6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Теорема.Непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений. Наибольшее и наименьшее значения функция имеет либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.
Согласно этому утверждению можно использовать следующий алгоритм исследования на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке:
1) проверить непрерывность функции на отрезке;
2) определить точки, подозрительные на экстремум;
3) вычислить значения функции в точках п. 2 и на концах отрезка;
4) выбрать наибольшее и наименьшее значения функции из значений п. 3;
5) записать ответ.
Пример 5.13.Найти наибольшее и наименьшее значения функции, заданной на отрезке.
Решение.
1. Функция непрерывна.
2. Вычислим производную и, приравняв ее к нулю, найдем точки, подозрительные на экстремум:. Других точек, подозрительных на экстремум нет. Точкане принадлежит заданному отрезку, следовательно, остаются две точки внутри области и граничные точки, в которых и вычислим функцию.
3. .
4. Выбираем наибольшее и наименьшее значения: .
Ответ:.
Пример 10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции, заданной на отрезке.
Решение.
1. Функция непрерывна.
2. Вычислим производную и, приравняв ее к нулю, найдем точку, подозрительную на экстремум:. Кроме этой точки есть еще точка, в которой возможен экстремум, так как в этой точке не существует конечная производная.
3. Вычислим значения функции в найденных точках и на концах отрезка:
.
4. Выбираем наибольшее и наименьшее значения.
Ответ:.
Индивидуальное задание
Каждый студент должен построить два графика:
1. ,
2. .
Параметры: - для каждого студента заданы в таблице согласно номеру в журнале .
№ |
a |
b |
m |
p |
№ |
a |
b |
m |
p |
1 |
1 |
3 |
1 |
1 |
16 |
-3 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
2 |
2 |
17 |
3 |
2 |
2 |
1 |
3 |
-1 |
2 |
3 |
3 |
18 |
2 |
4 |
3 |
1 |
4 |
-2 |
1 |
-1 |
1 |
19 |
1 |
-2 |
-1 |
2 |
5 |
3 |
1 |
-2 |
2 |
20 |
1 |
3 |
-2 |
2 |
6 |
-2 |
2 |
-3 |
3 |
21 |
2 |
-3 |
-3 |
2 |
7 |
3 |
-1 |
1 |
2 |
22 |
-1 |
4 |
1 |
3 |
8 |
3 |
2 |
2 |
3 |
23 |
-1 |
-4 |
2 |
3 |
9 |
3 |
-2 |
3 |
1 |
24 |
4 |
-1 |
3 |
3 |
10 |
2 |
-1 |
-1 |
2 |
25 |
-3 |
-2 |
-1 |
2 |
11 |
-1 |
4 |
-2 |
3 |
26 |
1 |
-3 |
-2 |
2 |
12 |
2 |
-3 |
-3 |
1 |
27 |
2 |
1 |
-3 |
2 |
13 |
4 |
1 |
1 |
3 |
28 |
1 |
2 |
-4 |
1 |
14 |
4 |
2 |
2 |
2 |
29 |
2 |
3 |
4 |
1 |
15 |
4 |
3 |
3 |
1 |
30 |
3 |
2 |
4 |
1 |