8. Определение модуля Юнга

Цель работы: усвоение знаний по разделу «Деформация твердого тела», приобретение практических навыков определения модуля Юнга материала.

Оборудование

Общий вид экспериментальной установки представлен на рисунке 1. Основными элементами установки являются:

1 - индикатор малых перемещений с ценой деления 0,01 мм; 2 - держатели индикатора и стержня; 3 - набор плоских стержней; 4 - грузы; 5 - нить.

1

2

					3
	4
		5

Рис. 1. Общий вид установки

50

8.1. Задание для работы

1.Построить график зависимости стрелы прогиба от величины нагрузки.

2.Определить модуль упругости материала.

8.2. Методика эксперимента

8.2.1. Краткие теоретические сведения

Все реальные тела под действием приложенных к ним сил изменяют свою форму или объем. Такие изменения называют деформациями. Деформации называются упругими, если они исчезают после прекращения действия приложенных сил, и пластичными, если они остаются после снятия нагрузки. В настоящей работе

ограничимся изучением только упругих деформаций.

Упругие

свойства

тела характеризуются экспериментально

вводимыми

постоянными, к числу которых относится модуль Юнга.

F

Возьмем однородный стержень длиной l, площадью

поперечного сечения S и приложим к его концам

l

l+ l

растягивающие силы F, направленные вдоль оси

симметрии

(рис. 2). В результате стержень растягивается на величину l, то

есть удлиняется. Для характеристики деформации тела важно

как абсолютное удлинение l, так и относительное удлинение

l

F

, то есть во сколько раз увеличилась единица длины тела.

l

Рис. 2. Деформация тела

Если взять стержни разного поперечного сечения S, то при

l

действии одной и той же растягивающей силы относительное

удлинение

будет тем меньше, чем толще стержень, то есть чем больше S. Отсюда

l

следует, что относительное удлинение пропорционально величине FS :

ll FS

или

l	=α	F	,	(1)
l		S

где α – коэффициент пропорциональности. Величину, обратную α, называют модулем упругости или модулем Юнга:

E = α1 .

Отношение силы, действующей на площадь поперечного сечения, есть напряжение

σ = FS . Тогда (1) примет вид

	l	=	1	σ .	(2)
	l		E

Из выражения (2) можно уяснить физический смысл модуля Юнга. Модуль Юнга численно равен напряжению, при котором длина растягиваемого образца увеличивается вдвое. Это определение условно, поскольку только немногие материалы способны выдерживать без разрушения такие нагрузки. Для подавляющего

большинства материалов зависимость (2) справедлива только при малых деформациях l << l .

51

Для определения модуля Юнга можно воспользоваться методом изгиба стержня, положенного на две опоры. Рассмотрим однородный стержень высотой b, шириной a, длиной L и массой M (рис. 3), к центру которого приложена сила F (рис. 4). В данном случае деформация характеризуется стрелой прогиба λ (рис. 4). Стрелой прогиба называется расстояние, на которое опускается точка приложения силы, действующей на стержень. Для выяснения характера зависимости модуля Юнга E от стрелы прогиба λ ограничимся случаем малых деформаций.

b

			a
	L

Рис. 3. Геометрические размеры стержня

NC	λ	ND
C	Mg		D
	F
	L
Рис. 4. Изгиб стержня

Из симметрии рассматриваемой задачи следует, что в равновесии опоры С и D будут действовать на стержень с одинаковыми силами:

NC		= ND =	F + Mg .		(3)
				2
				L
		x		I
y	A			H	B x
				dy
	C			IIϕ	D
	y	ϕ
			I		B x
y	A			H
C					D
y		II		l
		Рис. 5. Система координат

Введем систему координат с началом в точке А (крайняя левая точка оси стержня) и осями Aх и Ay, направленными вдоль оси стержня и в поперечном сечении соответственно. Мысленно разделим стержень на достаточно тонкие горизонтальные слои толщиной dy, параллельные оси стержня АВ (рис. 5). При изгибе стержня все слои, лежащие ниже оси, удлиняются, а слои, лежащие выше оси, сжимаются.

		NC	x
					dfупр		a
				I
	z	A	x			x		b/2
				H	A		A
			2
	Mfупр			x	dy		y	b/2
			Mxg	II	y		dy	dS
	y			F*			y
			L
				Рис. 6. Левая часть стержня

52

Основным методом решения задач на изгиб является метод плоских сечений, который сводится к рассмотрению произвольной части стержня в состоянии равновесия. Выделим часть стержня AH плоским сечением I – II, проведенным перпендикулярно AB через произвольную точку H с координатой x (рис. 5 и 6). В состоянии равновесия этой части

∑F =0	.	(5)
∑M =0

Рассматриваемая часть стержня испытывает действие силы реакции опоры NC , силы тяжести части AH стержня MxL g , силы взаимодействия с частью HB стержня – F* и

силы упругости fупр , которая меняется в зависимости от выбора слоя стержня (рис. 6). Тогда условие равновесия (5) запишется в виде

	+	Mx	g	+ F	*	+ fупр	=0
NC		L						(6)
							.
M NC		+ M Mx		+ M F* + M f упр =0
			L	g

В проекции на оси Ay и Az (ось перпендикулярна плоскости чертежа и направлена на нас) имеем (рис. 6)

		Mgx			+ F	*	=0
−NC +		L
							.	(7)
Mgx2		+ F	*	x −M f упр =0
	L
							M f упр . Поскольку
Определим момент	упругих сил							величина сил упругости

меняется при переходе от слоя к слою (т.к. удлинение слоев l различно для каждого слоя (рис. 5)), то результирующий момент сил упругости равен сумме моментов сил каждого слоя, то есть

Мfупр = ∫dM fупр .

Момент сил упругости dM fупр произвольного слоя части стержня AH, расположенного на расстоянии y от оси (рис. 6), равен dM fупр = y dfупр . Длина этого слоя изменяется на величину l = y ϕ , где φ – угловой размер дуги AH при изгибе стержня

(рис. 5). Относительное удлинение слоя равно

l . Поэтому сила, действующая на слой

x

длиной x, высотой dy, согласно (1) и (2) равна

dfупр

=σ dS = E

y ϕ

a dy . Данная сила создает

ϕ

x

вращающий момент относительно оси Аz:

dM

= y df

= E a

ϕ

y2 dy .

fупр

упр

x

Проинтегрировав по переменной величине

dλ

y от

−b 2 до

b 2 ,

получим

суммарный

ϕ

момент сил упругости

b 2

ϕ

E a b3 ϕ

dx

Мf упр = ∫dM f упр

= ∫

2

E a x y

dy

=

x .

Рис. 7. Линия изгиба стержня

12

−b 2

При малых углах (см. рис. 7) справедливо

53