3. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых величин
В приведенных выше примерах нам было достаточно несложных алгебраических преобразований для получения ответа. Иная ситуация возникает, если выражение содержит трансцендентные функции, типа синуса, логарифма и другие. В этом случае нам помогут некоторые пределы, называемые в математике «замечательными» пределами и сравнение бесконечно малых величин между собой.
Первый замечательный предел:,
Второй замечательный предел:, или,- иррациональное число.
Сравнение бесконечно малых величин между собой определяется через предел их отношения. Пусть ибесконечно малые величины при. Правила сравнения запишем в таблицу:
Величины одного порядка малости |
| |
Эквивалентные величины |
. Читается: эквивалентнопри. | |
Величина имеет больший порядок малости по сравнению с величиной |
. Читается: есть- малое по сравнению спри. | |
не существует |
Величины не сравнимы между собой |
|
На основании замечательных пределов можно получить таблицу эквивалентных величин при .
Заметим, что слева в формулах стоят различные функции, а сравниваются все они со степенной функцией, наиболее простой для работы.
Примеры сравнений:
.
Теорема. Пусть при. Тогда справедливы равенства:
,. ●
Примеры на вычисление пределов с использованием таблицы эквивалентных величин:
,.
Если при вычислении пределов с неопределенностью переменная стремится к числу, отличному от нуля, то для возможности использовать таблицу, сначала необходимо сделать замену переменной. Например:
.
Пояснения к решению примера. Подставив предельное значение в заданный пример, получили неопределенность вида , т.е. отношение бесконечно малых величин. Но таблицей воспользоваться нельзя, так как таблица справедлива только для случая, если переменная стремится к нулю. Сделаем замену переменной (замена выделена вертикальными линиями) и преобразуем выражение. Подставив новую переменную в выражение для предела, снова получаем неопределенность, но теперь мы уже могли воспользоваться таблицей эквивалентных величин, что и было сделано.
Вычисление пределов при неопределенности . Можно предложить несколько способов. Рассмотрим пример: вычислить. Непосредственная подстановка предельного значения приводит к неопределенности.
Первый способ – логарифмировать заданное выражение. Обозначив заданную функцию , получаем
,
.
Следовательно, .
Второй способ ─ построение выражения в виде :
.
4. Производная функции
Пусть функция определена в точкеи ее окрестности. Если существует конечный предел
, (3)
то этот предел называется производной функции в точке и обозначаетсяили.
При существовании односторонних пределов илиговорят о существовании односторонних производных.
Функция, имеющая в каждой точке промежутка конечную производную, называется дифференцируемой функцией на этом промежутке.
Вычисляется производная с использованием таблицы производных и согласно правилам дифференцировании.
Правила дифференцирования | ||
const |
0 |
АЛГОРИТМ вычисления производных:
Замечание.Выражения, следует предварительно преобразовать по формулам: ; ;; |
| ||
Производная от первой производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначаетсяили. Аналогично определяются производные более высоких порядков.
Геометрический смысл производной.Пусть функция непрерывна на промежутке в окрестности точки, а график функции имеет в этой точке касательную, не параллельную оси. Тогда
, (4)
где – угол между положительным направлением осии касательной (рис. 1).
Рис. 1
Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид
. (5)
Пример 3. Найти производную функции в точке.
Решение...
Пример 4. Найти производную функции в точке.
Решение. Заданная функция – сложная. Используем формулу дифференцирования сложной функции.
Тогда .