билеты 1-40

Введем новую функцию s1(t) = s(t) exp(-ct), где с – некоторое положительное вещественное число. Практически для любой функции s(t) можно найти такое число с, что новая функция s1(t) будет удовлетворять условию абсолютной интегрируемости. Так как с – положительное число, то для новой функции должно выполняться условие

ìs(t)e−ct , t ³ 0,			(1.4.1)
s1(t) = í	0,	t < 0.
î
Применяя преобразование Фурье к новой функции s1(t), получим
∞
S1 ( jω) = òs1 (t)e− jωt dt		или	(1.4.2)
0
∞
S1 ( jω) = òs(t) ×e−ct	×e− jωt dt.		(1.4.3)
0
Обозначив с + jω = p, получим
∞
S1 ( jω) = òs(t) ×e− pt dt = S( p).			(1.4.4)
0
			∞
Найдем s1(t) через S(p)			s1 (t) = (1/ 2π) òS1 ( jω) ×e jωt dω.
			−∞
			∞
А так как S1(jω) = S(p), то			s1 (t) = (1/ 2π) òS( p) ×e jωt dω.

−∞

∞

s(t)e−ct = (1/ 2π) òS( p) ×e jωt dω.

−∞

Умножим правую и левую часть последнего выражения на exp(ct) и получим

∞
s(t) = (1/ 2π) òS( p) ×e(c+ jω)t dω	или
−∞
c+ j∞
s(t) =(1/ 2 jπ) òS ( p) ×e pt dp		(1.4.5)
c− j∞
Пара преобразований
∞
S( p) = òs(t) ×e−pt dt		и
0		(1.4.6)
	c+ j∞
s(t) =(1/ 2 jπ)	òS( p) ×e pt dp

c− j∞

носят название прямого и обратного преобразования Лапласа соответственно. Функция S(p) называется изображением сигнала s(t), а сигнал s(t) является оригиналом функции S(p). S(p) также, как и s(t) и S1(jω), полностью описывает сигнал.

Для краткости связь между оригиналом и изображением записывается в виде

s(t) ? =? S(p).	(1.4.7)
Если известна спектральная плотность сигнала S(jω) сигнала s(t),	то S(p) можно
получить из S(jω) путем формальной замены jω на p.
1.4.1. Операторное представление некоторых сигналов

	ì¥,	t = 0		∞
1.	δ (t) = í	t ¹ 0	,	òδ (t) dt =1,
	î0,			−∞

∞

S( p) = òδ(t) ×e− pt dt =1.

0

		ì¥,	t = t0		∞
2.	δ (t - t0 ) = í		t ¹ t0	,	òδ (t - t0 )dt = 1,
		î0,			−∞
	∞
S( p) = òδ (t -t0 ) ×e− pt dt = e− pt0 .
	0
3.	ì1,	t ³ 0
	1(t) = í	t < 0,
	î0,

	∞
S( p) = ò1(t) ×e−pt dt = e− pt
	0	p
4.	ì1,	t ³ t0
	1(t - t0 ) = í	t < t0 ,
	î0,
	∞	− pt

S( p) = ò1(t) ×e−pt dt = e

t0 p

∞

0 = 1p .

∞

= 1 e−pt0 .

t0 p

5.	ìat ,	t ³ 0
	s(t) = í	t < 0,
	î0,

∞

S( p) = òat ×e− pt dt.

t0

Взяв интеграл по частям, получим S( p) = pa2 .

	6.	ìe−at ,		t ³ 0
		s(t) = í	0,	t < 0,
		î
		∞		∞	1
	S( p) = òe−at ×e− pt dt = òe−at ×e−(a+ p)t dt =					.
					p + a
		0		0

Билет 7.Св-ва преобразования лапласа.

1. Свойство линейности

Если s(t) = a × s1 (t) +b ×s2 (t) +c ×s3 (t) ), где а, в, с – вещественные числа.

Тогда

S( p) = a × S1 ( p) +b × S2 ( p) + c × S3 ( p) , где	(1.4.8)
где S1(з), S2(з), S3(з) – тзображения сигналов s1(t), s2(t), s3(t)	соответственно, а S(з)
изображение сигнала s(t).
2. Свойство задержки.

Дан сигнал s(t), изображение которого S(з). Найти изображение сигнала s1(t) = s(t - to). Сигнал s1(t) отличается от сигнала s(t) сдвигом на интервал t0 вправо по оси времени, т.е. задержкой на время to.

Изображение сигнала s(t) будет иметь вид:

S( p) = ∞òs(t)e− pt ×dt .

0

(1.4.9)

а изображение сигнала s1(t)=s(t – to) вид:

∞
S1( p) = ò s(t - t0 )e	− pt	×dt	(1.4.10)
		.

− ∞

В последнем выражении сделаем замену переменных t – to = τ.

Тогда t = τ + to, а dt = dτ и интеграл (1.3.10)	примет вид:
S1( p) = ∞ò s(τ )e− pτ e− pt0 ×dτ .	(1.4.11)
0
Так как exp(ptо) не зависит от τ, то этот сомножитель можно вынести за пределы
интеграла.
∞
Тогда получим S1 ( p) =e−pt0 òs(τ)e−pτ ×dτ	(1.4.12)
0

Впоследнем выражении интеграл в скобках полностью совпадает с выражением (1.4.9),

т.е.

S1( p) = S( p)e− pt0 .

(1.4.13)

Таким образом сдвиг во временной области на время t0 вправо по оси времени приводит к умножению на exp(-ptо) в операторной области.

3. Свойство дифференцирования.

Дан сигнал s(t), изображение которого S(jω). Найти изображение сигнала s1(t) = ds(t)/dt. Пусть изображения сигналов s(t) и s1(t) будут S(p) и S1(p) соответственно.

				c+ j∞
	Тогда	s(t) =(1/ 2 jπ) òS( p) ×e pt dp, a			(1.4.14)
				c− j∞
				c− j∞
				s1 (t) =(1/ 2 jπ) òS1( p) ×e pt dp.	(1.4.15)
				c− j∞
	Найдем			c+ j∞
			d
	s1	(t) =		[(1/ 2 jπ) òS( p) ×e pt dp].	(4.4.16)
			dt
				c− j∞

Меняя порядок дифференцирования и интегрирования и, продифференцировав по t, получим

c+ j∞
s1 (t) = (1/ 2 jπ) òS ( p) × p ×e pt dp].	(1.4.17)
c− j∞
Сравнивая (1.4.15) и (1.4.17), получаем
S1 ( p) = S( p) × p,	(1.4.18)

т .е. дифференцирование во временной области приводит к умножению на p в операторной области.

4. Свойство интегрирования.

Дан сигнал s(t), изображение которого S(jω). Найти изображение сигнала s1(t) = ∫s(t)dt. Пусть изображения сигналов s(t) и s1(t) будут S(р) и S(р) соответственно. Тогда

	c+ j∞
	s(t) =(1/ 2 jπ) òS( p) ×e pt dp,	(1.4.19)
	c− j∞
	c− j∞
	s1 (t) =(1/ 2 jπ) òS1( p) ×e pt dp.	(1.4.20)
	c− j∞
	c+ j∞
Найдем	s1 (t) = ò(1/ 2 jπ) òS ( p)e jp dp ×dt.	(1.4.21)
	c− j∞
Изменяя порядок интегрирования и, интегрируя по t, получим
	c+ j∞
	s1 (t) =(1/ 2 jπ) ò[S( p) / p]×e pt dp.	(1.4.22)
	c− j∞
Сравнивая (1.4.22) и (1.3.20), получаем
	S1 ( p) = S( p) / p,	(1.4.23)

т .е. интегрирование во временной области приводит к делению на jω в операторной области.

7. Спектральная плотность сигнала при изменении масштаба времени

Пусть для сигнала s(t), изображение которого S(р). Введем новое время τ = kt, где k – некоторое вещественное число.

Тогда изображение S1(р) сигнала s(kt) будет иметь вид:

	S1( р) = ∞ò s(kt)e− pt ×dt						(1.4.24)
				0
или					∞
		1	∞		−	τ
S ( p) =		k	ò0			/ k ×dτ . и окончательно
			s(τ )e p
1
				1	-∞
	S1( p) =				S( p / k).		(1.4.25)
				k

8. Спектральная плотность свертки двух сигналов

Пусть даны два сигнала s1(t) и s2(t), спектральные плотности которых равны S1(р) и S2(р) соответственно. Тогда свертка этих сигналов будет иметь вид

s(t) =		∞ò s1(τ )s2 (t - τ ) ×dτ .
		− ∞
(1.4.26)
Найдем изображение сигнала в виде:
¥						¥	¥
S(p)= ò	s(t)e		-	pt	×dt=	ò	ò	s1(τ )s2(t- τ )×dτ ×e	- pt	dt.	(1.4.27)
-	¥					- ¥	-	¥

Меняя порядок интегрирования, получим

∞	∞
τ		τ	)×e	− pt	τ	(1.4.28)
S( p) = ò s1( ) ò s2 (t -					dt × d .
− ∞	− ∞
С учетом свойства задержки
∞ò s2 (t - τ )×e− ptdt = S2 ( p)e− pτ .						(1.4.29)
− ∞
	∞					∞
Тогда S( p) = S2 ( p) òs1(τ)e− pτ dτ, а						òs1 (τ)e−pτ dτ = S1 ( p).
	−∞					−∞

И окончательно S( p) = S1( p) × S2 ( p),

(1.4.30)

т.е. изображение свертки двух сигналов равна произведению изображений этих сигналов.

Билет 8. Модулированные сигналы с угловой модуляцией. Связь мнгновенной частоты и мнгновенной фазы высокочастотного

колебания.

Сигналы с угловой модуляцией делятся на фазомодулированные (ФМ) и частотномодулированные (ЧМ) сигналы.

ФМ – сигналом называется высокочастотное колебание, мнгновенная фаза

которого изменяется по закону передаваемого сообщения.

ЧМ – сигналом называется высокочастотное колебание, мнгновенная частота которого изменяется по закону передаваемого сообщения.

В общем виде сигнал с угловой модуляцией записывается как

ò	0	(1.5.10)
s(t) = ACos[ ω(t)dt +Θ ),
Для простоты θ0 принимается равным нулю.
Связь мнгновенной частоты и	мнгновенной фазы высокочастотного сигнала
Рассмотрим выскочастотный сигнал вида		s(t) = ACosωt,

где А – Const, ω – мнгновенная частота, θ = ωt - мнгновенная фаза.

Выделим два момента времени t1 и t2. Этим моментам времени соотвтствуют мнгновенные фазы θ1 = ωt1 и θ2 = ωt2.

Найдем разность мнгновенных фаз θ2 - θ1 = ∆θ = ω(t2 – t1) = ω∆t. Из полученного уравнения мнгновнная частота ω(t) = ∆θ/∆t.

При ∆t→dt получаем	-
ω(t) = dΘ(t)	и
dt
(1.5.11)	Θ(t) =òω(t)dt.

Билет 9. Теорема разложения (Хэвисайда)

Эта теорема позволяет сравнительно просто получить обратное преобразование Лапласа.

Пусть

S ( p) = M ( p)	,	где	М(р) и N(p) - полиномы степени М и N
N ( p)

соответственно.

Тогда, если M < N и

1. N(p) не содержит нулевых корней

N	M ( p )		e	p t	,
то s(t) = å	′	k		k
k =1	N ( pk )
(1.4.31)
где pk – корни полинома N(p), N-число корней полинома N(p).

2. N ( p) = pN1( p), N1(p) – полином степени N1 и не содержит нулевых корней

и М < N1.

Тогда
	M (0)		N1	M ( p )	p t
s(t) =			+ å	k	e k	,
	N1	(0)		′
			k =1	pk N1( pk )

(1.4.32)

где pk – корни полинома N1(p), N1-число корней полинома N1(p). *) штрих при N и N1 обозначает производную по р.

Если М > N, то необходимо поделить М(р) на N(p), выделить целую и

дробную часть и, используя свойство линейности и применяя для дробной части теорему разложения, найти оригинал.

Если N(р) содержит к нулевых корней, причем М<N1, то S(p)

представляется в виде суммы простых дробей и при использовании свойства линейности находится оригинал. Рассмотрим на примере.

S( p) =	M ( p)	=	A3	+	A2	+	A1	+	M ( p) .
	p3N ( p)		p3		p2
							p N ( p)
	1								1

Билет 10.Модулированные сигналы. Классификация.

Модулированным сигналом называется высокочастотное колебание, один из параметров которого изменяется по закону передаваемого сообщения.

Модулированные сигналы подразделяются на непрерывные (аналоговые) и сигналы с импульсной модуляцией.

Непрерывные сигналы подразделяются на амплитудномодулированные (амплитда высокочастотного колебания изменяется по закону передаваемого сообщения) и сигналы с

угловой модуляцией.

Последние подразделяются на:

∙Фазомодулированные сигналы (мнгновенная фаза высокочастотного колебания изменяется по закону передаваемого сообщения);

∙частотномодулированные сигналы (мнгновенная частота высокочастотного колебания изменяется по закону передаваемого сообщения).

Сигналы с импульсной модуляцией подразделяются на сигналы с:

∙амплитудно - импульсной модуляцией (амплитуда импульсов изменяется по закону передаваемого сообщения) - АИМ - сигналы;

∙широтно - импульсной модуляцией (длительность импульсов изменяется по закону передаваемого сообщения) - ШИМ - сигналы;

∙частотно - импульсной модуляцией (частота импульсов изменяется по закону передаваемого сообщения) - ЧИМ - сигналы;

∙фазо - импульсной модуляцией (начальная фаза импульсов изменяется по закону передаваемого сообщения) - ФИМ - сигналы;

∙время - импульсной модуляцией (интервал между импульсами изменяется по

закону передаваемого сообщения) - ВИМ – сигналы и др. Импульсные сигналы подразделяются на простые и сложные.

Для простых сигналов произведение ширины спектра ∆f = ∆ω/2π на

длительность сигнала ∆t близко к единице, т.е.	(1.5.1)
∆f × ∆t ≈ 1.
Для сложных сигналов	(1.5.2)
∆f × ∆t >> 1.

К наиболее часто используемым сложным сигналам относятся сигналы с внутриимпульсной частотной линейной (ЛЧМ) и нелинейной (НЧМ) модуляцией и фазоманипулированные сигналы, состоящие из конечного числа отрезков гармонических колебаний одинаковой длительности, начальная фаза которых может принимать одно из конечного числа дискретных значений (например, 0 или π).

Билет 11. Амплитудно - модулированные сигналы (АМ — сигналы)

Амплитудно-модулированным сигналом называется высокочастотное колебание, амплитуда которого изменяется по закону передаваемого сообщения. Этот сигнал описывается выражением

s(t) = A(t)Cos(ω t +ϕ ),		(1.5.3)
0	0
где
∙ А(t) – функция	изменения	амплитуды высокочастотного колебания,

пропорциональная закону передаваемого сообщения;

∙ωo – частота высокочастотного колебания;

∙φo – начальная фаза высокочастотного колебания.

Рассмотрим АМ – сигнал с тональной модуляцией. При этом для простоты будем считать, что φo = 0.

Тогда A(t) = E(1+ MCosΩt) = E + ECosΩt = E + EMCosΩt, где (1.5.4)

∙ ∆E – амплитуда модулирующего колебания;
∙	Ω - частота модулирующего колебания;
∙	М – коэффициент модуляции, равный ∆E/Е.
Полностью АМ – сигнал с тональной модуляцией запишется в виде:
	s(t) = E(1 + MCosΩt)Cosωt.
Раскрыв скобки, получим
	s(t) = ECosωt + MECosΩtCosωt или
s(t) = ECosωt + (ME / 2)Cos(ω0 − Ω)t + (ME / 2)Cos(ω0 + Ω)t.		(1.5.5)

На рис.1.8 изображен амплитдный спектр АМ – сигнала с тональной модуляцией.

An			E
	EM/2					EM/2
							ω
			ω		0	ω0
	ω0-Ω						+Ω
Рис. 1.8. Амплитудный спектр АМ – сигнала с тональной модуляцией.

Частота ωo - Ω называется нижней боковой частотой сигнала, а частота ωo + Ω -верхней боковой частотой сигнала. Начальные фазы всех составляющих АМ сигнала с тональной мдуляцией равны нулю.

Рассмотрим АМ – сигнал, если функция изменения амплитуды – периодическая, т.е.

∞
A(t) = E(1 + åMnCos(nΩt +ϕn ).			(1.5.6)
n=1
Для упрощения примем ϕn = 0.
Тогда
∞
s(t) = E(1 + åM nCosnΩt)Cosω0t.			(1.5.7)
n=1
Раскрывая скобки, получим	∞
s(t) = ECosω0t + åM nCosnΩtCosω0t.		или	(1.5.8)
	n=1
∞	∞
s(t) = ECosω0t + å(Mn Е / 2)Cos(ω0 − nΩ)t + å(Mn Е / 2)Cos(ω0 + nΩ)t.
n=1	n=1

Амплитудный спектр рассмотренного сигнала представлен на рис.1.9.

An	E
EMn/2	EMn/2
	ω

ω0-nΩ	ω0 ω0+nΩ
Рис. 1.9. Амплитудный спектр АМ – сигнала с периодической модулирующей
	функцией.
Частоты выше ωо называются верхними боковыми частотами, а частоты ниже ωо –

нижними боковыми частотами. Начальные фазы гармонических составляющих с частотами ωo - nΩ противоположны по знаку начальным фазам фазы гармонических составляющих с частотами ωo + nΩ и по модулю равны φn.

Гармоническая составляющая с частотой ωо не несет никакой информации и поэтому ее можно не передавать, а при приеме восстановить.

Такой сигнал называется АМ – сигналом с балансной модуляцией и описывается функцией

∞	∞
s(t) = 0,5åM n ЕCos(ω0 − nΩ)t + 0,5åM n ЕCos(ω0 + nΩ)t.		(1.5.9)
n=1	n=1
Спектр такого сигнала приведен на рис.1.10.
An
EMn/2	EMn/2
	ω
ω0-nΩ	ω0 ω0+nΩ
Рис. 1.10. Амплитудный спектр АМ – сигнала с балансной модуляцией.

Как видно из последнего уравнения гармонические составляющие верхних боковых частот отличаются от гармонических составляющих нижних боковых частот только знаком перед nΩ и φn. Поэтому гармонические составляющие одной из боковых частот не несут дополнительной информации по сравнению с другой и могут быть исключены из передаваемого сообщения.

Такой сигнал называется АМ – сигналом с однополосной модуляцией и описывается функцией

∞		∞
s(t) = 0,5å(M n Е / 2)Cos(ω0 − nΩ)t или s(t) = 0,5åM n ЕCos(ω0 + nΩ)t .				(1.5.10)
n=1		n=1
Амплитудные спектры АМ – сигнала с однополосной модуляцией приведены на рис.1.11,
а и б.
An		An
EMn/2			EMn/2
	ω		ω
ω0-nΩ	ω0	ω0	ω0+nΩ
а)			б)
Рис. 1.11. Амплитудный спектр АМ – сигнала с однополосной модуляцией.

Билет 12.Случайные сигналы и их классификация.