zajcevVM
.pdf3) lim |
sin( x − 3 ) |
|
4) lim (tg2 x + 1) |
8−x |
|
; |
x . |
||||
x2 −8 x + 15 |
|||||
x→3 |
|
x→0 |
|
3.4. Исследовать функции y = f(x) на непрерывность. Найти точки разрыва, если они существуют, определить их тип. Построить схематический график функции.
1. 1)
2. 1)
3. 1)
4. 1)
5. 1)
6. 1)
7. 1)
1
y = e 2−x ;
y = arctg |
|
|
|
1 |
|
|
|
; |
||||||||||
|
x −1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y = |
|
|
|
2 x −1 |
|
|
; |
|||||||||||
x2 + 5 x + |
4 |
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
y = |
|
x2 −1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y = |
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y = |
|
1 − x |
|
+ |
|
|
x |
|
; |
|
||||||||
|
1 + x |
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y = |
x3 −1 |
+ |
1 |
|
; |
|||||||||||||
|
x −1 |
|
|
x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x, |
если |
x ≤ 0 |
||||
2) |
|
|
если |
0 < x ≤π . |
|||
y = sin x, |
|||||||
|
|
|
|
если |
x >π |
||
|
x + 1, |
|
|||||
|
x + 1, |
|
если |
x ≤ −1 |
|||
2) |
|
|
|
если |
−1 < x ≤ 1 . |
||
y = x2 + 1, |
|||||||
|
−x + 3, |
если |
x > 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x, |
если |
x ≤ 0 |
|||
2) |
|
|
|
|
|
|
0 < x < 2 . |
y = −( x −1 )2 , если |
|||||||
|
|
x − 3, |
если |
x ≥ 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x, |
|
если |
x ≤ 0 |
|||
2) |
|
|
|
если |
0 < x < 1 . |
||
y = x2 −1, |
|||||||
|
|
1 − x, |
если |
x ≥ 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x, |
|
если |
x ≤ 0 |
||
2) |
|
− x2 , |
если |
0 < x ≤ 2 . |
|||
y = 1 |
|||||||
|
x −5, |
|
если |
x > 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 4, |
|
если |
x < −1 |
|||
2) |
|
|
|
если |
−1 ≤ x < 0 . |
||
y = x2 + 2, |
|||||||
|
|
e x , |
|
если |
x ≥ 0 |
||
|
|
|
|||||
|
−( x + 1 ), |
если |
x < −1 |
||||
2) |
|
|
|
|
если |
−1 < x ≤ 0 . |
|
y = ( x + 1 )2 , |
|||||||
|
|
tgx , |
если x > 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
81
8. 1) y = ln x +x 2 ;
9. 1) y = |
1 |
; |
1 + 21 / x |
x −1
10. 1) y = x −1 x + 2 ;
x
11.1) y = 4 1+x ;
12.1) y = arcctg x x− 3 ;
13. 1) |
y = |
1 − 2 x |
; |
||||||
(x − 2)2 |
|||||||||
|
|
|
|||||||
14. 1) |
y = |
x2 − 4 |
; |
||||||
x |
|
x − |
2 |
|
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
15. 1) |
y = |
4 − x |
|
; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4 x −1 |
|
|
|
− x2 , |
|
если |
x ≤ 0 |
|||
2) |
|
tgx , |
если |
0 < x ≤π / 4 . |
||||
y = |
||||||||
|
|
−1, |
если |
x >π / 4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 x , |
если |
x ≤ 0 |
||||
2) |
|
x2 + 1, |
если |
0 < x ≤ 1 . |
||||
y = |
||||||||
|
2 |
+ ln x, |
если |
x > 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex , |
если |
x ≤ 0 |
||||
2) |
|
|
x, |
если |
0 < x < 4 . |
|||
y = |
|
|||||||
|
|
2 , если x ≥ 4 |
||||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 , |
если |
x ≤ 0 |
||||
2) |
|
|
|
|
если |
0 < x <π . |
||
y = cos x, |
||||||||
|
|
|
1 , |
если |
x ≥π |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− x2 , |
|
если x ≤ 0 |
||||
2) |
|
2 |
x |
, |
|
если |
0 < x < 1 . |
|
y = |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
если x ≥ 1 |
||
|
2 x + 1, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 , |
|
если x ≤ 1 |
|||||
2) |
|
|
|
|
если |
1 < x < e . |
||
y = ln x, |
||||||||
|
x + 1, |
если x ≥ e |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3, |
|
|
|
если x ≤ 0 |
|||
2) |
|
+ sin x, если |
0 < x <π . |
|||||
y = 3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
если x ≥π |
||
|
x + 1, |
|
||||||
|
0, |
|
|
|
если x ≤ 0 |
|||
2) |
|
|
|
|
|
если |
0 < x < 0,5π . |
|
y = tgx, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5π − x, если x ≥ 0,5π |
82
16.1)
17.1)
18.1)
19.1)
20.1)
21.1)
22.1)
23.1)
y = 21 −− xx − xx ;
2 x
y = ( 2 )x+1 ;
y = lg x x+ 1 ;
y = x + 12 ; 2 + 3 x
1
y = 1x − 2 x−1 ;
x+1
y = ( 0,5 )x+2 ;
y = arctg1 x ; y = lg1x ;
|
1 |
− x2 , |
если x ≤ −1 |
|||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = arctgx, если − 1 < x < 0 . |
||||||||
|
5 x + 1, если x ≥ 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
если x ≤ −π |
|
|
−(x / π ) |
|
||||||
2) |
|
|
если |
−π < x < 0 . |
||||
y = cos x, |
||||||||
|
|
|
если x ≥ 0 |
|||||
|
sin x, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctgx, |
если x ≤ 0 |
||||||
2) |
|
− x2 , |
если 0 < x < 2 . |
|||||
y = 1 |
||||||||
|
x −5, |
|
если x ≥ 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−x , |
|
если |
x ≤ 0 |
|||
2) |
|
1 + x , |
|
если |
0 < x < 3 . |
|||
y = |
|
|||||||
|
|
1, |
|
|
если |
x ≥ 3 |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x, |
|
|
|
если |
x < −1 |
||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
−1 ≤ x ≤ 0 . |
y = ( x + 1 )2 , если |
||||||||
|
|
ctgx, |
если |
x > 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x, |
|
|
если x ≤ 1 |
|||
|
2 |
|
|
|||||
2) |
y = 1 + ln x, если |
1 < x < e . |
||||||
|
|
x2 , |
если x ≥ e |
|||||
|
|
|||||||
|
x3 + 2, |
|
|
если x ≤ 0 |
||||
2) |
|
+ cos x, если |
0 < x <π . |
|||||
y = 1 |
||||||||
|
x −π, |
|
|
если x ≥π |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 x , |
|
если |
x ≤ 0 |
|||
2) |
|
1 − x, |
|
если |
0 < x < 1 . |
|||
y = |
|
|||||||
|
|
x2 , |
|
|
если |
x ≥ 1 |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83
24.1)
25.1)
26.1)
27.1)
28.1)
29.1)
30.1)
y = 2 xx −+ 2x2 ;
y = 5 x x−5 ;
y = xx ++ 11 x2 −1 ;
y = arctg |
x |
; |
|||||
x + 2 |
|||||||
y = |
|
|
x −1 |
; |
|
||
|
x2 −5 x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
y = |
|
1 − x |
|
; |
|
||
|
+ 31 / x |
|
|
||||
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
2+x |
|
|
|
y = 5 1−x ;
|
1 − x2 , если x ≤ 0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
2 x , |
если 0 < x < 1 . |
|||||||||
y = |
|||||||||||
|
x + 1, |
если x ≥ 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
arctgx, если x ≤ 0 |
||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
если |
0 < x < 0,25π . |
|||
y = tgx, |
|
||||||||||
|
|
|
− x, |
если x ≥ 0,25π |
|||||||
|
π |
|
|||||||||
|
cos x, |
если |
x ≤ 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
y = |
|
|
, |
|
|
если |
0 < x < 1 . |
|||
|
|
|
|
||||||||
|
x |
− x, |
|
x ≥ 1 |
|||||||
|
2 |
если |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x + 1, |
если |
x ≤ −1 |
||||||||
2) |
|
2 −1, |
если |
−1 < x ≤ 0 . |
|||||||
y = x |
|||||||||||
|
|
|
|
x |
+ 2, если |
x > 0 |
|||||
|
−e |
|
|
||||||||
|
x − 2, |
если x ≤ 0 |
|||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = −( x −1 )2 , если 0 < x < 1 . |
|||||||||||
|
|
|
|
− ln x, если x ≥ 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
− 2 x , если |
x ≤ 0 |
||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < x ≤ 1 . |
||
y = x2 + 1, если |
|||||||||||
|
|
|
|
|
x , |
если |
x > 1 |
||||
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x3 , |
если |
|
x ≤ 0 |
||||
2) |
|
−ex , |
если |
0 < x < 1 . |
|||||||
y = 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
если |
|
x ≥ 1 |
||
|
x + 1, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84
Раздел 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Литература: [ 2, модуль 9 ]; [ 3, глава 5 ]; [ 4, глава 3 ]; [ 5, глава 5 ].
1. Определение производной
Пусть функция y = f ( x ) определена в некоторой окрестности точки x. Да-
дим аргументу x приращение ∆x (при этом предполагается, что точка x + ∆x принадлежит области определения функции). Тогда функция получит приращение
∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) .
Производной функции f ( x ) в точке x называется предел отношения прира-
щения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует и конечен.
|
|
Производная функции y = f ( x ) в точке x обозначается символами: |
y′, |
||||||||
|
′ |
|
dy |
|
df ( x ) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
( x ) или dx |
, |
dx |
|
|
. Итак, по определению |
|
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
f ′( x ) = lim |
f ( x + ∆x ) − f ( x ) |
. |
(4.1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x→0 |
∆x |
|
Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции, функцию при этом называют дифференцируемой.
Справедлива теорема: если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
Отсюда следует, что в точке разрыва функция не дифференцируема. Обратная теорема неверна: функция может быть непрерывной, но не иметь
производной.
Пример 4.1. Исходя из определения производной, найти производные функций: 1) f (x) = c, c – постоянная величина; 2) y = x .
Решение. 1) Запишем приращение функции ∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) = c −c =0 .
Тогда |
y′ = |
lim |
∆y |
= 0 . Следовательно, (c)′ = 0 , т. е. производная постоян- |
|
|
∆x→0 |
∆x |
|
ной величины равна нулю. |
||||
2) Функция |
y = |
x |
определена при 0 ≤ x < +∞ . Составим приращение функ- |
|
ции ∆y = |
x + ∆x − x . Вычислим: |
|||
|
|
|
|
85 |
lim |
∆y |
= |
|
lim |
|
x + ∆x − x |
= lim |
|
( |
|
|
x + ∆x − x ) ( x + ∆x + x ) |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x ( x + ∆x + |
|
x ) |
|||||||||||||||||||||||||
∆x |
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
∆x→0 |
|
∆x→0 |
|
|
|
|
∆x→0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= lim |
|
|
|
x + ∆x − x |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∆x→0 ∆x |
x + ∆x + |
|
∆x→0 |
x |
+ ∆x + |
x 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Итак, |
y′ = ( |
x )′ = |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 4.2. Показать, что функция |
|
|
f ( x ) = |
|
x |
|
непрерывна, но не дифферен- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
цируема при x = 0 . |
|
f (0) = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. |
Так |
как |
|
lim |
|
x |
|
= lim |
= 0, lim |
|
|
x |
|
= lim x = 0 , |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0−0 |
|
|
|
|
x→0−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
x→0−0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
то непрерывность функции показана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Рассмотрим приращение функции при x = 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ f = f ( 0 + ∆x ) − f ( 0 ) = f ( ∆x ) = |
|
∆x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Если ∆x > 0 , то∆ f = ∆x и |
|
lim |
|
∆ f |
= 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x→0+0 |
∆x |
∆ f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Если же ∆x < 0 , то ∆ f = −∆x и |
|
lim |
= −1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ f |
|
|
|
|
∆x→0−0 ∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Следовательно, |
|
lim |
не существует, поэтому при x = 0 эта функция не |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆x→0 |
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
имеет производной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Геометрический смысл производной: производная функции |
y = f ( x ) в точке |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x0 равна угловому коэффициенту |
k = tgα касательной в точке |
M0 ( x0 , f ( x0 )) |
графика функции.
На этом основании получаем, что уравнение невертикальной касательной к
кривой y = f ( x ) в её точке M0 ( x0 , f ( x0 )) можно записать в виде |
|
y − f ( x0 ) = f ′( x0 )( x − x0 ) . |
(4.2) |
Нормалью к кривой в её точке M0 называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной к кривой в этой точке.
Так как у двух взаимно перпендикулярных прямых угловые коэффициенты обратно пропорциональны и отличаются знаком, то уравнение нормали к кривой y = f ( x ) в точке M0 ( x0 , f ( x0 )) имеет вид
86
y − f ( x ) = − |
|
1 |
|
( x − x |
0 |
) , |
(4.3) |
|
|
|
|||||
0 |
|
f ′( x0 ) |
|
|
|
||
если f ′( x0 ) ≠ 0 . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Механический смысл производной: |
скорость прямолинейного |
движения |
|||||
v = v (t ) есть производная от пройденного пути s = s (t ) |
|
по времени t. |
|
Если слово «скорость» понимать в более широком смысле, то можно производную функции y = f ( x )по x считать скоростью изменения переменной y в точке x.
Поэтому понятие производной находит широкое применение при изучении скорости течения различных процессов (например, скорость охлаждения нагретого тела; скорость осуществления работы – мощность; скорость обесценивания оборудования и т. п.).
2. Таблица производных основных элементарных функций
Выпишем правила дифференцирования основных элементарных функций:
1) ( xa )′ = axa−1 ; |
|
|
|
|
|
2) (a x )′ = a x lna , (e x )′ = e x ; |
||||||||||||||
3) |
(loga x)′ = |
1 |
|
|
|
1 |
, |
в частности, (ln x)′ = |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
lna |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||
4) |
(sin x)′ = cos x ; |
|
|
|
5) (cos x)′ = −sin x ; |
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
6) |
(tgx)′ = |
|
|
|
; |
|
|
|
7) (ctgx)′ = − |
|
|
; |
|
|
||||||
cos2 x |
|
|
|
sin2 x |
|
|||||||||||||||
8) |
(arcsin x)′ = |
|
|
|
1 |
|
|
; |
9) (arccos x)′ = − |
1 |
|
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
10) (arctgx)′ = |
|
|
|
1 |
|
; |
|
11) (arcctgx)′ = − |
1 |
. |
|
|||||||||
1 + x2 |
|
|
1 + x2 |
|
Приведённые результаты следуют непосредственно из определения производ-
ной. Выведем, например, правило дифференцирования степенной функции xa . Действительно,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
∆x a |
− 1 |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
(x + ∆x) |
a |
− x |
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= lim |
|
|
= x |
lim |
|
|
x |
|
= |
|
|
|
|
|||||||||
y |
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∆x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x→0 |
|
|
|
|
a ∆x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
∆x |
a |
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a−1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||
|
= |
1 |
+ |
|
|
− 1 a |
|
при ∆x → 0 |
= x |
|
lim |
= ax |
|
. |
||||||||
|
x |
x |
|
∆x |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x→0 |
|
|
|
87
3. Основные правила дифференцирования
1) Пусть u(x) и v(x) – дифференцируемые функции, а с – постоянная величина, тогда:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
± v |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.4) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u ± v ) |
= u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(правило дифференцирования суммы (разности) функций); |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u v )′ = u′ v + u v′ |
|
|
|
|
|
|
(4.5) |
||||||||||||
(правило дифференцирования произведения функций), в частности |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.6) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(c u) |
= c u |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
т. е. постоянный сомножитель можно выносить за знак производной; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
′ |
= |
u′ v − u v′ |
|
|
|
|
|
|
(4.7) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(правило дифференцирования частного функций). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Пример 4.3. Найти производные функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1) y = 2 x4 + |
1 |
|
−5 x −1 ; 2) |
y = cos x lg x + ln10 10 x ; |
3) y = |
arcsin x |
. |
|||||||||||||||||||||
3 x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
Решение. 1) Используя правила (4.4), (4.6) и табличную производную степен- |
||||||||||||||||||||||||||||
ной функции, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
′ |
|
|
|
1 |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
− |
1 |
′ |
′ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y′ = (2 x4 ) |
+ |
|
|
−(5 x)′ −(1)′ = 2 (x4 ) |
+ x |
|
3 −5 |
(x1 ) −0 |
= |
|
||||||||||||||||||
3 x |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 8 x4−1 − |
1 |
|
− |
1 |
−1 |
−5 x1−1 = 8 x3 − |
1 |
|
− |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
x |
3 −5. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Используя правила (4.4), (4.5), (4.6) и табличные производные, получим: y′ =(cos x lg x)′ +(ln10 10 x )′ =(cos x)′ lg x +cos x (lg x)′ + ln10 (10x )′ =
=−sin x lg x +cos x 1x ln101 + ln2 10 10 x .
3) Используя правило (4.7) и табличные производные, получим:
|
(arcsin x)′ x −arcsin x ( x )′ |
1 |
|
|
x −arcsin x |
|
1 |
|
||
y′ = |
= |
1 − x |
2 |
2 |
x |
. |
||||
( |
x ) |
|
|
|
x |
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
88
2) Правило дифференцирования сложной функции. |
|
|||
Пусть функция u = u(x) |
имеет производную u′x , |
а функция y = f (u) – |
||
производную fu′ . Тогда сложная функция y = f (u(x)) |
имеет производную y′x , |
|||
которая определяется по формуле: |
|
|||
|
y′x = fu′ u′x . |
(4.8) |
||
Пример 4.4. Найти производные функций: |
|
|||
1) y = 3 1 − x2 ; |
2) y = |
101−x |
− (arcsin 2 x )2 . |
|
|
||||
|
|
cos 5 x |
|
Решение. 1) Производная находится как производная сложной функции, задан-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, u = 1 − x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ной цепочкой равенств: |
f ( u ) = 3 u = u |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
2 |
|
|
|
|
(3 1 − x2 ) |
′ |
|
|
−2 x |
|
|
||||||||
Так как fx/ |
= fu/ |
ux/ |
= |
u |
3 (−2 x), то |
= |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
3 3 |
(1 − x2 ) |
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
/ |
|
|
101−x |
|
′ |
( |
|
|
|
2 |
) |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2) Имеем: |
y |
|
= |
|
|
|
|
|
|
− (arcsin 2 x ) |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
cos 5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
(101−x )′ cos 5 x − 101−x (cos 5 x)′ |
− 2 arcsin 2 x (arcsin 2 x)′ = |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(cos 5 x)2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
101−x ln10 (1 − x)′ cos 5 x − 101−x (−sin5 x) (5 x)′ |
− |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
cos2 5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
−2 arcsin 2 x |
|
|
|
|
|
(2 x)′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − (2 x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
−101−x ln10 cos 5 x + 5 101−x sin5 x |
− |
4 arcsin 2 x |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 5 x |
|
|
|
|
|
|
1 − 4 x2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Правило дифференцирования обратной функции.
Пусть у дифференцируемой функции y = f (x) производная f ′(x) ≠ 0 и
существует обратная функция x = f −1 ( y) . Тогда обратная функция также дифференцируема и справедлива формула:
x′y = |
1 |
. |
(4.9) |
|
|||
|
y′x |
|
89
Пример 4.5. Найти производную x′y обратной функции к функции
y = arcsin(2x ) |
|
−1, |
π |
|
в точке M |
6 |
. |
||
|
|
|
|
Решение. Воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции. Для этого сначала вычислим
y′x = |
1 |
(2x )′ = |
2x ln 2 |
, y′x (M ) = |
2−1 ln 2 |
= |
ln 2 . |
|||||
1 −(2x )2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 − 22 x |
|
|
|
1 − 2−2 |
3 |
|||||
Согласно формуле (4.9) имеем x′y (M ) = |
1 |
|
= |
|
3 |
. |
|
|
||||
y′x (M ) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
Этот пример можно решить другим способом – найти обратную функцию и затем продифференцировать её:
2 x = sin y x = log2 (sin y) x′y = |
1 |
|
1 |
cos y = |
ctgy |
. |
|||||
sin y |
ln 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|||
|
ctg |
π |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда x′y (M ) = |
6 |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
||
ln |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
4) Правило дифференцирования функции, заданной параметрически.
Пусть система уравнений x = x (t ) , y = y (t ) , где x (t ) , y (t ) – дифферен-
цируемые функции и x′(t ) ≠ 0 , определяет у как дифференцируемую функцию от
х. Тогда производная этой функции также задаётся параметрически и может быть |
||||
найдена по формуле: |
yt′ |
|
|
|
x = x (t ), y′x = |
. |
(4.10) |
||
|
||||
|
xt′ |
|
|
|
|
x = sin t |
|
Пример 4.6. Найти |
|
|
|
. |
y / функции, заданной параметрически |
||||
|
x |
|
y = cos2 t |
|
|
|
|
|
|
Решение. Так как xt′ = cos t , yt′ = 2 cos t (−sin t ) , то по формуле (4.10) име- |
||||
|
y′ |
= −2 sin t |
легко исключить |
|
ем y′x = −2 sin t . В данном случае из системы x |
|
|||
|
x = sin t |
|
|
|
параметр t, поэтому yx/ |
= −2 x . |
|
|
|
90