ПП _08 _Предельные теоремы
.pdfПП 8. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Предельные теоремы теории вероятностей – группа утверждений, устанавливающих связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом числе испытаний над ними. Различают две группы теорем.
Первая, называемая законом больших чисел (ЗБЧ), устанавливает устойчивость средних значений: при большом числе испытаний среднее значение случайной величины практически перестает быть случайным и может быть предсказано с большой степенью определенности.
Вторая группа теорем, называемая центральной предельной теоремой
(ЦПТ), устанавливает условия, при которых закон распределения суммы случайных величин приближается к нормальному.
При доказательстве предельных теорем часто используются вспомогательные утверждения: неравенство Маркова и неравенство Чебышева.
Неравенство Маркова
Для любой неотрицательной с.в. X ≥0 с математическим ожиданием M ( X )
и для любого ε > 0 справедливо неравенство:
P(X ≥ε) ≤ Mε(X) .
Неравенство Чебышева
Вероятность того, что отклонение с.в. X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε , не меньше, чем
1− Dε(X2 ) :
P( |
|
X −mx |
|
<ε)≥1− |
D(X |
) |
, |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
D(X |
) |
|
|||
или |
|
P ( |
|
|
X −mx |
|
≥ε)≤ |
|
. |
||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
ПП 8.1. Закон больших чисел
Суть закона больших чисел заключается в том, что при большом числе независимых опытов частота появления какого-то события близка к его вероятности.
Теорема Чебышева (ЗБЧ в форме Чебышева)
Если случайные величины X1 ,X 2 ,...,X n ,...
1) попарно независимы и 2) их дисперсии ограничены, D (X i )≤ C ,
1
среднее арифметическое наблюдаемых значений независимых случайных величин X1 ,X 2 ,...,X n ,... по мере роста числа слагаемых все меньше отклоняется
от среднего арифметического их математических ожиданий:
|
|
|
1 |
n |
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
∑Xi − |
∑M (Xi ) |
|
=1, |
|||
lim P |
|
|
|
|
<ε |
||||
n→∞ |
|
|
n i=1 |
n i=1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
как бы мало ни было положительное число ε .
В частности, если X1, X2, …, Xn – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание a, и дисперсии этих вели-
чин ограничены, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
X |
|
−a |
|
|
=1. |
|
|
|
|||||||
lim |
|
∑i=1 |
i |
|
<ε |
||||
n→∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
Таким образом, сущностью теоремы Чебышева является тот факт, что хотя отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс относительно своих математических ожиданий, их среднее арифметическое рассеяно мало.
Теорема Бернулли (ЗБЧ в форме Бернулли)
Теорема Бернулли – исторически первая формулировка ЗБЧ (1713 г.). Пусть m – число появлений события А в n независимых испытаниях; p = P (A)
– вероятность появления события А в однократном испытании, тогда при стремлении числа испытаний n→∞ частота события А сходится по вероятности к вероятности события А,
|
|
|
|
|
m |
− p |
|
< ε |
|
=1 для любого ε > 0. |
|
|
|
|
|
||||||
lim P |
|
|
|
|
|
|||||
n→∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для с.в. |
X = |
1 ∑Xi M (X )= p , D(X )= pq , q =1− p . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n i=1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
pq |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Применим неравенство Чебышева: P |
|
|
|
− p |
|
<ε |
>1− |
|
|
. |
|||||||
|
|
n |
|
nε |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПП 8.2. Центральная предельная теорема
ЦПТ устанавливает условия, при которых закон распределения суммы большого числа случайных величин приближается к нормальному.
Для нормального закона плотность и функция распределения имеют вид:
|
1 |
e− |
( x−a)2 |
x |
1 |
x |
( x−a)2 |
|
f (x) = |
2σ2 , |
F(x) = ∫ f (x)dx = |
∫e− |
2σ2 dx . |
||||
|
|
|||||||
|
2πσ |
|
|
−∞ |
2πσ −∞ |
|
Если для нормального закона σ =1, распределение называют нормированным, если a = 0 – центрированным. Нормированное и центрированное нормальное распределение называют стандартным нормальным.
2
|
|
|
1 |
|
|
x2 |
|
|
|
x |
|
x2 |
|||
|
f (x)=ϕ(x)= |
|
e− |
|
, F (x)= 12 +Ф(x)= |
1 |
∫e− |
|
dx , |
||||||
|
|
2 |
2 |
||||||||||||
|
|
|
π |
π |
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
−∞ |
||||
|
|
|
|
1 |
|
x |
x2 |
|
|
|
|
|
|||
где |
Ф(x)= |
|
∫e− |
|
dx – функция Лапласа. |
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
2π |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Простейший вариант ЦПТ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пусть случайные величины X1 ,X 2 ,...,X n ,... независимы, |
имеют одинаковое |
||||||||||||||
распределение, конечные математическое ожидание |
M (X i |
)= a и дисперсию |
D (Xi )=σ2 . Распределение стандартной (т.е., центрированной и нормированной) суммы этих величин Sn при n→∞ стремится к стандартному нормальному:
|
|
n |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
∑Xi − M |
∑Xi |
|
∑Xi −na |
|||
Sn |
= |
i=1 |
i=1 |
|
= |
i=1 |
|
, |
n |
|
|
σ |
|
||||
|
|
|
|
n |
||||
|
|
D ∑Xi |
|
|
|
|
||
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
F |
|
(x)= P (S |
|
< x)→F |
(x,0,1), |
|
(x,0,1)= |
1 |
x |
e− |
t2 |
||
|
|
F |
|
2 |
dt . |
||||||||
|
n |
2π −∞∫ |
|||||||||||
S |
n |
|
n→∞ |
N |
|
N |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема Ляпунова (ЦПТ в формулировке Ляпунова)
Пусть X1 ,X 2 ,...,X n ,... – независимые случайные величины с математическими ожиданиями m1 = M (X1 ), m2 ,…, mn ,… и дисперсиями σ12 = D(X1 ),
σ22 …, σn2 ,… .
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
2 |
|
n |
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
Y −M |
n |
|
|
|
|||
Введем Yn = ∑Xi , |
Mn = |
∑mi , |
Sn = ∑σi , |
Yn |
= ∑Xi , Zn |
= |
|
n |
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
Sn |
|
|
|
|
|||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
|
∑bk |
|
→0 |
, где b =ν |
|
(X |
|
)= M |
( |
|
X |
|
− m |
|
3 |
) |
– третий абсолютный |
|||||||||||||
|
k =1 |
|
3 |
k |
|
k |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n→∞ |
k |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑Dk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
центральный момент величины X k , то закон распределения Zn |
при n→∞ стре- |
||||||||||||||||||||||||||||||
мится к стандартному нормальному: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||
|
F |
|
(x)= P(Z |
|
< x) |
→F |
(x,0,1), |
|
|
|
F |
|
(x,0,1) |
= |
|
1 |
|
e− |
t |
dt . |
|||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
∫ |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Zn |
|
|
|
|
n→∞ |
N |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
3
Формула Муавра-Лапласа как частный случай ЦПТ
Рассмотрим схему испытаний Бернулли: n – опытов, в каждом случае с вероятностью р может появиться событие А. Пусть Xi – случайная величина, связанная с появлением события А (индикатор события А):
Xi |
0, |
A не наступило, |
Yn |
n |
= |
A наступило, |
= ∑Xi – число появлений события А в n испыта- |
||
|
1, |
|
i |
ниях. Величина Yn распределена по биномиальному закону, соответствующие вероятности Pn (m)=Cnm pmqn−m , m = 0,1,2,...,n . Среднее значение M (Yn )= np ,
дисперсия D (Yn ) = npq . Введем стандартную (центрированную и нормирован- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ную) случайную величину Zn = Yn −np . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
npq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→N (0,1) |
|
|||||||||||
В соответствии с центральной предельной теоремой |
Z |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
т.е., к нормальному распределению с mx |
|
= 0 и σ =1, для которого плотность |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
распределения равна функции Гаусса f (x)=ϕ(x)= |
|
1 |
|
e− |
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 , а функция рас- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2π |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пределения выражается через функцию Лапласа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
F (x)= |
|
1 |
∫ e− |
|
|
dx = 12 +Ф(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вероятность того, что в серии из n опытов число успехов m будет лежать |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
между k1 и k2 : |
Pn (k1 ≤ m ≤ k2 )= P (k1 − np ≤ m − np ≤ k2 − np)= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k − np |
|
m − np |
|
|
k |
2 |
− np |
|
|
k |
2 |
− np |
|
|
|
|
k − np |
|
|
|||||||||||||||||||||
= P |
1 |
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
=Ф |
|
|
|
|
|
−Ф |
|
|
1 |
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
npq |
|
|
|
npq |
|
|
|
|
|
npq |
|
|
|
|
npq |
|
|
|
|
|
|
|
npq |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
На практике судят о замене биномиального распределение нормальным по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выполнению критериев: |
|
np −3 |
npq > 0, |
np +3 |
npq < n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ПП 8.1. Закон больших чисел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
№ п/п |
Задание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ |
||||||||
|
Монета бросается 1000 раз. Оцените сверху вероят- |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ность отклонения частоты появления герба от веро- |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ятности появления герба меньше, чем на 0,1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ПП 8.№1. |
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ 39 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D (X ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
n =1000, |
p = q = |
2 |
, ε = 0,1; |
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
P |
|
|
|
− 1 |
|
< |
ε ≥1− |
|
|
|
) |
= |
39 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1000 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
|
В урне 1000 белых и 2000 черных шаров. Вынули с |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
возвращением |
|
|
|
|
|
в урну 3000 шаров. Оцените снизуу |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
вероятность того, что число m извлеченных при этом |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
белых шаров удовлетворяет двойному неравенству |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
80 < m <120 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Перепишем двойное неравенство в виде |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПП 8.№2. |
80 < m <120 −20 < m −100 < |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
m |
|
1 |
1 |
. |
≥ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20, |
|
|
− |
|
|
|
|
|
< |
|
|
− 3 |
< |
|
6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
15 |
300 |
15 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Нужно |
|
|
оценить |
|
|
|
|
|
вероятность |
|
|
неравенства |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
m |
− |
|
1 |
|
|
< |
|
1 |
, ε = |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
300 |
3 |
|
|
15 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
≥1− |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
300 |
|
3 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
300 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
225 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Дана случайная величина X с математическим ожи- |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
данием m и дисперсией σ2 . Оцените вероятность то- |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
го, что величина X отклонится от своего математиче- |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ского ожидания более чем на 3σ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Полагая в неравенстве Чебышева |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПП 8.№3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P ( |
|
X −m |
|
≥α)≤ |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
α = 3σ , имеем P ( |
|
X −m |
|
≥ 3σ )≤ |
|
|
D |
|
= 1 , |
то есть вероят- |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
9σ2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ность того, что отклонение случайной величины от |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ее математического ожидания не выйдет за пределы |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3σ , не может быть больше |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дана случайная величина X с математическим ожи- |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
данием m и дисперсией σ2 . Оцените вероятность то- |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПП 8.№4. |
го, что величина X отклонится от своего математиче- |
0, 968 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ского ожидания менее чем на 31σ . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P ( |
|
X −m |
|
< 31σ ) |
≥1− |
|
|
= 0,968 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Случайная величина |
|
Xk |
с одинаковой вероятностью |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
может принимать одно из двух значений: |
kα и −kα . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Определите, удовлетворяет ли последовательность |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПП 8.№5. |
|
X1 ,X 2 ,...X k ,... |
|
попарно независимых случайных ве- |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
личин закону больших чисел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
lim P |
|
|
∑Xi |
− |
|
∑M (Xi |
) |
|
|
|
=1,ε |
> 0 , если |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
<ε |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
n i=1 |
|
|
|
|
|
n i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
α = −1,8 и α = 0, 42 .
РЕШЕНИЕ:
Случайные величины попарно независимы. Проверим, является ли дисперсия Xk ограниченной вели-
чиной. Составим законы распределения случайной величины Xk для различных α .
1) α = −1,8 .
|
|
|
Xk |
k −1,8 |
- k −1,8 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pi |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k −3,6 |
|
M (X k )= |
1 (k −1,8 |
− k −1,8 )= 0 |
|
|
|
|
|
k −3,6 |
|||
|
|
X k2 |
|
|
|
||||||
|
|
pi |
|
1 |
1 |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
D(Xk )= |
1 (k−3,6 |
+ k−3,6 )= k−3,6 |
= |
|
1 |
|
≤1, |
|
|||
3,6 |
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
||
D (X k )→ 0 при k → ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсия ограничена. Теорема Чебышева выполняется, Xk удовлетворяет закону больших чисел.
2) Проверьте самостоятельно, что при α = 0, 42 закон больших чисел не выполняется. Почему?
ПП 8.2. Центральная предельная теорема
На отрезке 0, |
3 |
случайным образом выбраны п чи- |
|
2 |
|||
|
|
||
сел, точнее рассматриваются п независимых случай- |
|||
ных величин |
X1 ,X 2 ,...X n , равномерно распределен- |
||
ных на этом отрезке. Определите вероятность того, |
|||
что их сумма |
|
заключена между x1 и x2 , то есть |
|
n |
|
|
|
|
ПП 8.№6. P x1 < ∑Xi < x2 . |
|
0,0288 |
|||
|
i=1 |
|
|
|
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
Для |
равномерного |
распределения Xi на отрезке |
|||
[a, b], a = 0, b = |
3 . |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
M (Xi )= a +b |
= b |
= |
3 |
, |
|
|
2 |
2 |
|
4 |
|
6
D(X |
i |
)= (b −a)2 |
= b2 |
= |
|
3 |
, σ |
x |
= |
D = |
b |
|
= |
3 |
. |
||
|
12 |
|
|
12 |
|
16 |
|
|
x |
2 |
3 |
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n |
|
(Xi )= n b |
= n |
3 . Преобразуем двойное неравен- |
|||||||||||||
∑M |
|||||||||||||||||
i=1 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ство для искомой вероятности к виду ЦПТ:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
P x1 < |
∑Xi |
|
|
< x2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
− |
bn |
|
|
|
|
|
|
n |
|
− |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn |
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
P x1 |
2 |
|
|
|
< ∑ |
Xi |
|
2 |
< x2 − |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x1 |
− |
|
|
|
|
|
|
∑ Xi − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
− |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= P |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
< |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
= Φ |
|
|
|
|
|
− Φ |
x1 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Пусть n =162 , |
|
x1 =132 , |
x2 |
|
=156 , тогда |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
− bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
≈11, |
|
|
|
|
|
|
2 |
≈ 6,27 , |
1 |
|
|
|
2 |
|
≈ |
1,9 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
По таблице найдем Φ(6,27)≈ 0,5, |
Φ(1,9)= 0,4712 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Р = 0,0288. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Складываются 103 чисел, каждое из которых ок- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
руглено с точностью до 10–3. Предполагая, что ошиб- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ки от округления независимы и равномерно распре- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
делены в интервале (−0,5 10−3 ;0,5 10−3 ), найти ин- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
тервал, симметричный относительно математическо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
го ожидания, в котором с вероятностью 0,998 заклю- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПП 8.№7. |
чена суммарная ошибка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Представим наблюдавшиеся числа в виде |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ ∆i , где Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Xi = X |
i |
|
– наблюдавшееся значение, X |
i |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
– округленное значение, ∆i – ошибка округления |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i –го числа. Очевидно, сумма равна |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∑Xi = ∑(X |
i + ∆i )= ∑X |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i + ∑∆i =ΣX |
+Σ∆. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7
Первое слагаемое – сумма округленных значений – неслучайно. Второе – сумма случайных величин ∆i , равномерно распределенных на интервале (−0,5 10−3 ;0,5 10−3 ). Для слагаемых
M (∆i )= 0 , D(∆i )=121 10−6 (см. ПП 8.№6.).
1000 |
|
|
|
|
|
|
Для Σ∆ = ∑∆i соответствующие характеристики: |
||||||
i=1 |
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
||
M (Σ∆)= M ∑ |
∆i |
= ∑M (∆i )= 0, |
|
|||
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
|
D(Σ∆) |
1000 |
|
|
1000 |
10−3 |
, |
= D ∑∆i |
= ∑D(∆i )= |
12 |
||||
|
= |
|
|
= |
|
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
σ = D(Σ∆) ≈9,13 10−3 .
Σ∆
Считая (в соответствии с ЦПТ), что величина σ
распределена по закону N (0;1), по таблицам функции Лапласа Ф(x) находим решение уравнения
Ф(x)= 0, 499 : x = 3,09 ,
что дает Σ∆σ (−3,09;3,09), Σ∆ (−0,0282;0,0282).
8