Масштабы и масштабные уравнения Пусть дифференциальное уравнение механической системы, являющееся упрощенной моделью системы подвески автомобиля имеете вид:

.

Рис. 137. Эквивалентная схема подвески автомобиля

Пояснения к рисунку:

m – масса, ω – коэффициент демпфирования, С – элемент упругости, F – сила, приложенная к системе.

В результате исследования нужно определить параметры m, ω, С, пр которых время переходного процесса имеет минимальное значение.

Электрическую схему модели можно представить на рис. 138.

Рис. 138. Эквивалентная схема модели

И дифференциальное уравнение для данной электрической модели имеет вид:

.

(200)

Аналогично предыдущим ситуациям, для оригинала и модели можно составить систему уравнений для критерия подобия, введя постоянную размерную и переменную безразмерную величины.

Но применительно к АВМ лучше воспользоваться постоянными соотношениями в виде масштабных уравнений. Масштаб переменной величины представляет собой отношение электрической переменной величины к соответствующей ей по уравнению механической переменной величине, взятой в аналогичные моменты времени, то есть:

,

(201)

где – масштабные переменные.

Подставляя значения в дифференциальное уравнение для электрической цепи, получим:

,	(202)
,	(203)
.	(204)
В уравнении для модели подвески, имеющей вид, получим:
.	(205)

По определению подобия эти уравнения будут тождественно равны друг другу, если:

.

(206)

Последние соотношения являются основой для определения параметров электрической цепи.

Модель строится следующим образом:

1. Исходя из допустимых предельных значений переменных электрической цепи и исследуемой системы, вычисляются их масштабы.

2. Задаваясь средними значениями параметров механической системы с помощью последних уравнений, определяют средние значения параметров электрической цепи.

3. По рассчитанным параметрам строят электрическую цепь и на которой проводят исследование механической системы.

Из анализа масштабных уравнений можно сказать, что они являются аналогами критериев подобия.

Таким образом, электрическое моделирование – это средство для предварительного анализа разнообразных физических процессов. Оно применяется при анализе и синтезе сложных систем.

Примеры использования масштабных уравнений Расчет коэффициента передачи суммирующего усилителя

Пусть задано для моделирования уравнение: .

Это уравнение состоит из двух слагаемых, поэтому можно предположить, что в качестве модели этого уравнения можно использовать суммирующий усилитель на два входа:

Рис. 139. Суммирующий усилитель

Его выходное напряжение определяется по формуле:

.

(207)

Но пока нельзя утверждать, что это уравнение является аналогом заданного.

Для этого нужно составить критерий подобия или получить его, используя масштабные соотношения.

Для расчета масштаба считаем, что максимальное значение переменных величин, входящих в заданное уравнение, известно. Для усилителя это будет напряжение питания.

Поэтому вводим масштабы по каждой переменной величине:

, ,.

(208)

Из масштабных соотношений выразим машинные переменные.

, ,.

(209)

Полученные значения подставим в уравнение для выходного напряжения усилителя.

.

(210)

Решим последнее уравнение относительно выходной величины.

.

(211)

Отсюда видим, что полученное уравнение будет тождественно заданному, если равны коэффициенты перед соответствующими переменными.

Поэтому вводим масштабы по каждой переменной величине:

, ,.

(212)

Из масштабных соотношений выразим машинные переменные

.

, ,.

(213)

Полученные значения подставим в уравнение для выходного напряжения усилителя

.

(214)

Решим последнее уравнение относительно выходной величины.

.

(215)

Отсюда видим, что полученное уравнение будет тождественно заданному, если равны коэффициенты перед соответствующими переменными.

.

.

(216)

Решим последнее уравнение относительно выходной величины.

.

(217)

Отсюда видим, что полученное уравнение будет тождественно заданному, если равны коэффициенты перед соответствующими переменными.

(218)

Полученная система уравнений и будет являться критерием подобия между исследуемым процессом и уравнением, описывающим работу суммирующего усилителя.

Если считать, что а₁ и а₂ известны, то из системы можно найти выражения для коэффициентов передачи суммирующего усилителя по каждому входу.

(219)

В общем виде можно записать выражение для коэффициента передачи суммирующего усилителя

В общем виде можно записать выражение для коэффициента передачи суммирующего усилителя:

.

(220)

По аналогии коэффициент передачи интегрирующего усилителя по i-тому входу:

,

(221)

где – масштаб времени,t_эл – время протекания процесса в модели, t – время реального процесса.

–процесс исследуется в реальном масштабе времени.

–процесс исследуется в замедленном масштабе времени.

–процесс исследуется в убыстренном масштабе времени.