Указания по оценке погрешности

Если призмы оборотного маятника не скользят при колебаниях по плоскости подвеса и опираются на нее по всей длине ребра, а измерения проведены правильно, можно считать, что основную роль играют приборные погрешности. Тогда относительная погрешность определяется по формуле:

(14.6.)

где l_пр =0,2 мм, t – погрешность секундомера,

n – погрешность в определении числа колебаний.

При тщательном проведении измерений n=0.

Порядок выполнения работы

1. Измерьте время 20-30 колебаний маятника, подвесив его на призму П, для различных положений груза А₂.

2. Занесите данные в таблицу 14.1.

3. Рассчитайте периоды колебаний для всех случаев по уравнению (14.4.)

4. Подвесьте маятник на призму П₂ и повторите пункты 1,2,3.

5. Постройте на одном графике зависимости Т₁=f(l) и Т₂=f(l) для колебаний маятника относительно П₁ и П₂.

6. Найдите точку пересечения двух кривых.

7. Перемещая груз А₂ относительно точки, определяемой пересечением кривых Т₁=f(l) и Т₂=f(l), добейтесь такого положения груза, чтобы периоды колебаний маятника относительно П₁ и П₂ были одинаковы.

8. Данные измерения занесите в таблицу 14.2.

9. Измерьте расстояние между ребрами опорных призм (предварительно положив маятник на подставку).

10. Рассчитайте ускорение силы тяжести по уравнению (14.5.)

11. Рассчитайте погрешность метода измерений по уравнению (14.6.).

12. Сделайте вывод по работе.

Дополнительное задание

1. Перемещая груз А₁ и измеряя в каждом его положении время колебаний при опоре маятника сначала на призму П₁, а потом на призму П₂, найдите такое положение груза А₁, при котором это время одинаково.

2. Измерьте период колебаний и определите «g» по уравнению (14.4.)

3. Сравните полученные данные.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Чем отличается физический маятник от математического?

2. Что такое оборотный маятник?

3. Какова методик определения ускорения силы тяжести в данной работе?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №15

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ДЕКРЕМЕНТА ЗАТУХАНИЯ

Цель работы: определить логарифмический декремент затухания методом сравнения амплитуд и исследовать зависимость затухания колебаний от сопротивления среды.

Приборы и принадлежности: 1) пружинный маятник, 2) шкала, разделенная на миллиметры, 3) два цилиндрических сосуда с исследуемыми жидкостями (водой и маслом); 4) секундомер.

I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ

Во всякой реальной колеблющейся системе всегда имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не выполняется за счет внешних сил, колебания будут затухать.

Рассмотрим свободные (или собственные) затухающие колебания. В этом случае система (например, пружинный маятник), будучи выведена внешними силами из положения равновесия в дальнейшем представлена самой себе, будет находиться под действием упругой или квазиупругой силы и силы сопротивления среды. Если ограничиться рассмотрением случая малых колебаний, то скорость системы будет малой и сила сопротивления среды прямо пропорциональна величине скорости:

(1)

где r – постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак «минус» обусловлен тем, что f₂ и скорость  имеют противоположные направления:

.

Тогда с учетом (1) для колеблющегося тела можно написать уравнение 2-го закона Ньютона:

(2)

где m – масса тела; х – его смещение от положения равновесия, k – коэффициент возвращающей силы (жесткость пружины);

Уравнение (2) перепишем в следующем виде:

(3)

где …(4) называется коэффициентом затухания,(5)

В (5) величина ₀ представляет собой ту частоту, с которой совершились бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления среды (r =0). Эту частоту ₀ называют собственной частотой колебания системы.

Уравнения (2) и (3) есть уравнения затухающих колебаний. Решение уравнения (3) будем искать в виде:

(6)

где U=U(), т.е. U – есть некоторая функция от времени . Найдем ее в виде функции U. Для этого продифференцируем (6) по  и определим и:

(7)

(8)

Подставив ииз (7) и (8) в (3), получим:

(9)

Рассмотрим случай, когда коэффициент ₀²-²>0.

Введем обозначение: (10)

Тогда (9) примет вид:

(11)

Решением этого уравнения является функция

(12)

где  - частота колебаний системы при r 0,

₀ – начальная фаза колебаний; А₀ – начальная амплитуда колебаний.

Подставив U из (12) в (6), получим в случае малого сопротивления среды (²<₀²) решение уравнения (3):

(13)

Для простоты положим ₀=0. Тогда (13) примет вид:

(14)

Рис. 1.

График этой функции представлен на рис.1. пунктирными линиями указаны пределы, в которых находится смещение х колеблющейся точки. В соответствии с видом функции (13) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты с амплитудой, изменяющейся по закону

(15)

Найдем время, за которое амплитуда уменьшится в е раз. Так как , то по условию должно быть: =1 или . Следовательно, коэффициент затухания, показывающий скорость затухания колебаний, обратен тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в е раз. Согласно, формуле (10) период затухающих колебаний равен:

(16)

При незначительном сопротивлении среды (²<<₀²) период колебаний практически равен Периодом колебания в данном случае называется промежуток времени между двумя последовательными прохождениями колеблющегося тела через положение равновесия в одном и том же направлении.

Из формул (4) и (16) следует, что с увеличением коэффициента сопротивления среды r, а. следовательно, и с увеличением коэффициента затухания  рериод затухающих колебаний возрастает.

Обычно затухание колебаний характеризуется логарифмическим декрементом затухания. Для нахождения этой величины вычислим отношение амплитуд, отстоящих друг от друга во времени на один период. Согласно (14) будем иметь:

; .

Тогда (17)

Натуральный логарифм выражения (17) называется логарифмическим декрементом затухания. Обозначим эту величину через D. Тогда (18)

Но тогда(19)

Таким образом, логарифмическим декрементом затухания называется величина, численно равная натуральному логарифму отношения амплитуд, отстоящих друг от друга на один период. Эта величина прямо пропорциональна массе колеблющегося тела (или системы). Из (19) следует, что при постоянной и массе тела, совершающего затухающие колебания, логарифмический декремент затухания будет возрастать с увеличением коэффициента сопротивления среды (период колебаний Т₀ при этом так же возрастает).