- •Особенности термодинамики как науки.
- •Основные определения термодинамики.
- •Координаты и потенциалы.
- •Пример 3. Химические реакции и фазовые превращения.
- •Правило знаков для потенциалов:
- •Теплота и работа. Внутренняя энергия.
- •Работа на деформацию (деформационная работа).
- •Взаимодействия равновесное и неравновесное. Процессы статические и нестатические.
- •Уравнения состояния системы.
- •Уравнения состояния реальных газов.
- •Работа и теплота. Свойства работы и теплоты.
- •Характеристические функции.
- •Дифференциальные соотношения термодинамики.
- •Отличительные особенности типов дифференциальных соотношений.
- •2. Теория теплоёмкости разнородных систем.
- •2.1. Виды теплоемкостей.
- •2.2. Общая формула для теплоемкостей однородных систем.
- •2.3. Теплоёмкость идеального газа.
- •2.4. Зависимость теплоёмкости от давления, объёма и температуры.
- •2.5.Исследование теплоемкостей идеального газа.
- •2.6.Исследование зависимости изохорной и изобарной теплоёмкостей идеального газа от величины температуры.
- •2.7.Зависимость теплоёмкости от температуры. Истинная и средняя теплоёмкости.
- •3.Вычисление энтропии.
- •3.1.Энтопия. Общие формулы для энтропии идеального а реального газов.
- •3.2.Уравнение адиабаты реального газа в общем виде.
- •4.Исследование термодинамических процессов.
- •4.1.Политропный (политропический) процесс.
- •4.2.Метод определения показателя политропы по двум точкам.
- •4.3.Теплоемкость в политропном проессе.
- •4.4.Работа, теплота и внутренняя энергия в политропном процессе.
- •Исследование изопроцессов. Работа, теплота и внутренняя энергия в изопроцессах.
- •Второй закон термодинамики.
2.2. Общая формула для теплоемкостей однородных систем.
Получим формулу справедливую для любого газа (идеального и реального) и любого процесса.
Для простоты вывода рассмотрим массовую (удельную) теплоемкость то есть рассматривая термодеформационную сестему.
Из 1-ого начала термодинамики для термодеформационных системы имеем dQ = dU + p dv.
Как известно, внутренняя энергия является функцией состояния, а дифференциал функции состояния это всегда полный дифференциал.
Любую функцию состояния можно выразить через различные сочетания термодинамических параметров состояния
Пусть U=U(T,v), по правилам математики для полного дифференциала функции нескольких переменных можно записать:
, таким образом, для определения теплоемкости получаем следующую систему уравнений:
Решая эту сестему методом подстановки, получим:
(60)
Для изохорного процесса (v=const) из формулы следует
(61)
Формула (61) для массовой изохорной теплоемкости справедлива как для идеального газа, так и для реального.
Продолжим преобразовывать формулу (60), для чего найдем значение частной производной из 1 начала термодинамики для термодеформационной системы.
dU = TdS – p dv (28)
как известно, относится к третьему типу деформационных соотношений.
тогда после подстановки получим:
Окончательно:
(62)
Формула (62) называется общей формулой для теплоёмкостей однородных систем (для идеального и реального газа).
Из полученной формулы можно найти значения для теплоёмкости, т.е. для изопроцессов и политропных процессов.
Например, массовая изобарная теплоёмкость любого газа запишется
(63)
Для политропного процесса уравнение приобретает следующий вид:
2.3. Теплоёмкость идеального газа.
Для того чтобы воспользоваться формулами (63,64) найдем значения входящих в них частных производных из уравнения Менделеева-Клапейрона.
Pv=RT
Продифференцируем это уравнение
p dv + v dp = R dT, откуда имеем
(65)
(66)
В предыдущем параграфе было получено
- справедливо для реального и идеального газа. Подставим в это выражение значение для идеального газа:
(67)
Таким образом, внутренняя энергия идеального газа от величины объёма не зависит, т.е. UU(v).
Исследуем вопрос зависимости внутренней энергии идеального газа от величины давления.
, где - изотермическая сжимаемость, которая является конечной величиной, т.е. .
(68)
Из (68) следует, что U≠U(P)
Таким образом, внутренняя энергия идеального газа не зависит от величины давления, следовательно, внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры газа.
Внутренняя энергия- это функция состояния, поэтому dU- дифференциал функции состояния. Любая функция состояния может быть выражена через любое сочетание термодинамических параметров состояния системы.
Внутренняя энергия может быть выражена как U=U(T,v), по правилам математики полный дифференциал функции двух переменных запишется следующим образом:
(69)
(61)
Так как таким образом, для идеального газа получаем
dU = cv dT откуда
(70)
Для идеального газа полная производная изменения внутренней энергии определяется
Для того чтобы взять интеграл нужна связь между Cv и Т.
Если в диапазоне температур T1 и T2, cv взять средним значением, то U = (T2-T1) (72)
А абсолютное значение запишется:
(73)
где U0 – постоянная интегрирования.
Массовая изобарная теплоёмкость идеального газа определяется из формулы (63), из формул (65,66) частные производные:
(65)
(66)
После подстановки (65,66) в (63) получим
Окончательно:
(74)
Формула (74)- уравнение Майера.
Из этой формулы следует, что массовая изобарная теплоёмкость больше на величину удельной газовой постоянной (R) массовой изохорной теплоёмкости идеального газа.
В случае мольных теплоёмкостей уравнение Майера запишется в виде:
(75)
где R = 8314
из формулы (75) следует, что молярная изобарная теплоемкость больше молярной изохорной теплоемкости на величину универсальной газовой постоянной.
Обозначим через (76)
K- Показатель адиабаты (коэффициент Пуассона).
K, показывает во сколько раз изобарная теплоемкость больше изохорной.
Так как по уравнению Майера изобарная теплоемкость всегда больше изохорной, то K всегда больше единицы (K>1).
Как показали эксперименты, с ростом температуры показатель адиабаты слабо убывает поэтому в инженерных расчетах показатель адиабаты берут в среднем значении так для двухатомных газов, включая воздух который на 79% состоит из N2 и примерно на 21% из О2, берется значение K1,4.