5.4 Сходимость

Расчетную схему называют сходящейся, если при уменьшении шага сетки решение дискретного аналога стремится к решению исходного дифференциального уравнения, т.е. если выполняется условие вида:

,

(33)

где Ф – численное решение дифференциального уравнения;, – точное решение; Δх – шаг по пространственным координатам; Δt – шаг по времени.

Применительно к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных доказана теорема Лакса (теорема об эквивалентности):

Необходимым и достаточным условием сходимости разностной схемы для решения корректно поставленной задачи с начальными данными²⁹ для линейного уравнения в частных производных является выполнение условий согласованности и устойчивости.

Таким образом:

Сходимость = Согласованность + Устойчивость

(34)

Доказательство данной теоремы выходит за рамки нашего курса.

Многие авторы предполагают справедливость теоремы Лакса для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, хотя для таких уравнений эта теорема не доказана [Андерсон и К].

При решении граничных задач итерационными методами (см. п. 4.1), могут возникнуть проблемы, связанные с отсутствием сходимости итераций. Как отмечалось ранее, для повышения устойчивости итерационного процесса, рекомендуется применять нижнюю релаксацию. Следует отметить, что с математической точки зрения, введение нижней релаксации аналогично уменьшению шага по времени при решении маршевых задач.

Практический способ исследования сходимости заключается в решении дискретного аналога дифференциального уравнения на расчетных сетках с различным шагом. Если при анализе результатов расчетов удастся продемонстрировать независимость решения от шага расчетной сетки, то дискретную схему признают сходящейся.

1Для простоты изложения в данной работе будут рассматриваться только двумерные задачи

2Для сравнения имеет смысл указать, что емкость оперативной памяти широко распространенных персональных ЭВМ классаPentium-IVсоставляет от 256 до 4000 мегабайт.

3Пульсации вязкости обычно полагают малыми и пренебрегают ими.

4Для случая несжимаемой жидкости.

5В последние годы бурно развивается альтернативный метод упрощения уравнений Навье-Стокса, связанный с разделением пульсаций искомых характеристик течения на крупно- и мелкомасштабные –метод крупных вихрей(LargeEddySimulation,LES). Уравнения методаLESпо форме схожи с уравнениями Рейнольдса (3).

6Напряжениями Рейнольдса называются величины

7Сплошность(межатомные пустоты не влияют на характер напряженного состояния тела),изотропность(независимость свойств материала от направления),физическая линейность(выполнение закона Гука),геометрическая линейность(малость деформаций по сравнению с размерами тела).

8В двумерном случае.

9Решениемдифференциального уравнения является функция, обращающая это уравнение в тождество.

10Для дифференциального уравнения первого порядка. При решении уравнений старших порядков потребуются дополнительные граничные условия для производных, заданные наэтой жегранице. Попытка задания условий на обеих границах в маршевой задаче может привести к тому, что она окажется несовместной.

11См. предыдущее примечание. Важно понимать, что граничная задача требует задания условий на всех границах интервала, а маршевая – только на входной.

12Современные цифровые ЭВМ способны оперировать только элементами множества “вещественных” чисел, имеющими ограниченное число значащих цифр, которое определяется “разрядной сеткой” ЭВМ. Можно отметить, что множество вещественных чисел не содержит иррациональных чисел и включает в себя не все рациональные числа. Число элементов множества вещественных чисел, доступного данной ЭВМ, конечно, что влечет за собой принципиальную невозможность описания всего множества действительных чисел, которое бесконечно велико. Вторая причина, вынуждающая нас использовать сеточные функций, заключается в необходимости разумной экономии времени выполнения расчетов.

13Процесс построения восполнений (непрерывных функций, совпадающих в узлах сетки со значениями сеточной функции) называетсяинтерполяцией.

14Вообще говоря, функция (х) может быть нам не известна. Ставя задачу по оценке её производной, мы тем самымпредполагаем, что (х) дифференцируемая.

15Для точки х_*, лежащей посередине отрезка (x_k-1,x_k), коэффициент при (х_*) в (9) равен нулю и, следовательно, точность оценки производной возрастает.

16В случае Δx=const.

17Для сравнения: по данным табл. 3.1, вследствие применения пятиточечной аппроксимации, ошибка уменьшилась примерно в 2000 раз!

18Описываемый способ интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений называетсяметодом Эйлера.

19В случае сетки, имеющей переменные шаги Δxи Δу, формулы будут более громоздкими.

20Для определенности будем полагать, что на обоих концах стержня заданы граничные условия Дирихле, а расчетные шаги по пространственной координатеΔxи по времениΔtпримем постоянными.

21Как указывалось выше, время является односторонней координатой, а пространственная координата х – двусторонней (см. § 3). Именно этим обстоятельством объясняется выбор различных аппроксимаций для производных.

22Значения температуры приi=0 иi=Nизвестны из граничных условий задачи.

23Подобный эффект, например, наблюдается при решении уравнений Прандтля вблизи точки отрыва пограничного слоя [Белоцерковский и др.].

24Естественно, вместо критерия сходимости (26) в данном случае должна использоваться величина ε/r.

25Современные программно-вычислительные комплексы, как правило, предоставляют пользователю возможность такого выбора.

26Использование более точных методов интерполяции возможно, но приведет к более громоздким выкладкам, не изменяя существа дела.

27Напомним, что погрешностью аппроксимации называют ошибку, возникающую при замене производной конечно-разностным соотношением.

28Теоретическое понятие устойчивости применимо только к маршевым расчетным схемам, однако на практике неустойчивость решения может наблюдаться и у граничных задач.

29Т.е. для маршевой задачи.