : y ≥ 1} = [1, +∞).

Графиком функции f(x) называется множество точек G = {(x, f(x)): x X} координатной плоскости Oxy.

Например, графиком функции y = 1– x будет прямая, а графиком функции

y = 1– x2 – парабола (рисунок 1).
y		y
			y = 1– x2
1	y = 1 – x
		– 1 0	1	x
0	1	x

Рисунок 1

53

2. Свойства функций

Функция f(x), определённая на множестве X, называется периодической на этом множестве, если существует такое число T > 0, что при любом x Х величина

(x + T) Х и справедливо равенство f(x + T) = f(x). Наименьшее из таких чисел T называется периодом функции.

Пример 3.2. Пусть функция y = f(x) имеет период T. Найти период функции g(x) = f(ax + b), где a и b – постоянные и a > 0.

Решение. Так как функция f(x) периодическая с периодом T, то

g (x) = f (ax + b) = f (ax + b +T ) =			T			T	,
	f a x +			+ b	= g x +
			a			a

поэтому период функции g(x) равен Ta .

Очевидно, что для построения графика функции f(x) с периодом T, определённой на множестве X, достаточно построить её график на любом отрезке

[a, a + T] X, где а Х – некоторое число, а затем продолжить его вдоль координатной оси Oх на отрезки [a+Т, a +2T], [a+2Т, a +3T], … .

Пусть функция f(x) определена на множестве X и x1, x2 – любые две точки этого множества, для которых выполнено условие x1 < x2.

Функцию f(x) называют на этом множестве

1)возрастающей, если f(x1) < f(x2);

2)неубывающей, если f(x1) ≤ f(x2);

3)убывающей, если f(x1) > f(x2);

4)невозрастающей, если f(x1) ≥ f(x2).

Во всех четырёх случаях функцию называют монотонной на множестве X, причем в случаях 1) и 3) говорят, что функция строго монотонна, а в случаях 2) и 4) – просто монотонна.

Очевидно, что для строго монотонной функции различным значениям аргумента обязательно будут соответствовать различные значения функции.

Пример 3.3. Определить интервалы монотонности следующих функций: y = x3, y = x2.

Решение. Функция y = x3 возрастает на всей числовой прямой, так как из условия x1< x2 следует x13 < x23, т. е. строго монотонна на R.

Функция y = x2 убывает на интервале (–∞, 0) и возрастает на интервале (0, +∞), но не является монотонной на любом интервале, содержащем точку x = 0.

Пусть у функции y = f(x) область определения X симметрична относительно точки О на числовой прямой, т. е. если x Х, то и – x Х.

54

Функцию f(x), определённую на таком множестве X, называют чётной, если

x Х f(–x) = f(x) и нечётной, если x Х f(–x) = – f(x).

График чётной функции симметричен относительно оси Оy, а график нечётной функции – относительно начала координат. На рисунке 2 показаны графики чётной

функции y = x21+ 1 и нечётной функции y = x3 .

y			y
		1			y = x	3
	y = ––––2
		x +1
– x 0	x	x	– x 0	x	x

Рисунок 2

Пример 3.4. Определить, обладает ли свойством чётности или нечётности

функция f ( x ) = loga ( x +

x2 + 1 ), x R .

Решение.

Преобразуем

f ( −x ) = loga ( −x +

x2 + 1 ) = loga

( −x +

x2 + 1 )( x + x2 + 1 )

=

x +

x2 + 1

= loga

1

= −loga ( x + x2 + 1 ) = − f ( x ).

x

+ x2 + 1

Таким образом, данная функция нечётная.

Функцию f(x) называют на множестве X:

f (x) < C ;

1) ограниченной сверху,

если

C :

x X

2) ограниченной снизу, если

C :

x X

f (x) > C ;

3) ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Пример 3.5. Выяснить, ограничены или не ограничены функции

1) f ( x ) =

1

;

2) f ( x ) =

1

.

+ x2

1

x − 1

Решение. 1)

x R 0

<

1

≤ 1 , поэтому f(x) ограничена на множестве

+ x2

1

действительных чисел, а, значит, и на любом множестве X R.

55

	2) Функция f ( x ) =	1	ограничена, например, на полуинтервале [2, +∞),
		x − 1
	так как в этом случае 0 < f(x)≤ 1. Но эта же функция не ограничена сверху на
	области определения D(f) = (1, +∞), так как C x (1,+∞) :			1		> C .
			0	x0	− 1

Чтобы указать такое значение x0, нужно решить последнее неравенство:

		1	> C	2	1
						+ 1 .
		x −1		1 < x <
		0		0	C 2
	x −1 > 0
		0

Данная функция ограничена снизу, так как f(x) > 0.

3. Понятие сложной функции

Часто возникает необходимость в рассмотрении сложной функции, т. е. «функции от функции», или, как говорят, суперпозиции функций. В этом случае аргумент u функции y = f(u) не является независимой переменной, а сам зависит от другого аргумента, например, от аргумента x в виде зависимости u = g(x). Тогда для задания зависимости y от x нужно вместо промежуточной переменной u подставить ее выражение через x, записав y = f(g(x)) = F(x). Например, функция y = sin3x есть суперпозиция двух функций y = u3 и u = sinx.

При вычислении значения сложной функции сначала по значению x вычисляют значение промежуточной переменной u, а лишь затем – её значение y.

Функции y = f(u) и u = g(x) могут образовывать суперпозицию y = f(g(x)), если только пересечение области определения первой из них с областью значений

второй не является пустым множеством. Так, например, функции f ( u ) = u − 5 и u = g(x) = cosx не определяют сложную функцию f(g(x)), так как D( f ) =[5,+∞) , E ( f ) =[−1,1], пересечение этих множеств пусто. .

Сложная функция может быть суперпозицией более чем двух функций.

Пример 3.6. Составить сложные функции f(f(x)), f(g(x)), g(f(x)), g(g(x)) и

указать их области определения, где f ( x ) = 2x , g(x) = log2 x.

Решение. Сложная функция f(f(x)) означает, что в качестве аргумента функции f(x) служит само значение функции f(x), т. е. f ( f ( x )) =( 2 )2x . Имеем D(f(f)) = R.

Аналогично,

f (g( x )) = 2log2 x = x по основному логарифмическому тождеству, а

D(f(g))=(0, +∞);

56

g( f ( x )) = log2 ( 2x ) = x log2 2 = x, D( g( f )) = R;

g( g( x )) = log2 (log2 x ), D( g( g )) = ( 1, + ∞ ) , так как должно выполняться условие log2 x > 0 x > 1.

Пример 3.7. Данные сложные функции записать в виде цепочки равенств, каждое звено которой содержит простейшую функцию:

1) y = (2x – 5)10 ;	2)	y = lntg	x	;	3) y = 2cos 5 x .
		2
Решение. 1) y = u10,	где u = 2x – 5. Здесь y = u10 – степенная функция, а

u = 2x – 5 – линейная функция.

2) Данную функцию можно представить в виде следующей цепочки: y = ln u , u = tg v , v = 2x .

Каждая из этих функций является простейшей: логарифмическая, функция тангенса, линейная.

3) y = 2u , u = cosv, v = 5x (показательная, функция косинуса, линейная).

4. Понятие обратной функции

Пусть задана функция y = f(x) с областью определения D(f) и множеством значений E(f). Если каждому значению y E(f) соответствует единственное значение x D(f), то определена функция x = g(y) с областью определения E(f) и множеством значений D(f). Такая функция g(y) называется обратной к функции (или обратной для функции) f(x) и обозначается так: x = g ( y) = f −1 ( y) .

Функции y = f ( x) и x = f −1 ( y) называют взаимно обратными.

Чтобы найти обратную функцию x = f −1 ( y) , нужно решить уравнение f(x ) = y относительно x.

Из определения обратной функции следует, что функция y = f (x) имеет

обратную тогда и только тогда, когда функция f(x) задаёт взаимно-однозначное соответствие между множествами D(f) и E(f). Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом, если функция возрастает

(убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Если функция x = f −1 ( y) является обратной к функции y = f(x), то

множество точек плоскости, определяющих график той и другой функции, одно и то же, т. е. графики обеих функций совпадают.

57

Но если потребовать, чтобы аргумент обратной функции был также обозначен

буквой x, то	надо вместо функции	x = f −1 ( y) рассматривать функцию
y = f −1 ( x) .	В этом случае графики	взаимно обратных функций будут

различными (один будет зеркальным отражением другого относительно биссектрисы 1-й и 3-й четверти координатной плоскости, см. рисунок 3).

y = f –1(x)

y
y = x	y = f(x)
	x = f –1(y)
0	x

Рисунок 3

Пример 3.8. Определить, какие из перечисленных функций имеют обратные. Найти соответствующие обратные функции и их области определения.

1) f(x) = 2x+1,	x R;	2) f(x) = (1 – x)3, x [–1, 3);
3) f(x) = x2 + 1,	x [–1, 2];	4) f ( x ) = 2x2 , x [0,2];

Решение. 1) Функция y = f(x) = 2x + 1 монотонно возрастает x R, графиком является прямая линия с положительным угловым коэффициентом. Выразим x из

	равенства y = 2x + 1: x =	1	( y − 1 ), поэтому	f −1 ( x ) =	1	( x − 1 ) – обратная
		2			2

функция для данной функции (аргумент обратной функции обозначили привычной для аргумента буквой x). Очевидно, D(f –1) = R и обратная функция также монотонно возрастает.

2) Функция f(x) = (1 – x)3 монотонно убывает x R, в том числе и на множестве D(f ) = [–1, 3). Ясно, что E(f) = (–8, 8]. Выражая x из равенства

y = (1 – x)3, получим x = 1 − 3 y . Таким образом, f −1 ( x ) = 1 − 3 x – обратная функция. Так как D(f –1) = E(f), то D(f –1) = (–8, 8].

3)Функция y = x2 + 1, x [–1, 2] не имеет обратной, так как на этом промежутке функция не монотонна (убывает при x [–1, 0] и возрастает при x (0, 2]).

4)Функция f ( x ) = 2x2 монотонно возрастает на отрезке [0, 2], поэтому

существует обратная функция. Выразим x из равенства

y = 2x2 : x2 = log2 y x = log2 y.

58

Взят знак «+» перед квадратным корнем, так как x ≥ 0. Итак, f −1 ( x ) = log2 x

– обратная функция, а её область определения D(f –1) = E(f) = [1, 16], так как f(0) = 1, f(2) = 16.

5. Основные элементарные функции

Основными элементарными функциями называют следующие функции.

1) Степенная функция имеет вид y = xa , где a R – любое действительное число.

Поведение степенной функции существенно зависит от показателя степени a. На рисунке 4 показаны графики степенных функций, соответствующие

некоторым показателям степени a.

y

y

y

y = x1

y = x3

y = x2

0

x

0

x

0

x

y

y

1

y

1

1

y =

x = x2

3

y =

x = x

–1

3

y = –– = x

x

0

x

0

x

0

x

Рисунок 4

2) Показательной называют функцию вида y = a x , a > 0, a ≠ 1 .

Графики показательной функции в зависимости от a показаны на рисунке 5.

59

y		y
	y = ax , a > 1		y = ax , 0 < a < 1
1		1
0	x	0	x
	Рисунок 5
3) Логарифмическая функция y = loga x,		a > 0,	a ≠ 1 является обратной

функцией для показательной.

Графики функции y = logax в зависимости от a приведены на рисунке 6.

y			y
		y = logax, a > 1					y = logax , 0 < a < 1
0	1	x	0			1		x
		Рисунок 6
4) Тригонометрические функции
y = sinx,		y = cosx, y = tgx =	sin x		,	y = ctgx =		cos x	.
			cos x
								sin x

Графики тригонометрических функций показаны на рисунках 7а и 7б.

		y						y	1
		1		y = sin x
									y = cos x
								0		x
–	π	0	π	π	x	x	π		π
	2	–1	2				2	–1

Рисунок 7а

60