ПП _07 _Законы распр и числ хар
.pdfПП 7. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ
Случайная величина (с.в.) Х в результате опыта принимает то или иное значение {X = x1}, {X = x2}, …, {X = xn}….
Множество {xi },(i =1,2,...,n,...)– множество возможных значений с.в.
С.в. Х – функция элементарного события: Х=ϕ (ω), где ω Ω. Множество {xi } возможных значений с.в. Х состоит из всех значений, которые принимает
функция ϕ (ω).
С.в. называется дискретной, если множество {xi } – конечно или счетно (образует конечный или бесконечный ряд чисел) и непрерывной, если множество {xi } – несчетно (значения с.в. заполняют конечный или бесконечный про-
межуток числовой оси).
Закон распределения (ряд распределения) д.с.в. задается в виде таблицы:
|
X |
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
… |
|
xn |
|
|
P |
|
p1 |
p2 |
p3 |
|
… |
|
pn |
|
где xi , (i =1,2,...,n,...) |
– возможные значения с.в. |
X , |
|
|
||||||
pi = P(X = xi ) – вероятность того, что в резуль- |
|
|
|
|
||||||
тате опыта с.в. |
X примет |
|
|
|
Pi |
|
|
|||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значение xi , |
∑pi =1. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Многоугольник (полигон) распределения - |
|
|
|
|
||||||
множество точек Mi (xi ; pi ), (i =1,2,...,n,...). |
0 |
1 2 3 xi |
7.1. Функция распределения с.в.
Функцией распределения с.в. X называется вероятность того, что с.в. X примет значение меньшее, чем заданное х, F (x)= P(X < x), −∞ < x < ∞ .
1. F (x2 )≥ F (x1 ) при x2 > x1 ;
2. F (−∞)= lim F (x)= 0 ;
x→−∞
3. F (+∞)= lim F (x)=1.
x→+∞
Функция распределения дискретной случайной величины
Ряд распределения дискретной с.в.:
|
|
|
|
X |
0 |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
P |
0,24 |
0,46 |
0,26 |
0,04 |
|
|
||
Найдем F (x): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
• |
если x ≤ 0, |
то F (x)= 0 ; |
|
|
|
|
|
|
||||
• |
если 0 < x ≤1, то F (x)= P (X = 0)= 0, 24 ; |
|
|
|
||||||||
• |
если 1 < x ≤ 2 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
F (x)= P (X < x)= P (X = 0)+ P (X =1)= 0, 24 +0, 46 = 0,70; |
|||||||||||
• |
если2 < x ≤ 3, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
F (x)= P ( |
X = 0)+ P (X =1)+ P(X = 2)= 0, 24 +0, 46 +0, 26 = 0,96 ; |
||||||||||
• |
если x > 3, то F (x)= P (X = 0)+ P (X =1)+ P (X = 2)+ P (X = 3)=1. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция распределения непрерывной случайной величины
F (x)= P{X < x} = ∫x f (x)dx ,
−∞
f (x) – плотность распределения с.в. X ,
ƒ(x)≥0, |
∞∫ f (x)dx =1. |
|
−∞ |
P{α < X < β}= P{X < β}− P{X <α}= F
.
7.2. Числовые характеристики случайных величин
1. Математическое ожидание
Математическим ожиданием (средним значением случайной величины)
дискретной с.в. называется сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений.
M(X )= ∑xi pi = mx
i=1n
1.M (c) = c , с - константа;
2.M (cX )= cM (X );
3.M (X ±Y ) = M (X )± M (Y );
4.M (X − M (X ))= 0 ;
5.M (X Y )= M (X ) M (Y ), ( X , Y - независимые с.в.).
Математическим ожиданием непрерывной с.в. Х с плотностью ƒ(х) назы-
вается величина mx = M (X )= ∞∫ x f (x)dx .
−∞
2. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение
Дисперсией D(x) = Dx с.в. Х называется Dx= M ((X – Mx)2),
разность X – Mx называется отклонением с.в. Х от ее математического ожидания.
n
Для дискретной с.в.: Dx = ∑( xi − mx )2 pi ,
i=1
для непрерывной с.в.: Dx = ∞∫(x − mx )2 f ( x )dx .
−∞
Dx = M ((X −Mx )2 )= M (X 2 )− M x2 .
1.D(X )≥ 0 ;
2.D(c)= 0 ;
3.D(cX )= c2 D(X );
4.D(X +Y )= D(X )+ D(Y ), ( X , Y - независимые с.в.);
5.D(X +c)= D(X ).
3.Среднее квадратическое отклонение (с.к.о.) с.в:
Dx =σx .
4. Стандартной случайной величиной, соответствующей случайной ве-
личине X называется случайная величина Y = |
X − MX |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
σx |
|
|
|
|
|
|
|
X − MX |
|
|
MX − MX = 0 , |
|
|
X − MX |
|
|
DX |
|
|
|
MY = M |
|
= |
DY = D |
|
= |
|
=1. |
||||||
σx |
σx |
(σx ) |
2 |
||||||||||
|
|
|
σx |
|
|
|
|
|
|
5. Мода, медиана, квантили
Мода Мoх дискретной с.в. – это наиболее вероятное значение с.в.; для непрерывной с.в. – это точка максимума плотности распределения.
Медиана Мeх с.в. - это такое значение непрерывной с.в., для которого
P{X < xm}= P{X > xm}= 12 .
Если плотность распределения симметрична относительно прямой x = a и распределение одномодально, то:
M (X )= Mex = Mox .
Квантилью уровня p qp с.в. X называется решение уравнения F (qp )= p , где F (x) – функция распределения с.в. X , p – некоторое число,
0 < p <1.
Медиана распределения является квантилью уровня 0,5: Mex = q0,5 .
6. Моменты случайных величин
Начальным моментом k-ого порядка с.в. X называется число αk (X ), рав-
ное математическому ожиданию k-й степени этой величины, X k : |
|
|
αk (X )= M (X k ). |
n |
∞ |
αk (X )= ∑xik pi , αk (X )= ∫ xk f (x)dx – для дискретной и непрерывной |
|
i=1 |
−∞ |
с.в. соответственно. При k =1, то M (X )=α1 (X ).
ο
Центрированной случайной величиной X называется отклонение слу-
ο
чайной величины от ее математического ожидания: X = X −mx .
Центрирование случайной величины означает перенос начала координат
в точку mx .
Центральными моментами называются моменты центрированной слу-
чайной величины (аналог моментов относительно центра массы в механике). Центральным моментом порядка k с.в. X называется величина
|
ο k |
k |
). |
|
µk (X )= M X |
|
= M ((X −mx ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µk |
= ∑(xi −mx ) |
pi , |
|
µs = ∫(x −mx )k |
f (x)dx – для дискретной и непрерыв- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной с.в. соответственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Абсолютные моменты (начальные и центральные): |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k |
(X )= M |
( |
|
k |
) |
|
k |
(X ) |
|
|
|
|
ο |
|
|
k |
|
|
|
( |
|
|
|
x |
|
k |
) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
β |
X |
, ν |
= M |
|
|
X |
|
|
|
|
= M |
X −m |
|
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Связь между начальными и центральными моментами |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ = M |
X = M (X − m )= 0 . |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ο |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
µ2 |
= M |
|
ο 2 |
|
= α2 − mx2 |
|
µ2 = Dx . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
|
= M |
|
|
|
D |
|
= |
α |
|
−3α m |
|
+ |
2m3 . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
X 3 |
|
3 |
x |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||
|
|
7. «правило трех сигм» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Значения случайной величины Х с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3σx |
3σx |
|||||||||||||||
вероятностью, близкой к 1, не выходят |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
за пределы интервала mx |
±3σx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mx |
|
|||||||||||
Если многоугольник |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
распределения дискретной случайной величины или плотность распределения непрерывной случайной величины
симметричны относительно прямой x = mx , то все центральные моменты нечетного порядка µ2k +1 = 0, k =1,2,... равны нулю.
8. Коэффициент асимметрии
As = Sk = µ3 .
σx3
I – кривая с положительной асимметрией, As >0 ,
II – с отрицательной асимметрией, As < 0 .
9. Эксцесс |
ε |
x |
= |
|
µ4 |
−3. |
|
||||
σ4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Эксцесс нормального распределения равен |
|
||||||||
ε |
x |
= 0 , |
µ4 |
= 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
σ4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.3.Основные законы распределения случайных величин
иих числовые характеристики
7.3.1. Законы распределения дискретной с.в.
1. Биномиальное распределение:
P (X = k) =Ck pk (1− p)n−k , 0 < p <1, k = 0,1,2,...n |
|||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cn |
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
k !(n −k )! |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
M (X i )= p , D (Xi )= pq . |
|
|
|
|||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
σ (X )= npq . |
||||||||
M |
∑Xi = np , D |
∑Xi |
= npq , |
||||||||||||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
X |
|
|
|
X |
|
pq |
|
|
X |
= |
pq |
|
||||
|
M |
|
|
|
= |
p , D |
|
= |
|
|
, σ |
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
n |
|
n |
|||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
2. Распределение Пуассона (предельный случай биномиального распределения
при n→∞, р→0, lim(np) = λ = const , описывает так называемый поток собы-
n→∞
тий):
P (X = k )= λk e−λ . ∑∞ P (X = k )=1, k = 0,1,2,....
k! k =0
M (X )= D (X )= λ , λ – среднее количество событий за определенный
промежуток времени (средняя интенсивность потока).
Ниже приведены вероятности для различных значений k при некоторых значениях λ. Смысл имеют значения функций только при целых x .
3.Распределение Паскаля:
P(n, p,m) =Cn+ − pm (1− p)n
m n 1
−вероятность того, что до появления события А m раз оно не появится n раз. 4. Геометрическое распределение (частный случай распределения Паскаля):
Pn ( X = k) = p (1− p)k , 0 < p <1, k =1,2,3,.....
−вероятность появления события А в первый раз после точно k испытаний.
|
m |
|
= 1 − p |
; D = |
1 − p . |
|
|
|
x |
p |
x |
p2 |
|
5. Гипергеометрическое распределение: |
|
|||||
P ( X = k) = |
CMk |
CNn−−kM |
|
, k = 0,1,2,...,min (M,n). |
||
|
CNn |
|||||
n |
|
|
|
7.3. Законы распределения непрерывной с.в.
1. Равномерное распределение:
|
0, |
x ≤ a и x > b, |
||
f (x) = |
|
|
|
|
1 |
|
, при a < x ≤ b |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
b - a |
|
−∞< a <b <∞
График функции распределения:
0, при x ≤ a,
F (x) = x - a , при a < x ≤ b ,b - a
1, при x>b.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x2 − x1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P{x1 < X < x2}= ∫2 |
|
f ( x )dx = |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b − a |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
x |
= |
a +b |
= Me |
, |
|
D |
x |
= |
(b − a)2 |
, σ |
x |
= |
D |
= |
b − a |
. Мода отсутствует. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
µ3 = 0, коэффициент асимметрии Sk = 0, µ4 |
= ( b − a )4 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
µ4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
||||
эксцесс ε |
x |
= |
|
|
|
−3 = −1,2 < 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
σx4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. Показательное (экспоненциальное) |
распреде- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ление – аналог закона Пуассона для непрерывных |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
с.в.: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
−λx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f (x) = |
λe |
|
|
|
, x ≥ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x < 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
λ > 0 - параметр распределения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Функция распределения F(x): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−λx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F(x) = |
1−e |
|
|
, x ≥ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
1 |
|
x < 0. |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
µ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
=σ |
|
|
= |
|
; D = |
, µ |
|
= |
|
|
|
, Sk = |
|
|
= 2 > 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
λ |
|
|
|
x |
|
λ2 |
3 |
|
λ3 |
|
|
|
σ3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
3. Нормальное распределение (распределение Гаусса) N (m,σ ): |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f ( x ) = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
e− |
(x−m)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2σ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
σ |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
m,σ - параметры распределения, они равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m= Мех=Moх=m, σ = |
Dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ4 |
|
|
= 3 , ε |
x |
= |
µ4 |
−3 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ф(x) = |
|
|
|
∫e− 2 dt |
- функция Лапласа (специ- |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
альные таблицы). |
|
|
|
|
|
|
|
β − m) −Ф(α − m) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
P{α < X < β} =Ф( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства функции Лапласа:
1)Ф(0)= 0 ,
2)Ф(−x)= −Ф(x) (нечетная),
3)Ф(∞)= 0,5.
F (x)= P(X < x)= P(−∞< X < x)= 1 +Ф х−m 2 σ
{ |
Ф |
( |
|
) |
} |
α = −∞, β = х, |
|
−∞ |
|
= −0,5 . |
Вероятность того, что величина отклонения меньше δ > 0 :
P( |
|
X −m |
|
|
δ |
, при m = 0: |
P( |
|
X |
|
|
δ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
<δ )= 2Ф |
|
|
|
<δ )= 2Ф |
. |
|||||
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
4. Гамма – распределение.
Тесно связано с нормальным так называемое Γα ,λ распределение с плотно-
стью
f (x)= Γα(λλ )xλ−1e−x , x ≥ 0.
Здесь α > 0 , λ > 0 – параметры, Γ(λ)= ∞∫xλ−1e−xdx – гамма-функция Эйлера;
0
при λ > 0 Γ(λ +1)= λΓ(λ) (аналог факториала, (n +1)! =(n +1)n!).
Распределение χ2 (хи-квадрат).
Пусть независимые случайные величины Xi распределены по нормальному закону с M (Xi )= ai и средними квадратическими отклонениями σi ,
i =1,...,n . Для каждой из этих случайных величин образуем стандартизованную случайную величину
|
|
|
|
|
|
W = |
Xi |
−ai |
, |
i =1,...,n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
σi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сумма квадратов стандартизованных переменных |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
χ |
2 |
=W |
2 |
+W |
2 |
+ ...+W |
2 |
= |
|
X |
1 |
− a |
|
2 |
+ |
X |
2 |
− a |
2 |
2 |
+ ...+ |
|
X |
n |
− a |
n |
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
2 |
n |
|
|
|
σ1 |
|
|
σ2 |
|
|
|
σn |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
называется случайной величиной, распределенной по закону χ2 |
|
сν = n сте- |
пенями свободы. Плотность распределения этой величины связана с гамма-
распределением: χn2 =Γ1 |
, |
n , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
α |
λ |
|
ν |
|
χ2 |
|||||
f (χ2 )= |
|
|
|
(χ2 ) |
|
−1 e− |
|
. |
|||||
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||
ν |
ν |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
22 Γ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
На практике, как правило, используются квантили χ2 -распределения χα2 ,ν . Квантиль χα2 ,ν , соответствующий заданному уровню вероятности α – решение
|
( |
|
α ,ν ) |
|
∞ |
|
|
( |
|
|
) ( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
уравнения P |
χ2 |
= |
∫ |
f |
|
χ2 |
χ2 |
=α . |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
> χ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
χ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α ,ν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Распределение Стьюдента ( t -распределение). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть Wi , i =1,...,n |
– стандартные случайные величины, распределенные |
|||||||||||||||||||||||||||||||
по закону N (0,1). Распределение случайной величины |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
tn = |
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
= |
|
W |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 χn2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ∑Wi |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||
называется распределением Стьюдента с n степенями свободы. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Плотность распределения |
|
|
|
|
|
ν +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ν +1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ t |
2 |
|
− |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||
f (t )= S (t,ν )= |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ν |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πνΓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M (t )= 0 , |
D(t )= |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
(n > 2). |
|
|
|
|||||||||||||||
|
n |
− 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это распределение широко используется при статистических вычислениях. При увеличении числа степеней свободы t -распределение приближается к
стандартному нормальному N (0,1). На практике используются квантили t -
распределения tα |
,ν |
. Квантиль tα |
, соответствующий заданному уровню веро- |
||||||||||
2 |
2 |
,ν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
α |
|
∞ |
|
( |
) |
|||
|
|
|
|
∫ |
|
||||||||
ятности α – решение уравнения P |
|
t |
> t |
|
= 2 |
|
|
f |
|
t dt =α . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 ,ν |
tα |
,ν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ПП 7.1. Числовые характеристики случайных величин |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ п/п Задание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ |
Вероятность попадания стрелком в мишень равна 23 .
Стрелок сделал 15 выстрелов. Случайная величина X − число попаданий в мишень. Найдите числовые характеристики (моду, математическое ожидание, дисперсию, ПП СКО) числа попаданий и вероятность того, что случайная
7.№1. величина X примет значение, отличающееся от математического ожидания не более чем на СКО.
РЕШЕНИЕ:
Интересующая нас величина распределена по биномиальному закону: Pn (X = k) =Cnk pk (1− p)n−k .