Правило Лопиталя

Теорема. Пусть функции 1)иопределены в окрестности точкии существуют конечные производные, 2), 3) существуют конечные производныеи, причем, 4) существует предел, Тогда

. ●

Здесь приведена одна из теорем Лопиталя. Аналогичное правило вычисления предела справедливо д с неопределенностью .

Примеры вычисления пределов с помощью правила Лопиталя:

1. ,

2.,

3. .

Во втором примере мы применили правило Лопиталя 4 раза. В третьем примере правило Лопиталя не применимо, так как не существует предела производных. Нет лекарства от всех бед. Предел же легко вычисляется с использованием теорем и равен единице.

Рекомендуем запомнить пределы:

,.

5. Исследование функций и построение графика функции

Первое представление о графике функции получаем из вида , а именно область определения, частные свойства (периодичность, четность, нечетность), нули функции и промежутки, где функция сохраняет знак. Знание пределов и производных позволяет определить асимптоты, экстремумы, выпуклость.

Монотонность, экстремумы.Характер (возрастание или убывание) функции на промежутке связан с первой производной. Если для всех точек промежутка, то функциявозрастаетна этом промежутке, если, то функцияубывает. Функции, возрастающие или убывающие на промежутке,называются монотонными.

Пусть задана функция , непрерывная в точкеи ее окрестности. Если для всех значенийвыполнено неравенство, то функция имеет в точкестрогий максимум, а точканазываетсяточкой максимума. Значение максимума вычисляется как значение функции. Аналогично определяется точкаминимума. Точки максимума и минимума называются точкамиэкстремума.

Необходимым условием существования экстремума дифференцируемой функции является равенство нулю ее производной. Из уравнения находим значения, в которых возможен экстремум (точки,подозрительные на экстремум). Достаточное условие существования экстремума – изменение знака производной при переходе через точку, в которой.

Выпуклость, вогнутость.Для исследования выпуклости (вогнутости) графика функции используется вторая производная.

График функции выпуклавверх, если, вогнутавверх, если.

Асимптоты.Асимптотой называется прямая линия такая, что, если двигаться по графику функции в указанном направленииили, расстояние до соответствующей прямой (асимптоты) стремится к нулю. Различают асимптоты: вертикальные и невертикальные.

Вертикальной асимптотойназывается прямая линиятакая, что выполняется хотя бы одно из равенств

(4)

Невертикальная асимптотаимеет уравнение, где параметрыиопределяются при помощи пределов:

(5)

При этом предела в формуле (5) должны быть конечны. В случае имеем дело с горизонтальной асимптотой.

Пример 5. Исследовать функциюна наличие экстремумов и определить промежутки возрастания, убывания.

Решение.Данная функция определена и дифференцируема на всей числовой оси.

.

Определяя знаки выражения на интервалах, делаем вывод о том, что функция возрастает на промежутках, убывает на промежутке, имеет максимум в точкеи минимум в точке.

Пример 6.Исследовать функциюна наличие экстремумов и определить промежутки возрастания, убывания.

Решение.Область определения функции.

В точке производная не существует. Отметим на числовой оси промежутки знакопостоянства для производной.

Вывод: функция возрастает на промежутках , убывает на промежутке, имеет максимум в точкеи минимум в точке

Анализ функции будем проводить поэтапно:

1. по самой функции,

2. по первой производной,

3. по второй производной.

	область определения, частные свойства: четность, нечетность, периодичность, точка пересечения с осью , поведение на границе области определения и нахождение асимптот, определение нулей функции и промежутков знакопостоянства.
	вычисление производной и определения области ее существования, определение стационарных точек и промежутков монотонности функции,
	вычисление второй производной и определения области ее существования, определение нулей второй производной и промежутков выпуклости, вогнутости.

На основании всех проделанных вычислений составим таблицу. В первой строке запишем все значения , полученные в пунктах 1,5,7,9 и интервалы, на которые эти точки делят числовую ось, во второй строке - информацию для, в третьей строке – информация для. Четвертая строка – заключительная. В нее запишем информацию для функции. Для наглядности используем следующие значки:

Функция возрастающая и выпуклая вверх ─ ,

Функция убывающая и выпуклая вверх ─.

Функция возрастающая и вогнутая ─.

Функция убывающая и вогнутая ─.

Рассмотрим на примерах построение графиков нескольких функций.

Пример 7.Построить график функции.

Решение.

Пройдем по пунктам предложенный выше алгоритм. При этом в пунктах 5,7,9 определим только нули функции или ее производных, а определение промежутков знакопостоянства оставим до таблицы.

1. Функция определена для всех , то есть.

2. Функция не обладает свойствами периодичности, четности, нечетности.

3. .

4. . Следовательно, прямая- вертикальная асимптота для графика функции.

Для определения существования наклонных асимптот вычислим значения и.

.

Следовательно, прямая - наклонная асимптота, причем график функции стремится к этой линии и при, и при.

5. .

6-7. .

8-9. .

Составим таблицу, разбив числовую ось точками ,,.

		-3		-1		0
							+
	+	0			+	0	+
		Max				0

Фактически в последней строке виден график функции. Осталось его привязать к системе координат и изобразить асимптоты.

Рис. 2

Пример 8.Построить график функции.

Решение.

1. Функция определена для всех, то есть .

2. Функция не обладает свойствами периодичности, четности, нечетности.

3. .

4. Вертикальных асимптот нет.

Для определения существования наклонных асимптот вычислим значения и.

.

Следовательно, прямая - наклонная (горизонтальная) асимптота, причем график функции стремится к этой линии и при, и при.

5. .

6-7. . Ни в одной из точек первая производная не обращается в нуль. Однако при значенияхпроизводная не существует, и эти точки могут оказаться экстремумами.

8-9. . Естественно вторая производная не существует при значенияхи равна нулю, если.

Составим таблицу

		-1				0
					+		+
			+				+
		Min 0		1		Max 2

График имеет вид, приведенный на рис. 3.

Рис. 3

Пример 9. Построить график функции.

Решение.

1. Функция определена для всех , то есть.

2. Функция не обладает свойствами периодичности, но является нечетной функцией. Далее можем рассматривать функцию только для положительных значений аргумента.

3. .

4. . Следовательно, прямая- вертикальная асимптота для графика функции.

Для определения существования наклонных асимптот вычислим значения и.

.

Следовательно, прямая - наклонная асимптота, причем график функции стремится к этой линии и при, и при.

5. .

6-7. . Неотрицательные корни производной:.

8-9. .

Составим таблицу, разбив неотрицательную часть числовой оси точками ,.

	0				3
		+
		+		+	0
	0				Max -9

Построим функцию для положительных значений аргумента и, воспользовавшись свойством нечетности, продолжим график влево. Окончательный вариант графика представлен на рис. 45.

Рис. 4