билеты 1-40

Билет 20.

Временные характеристики линейных электронных цепей.

К временным характеристикам линейных цепей относятся импульсная и переходная характеристики.

Импульсной характеристикой линейной цепи называется отклик цепи на воздействие в виде дельта – импульса δ(t). Обозначается импульсная характеристика g(t).

				g(t)
δ(t)

Переходной характеристикой линейной цепи называется отклик цепи на воздействие в виде единичного скачка 1(t). Обозначается переходная характеристика h(t).

				h(t)
1(t)

Билет 21. Связь временных и частотных характеристик линейных электронных цепей.

Рассмотрим импульсную характеристику линейного четырехполюсника g(t).

T(jω)

g(t)

По определению

T ( jω ) =

S2 ( jω )

δ(t)

S1( jω)

Спектральная плотность δ(t) равна 1. Спектральной плотности g(t)

пусть будет соответствовать

некоторая функция G(jω), подлежащая определению.

Поставляя спектральные плотности

δ(t) и g(t)

в

выражение для комплексной частотной

характеристики, получаем

T ( jω) = G( jω) = G( jω) ,

(2.1.46)

1

т.е. спектральная плотность импульсной характеристики совпадает с комплексной частотной

характеристикой линейной цепи.

Таким образом g(t) и

Т(jω)

связаны парой преобразования Фурье

ì

∞

ï T ( jω) = ò g(t)e− jωt dt

ï

−∞

(2.1.47)

í

1

∞

ω

jωt

ω

ï

òT ( j

ïg(t) =

)e

d .

π

î

2

−∞

Рассмотрим переходную характеристику линейного четырехполюсника

Спектральная плотность 1(t) равна 1/p.

1(t)

T(jω)

h(t)

Спектральной

плотности

h(t)

пусть

будет

соответствовать

некоторая функция H(jω),

подлежащая определению.

Поставляя спектральные плотности

1(t)

и h(t)

в

выражение для комплексной частотной

характеристики, получаем

T ( jω) = H ( jω) jω, или

(2.1.48)

T ( jω) = H ( jω) .

(2.1.49)

jω

т.е. спектральная плотность переходной характеристики совпадает с комплексной частотной

характеристикой линейной цепи, деленной на jω.

Таким образом h(t) и Т(jω)

связаны парой преобразования Фурье

ì

T ( jω)

∞

= òh(t)e

− jωt

dt

ï

j

ω

ï

−∞

í

1

∞

T

( jω)

jωt ω

ï

ò

ïh(t) =

e

d .

π

j

ω

î

2

−∞

Билет 22. Связь временных и операторных характеристик линейных электронных цепей.

Рассмотрим импульсную характеристику линейного четырехполюсника g(t).

				По определению
δ(t)	T(p)		g(t)	T ( p) =	S2	( p)
					S1	( p)

Изображение δ(t) равна 1. Изображение g(t) пусть будет соответствовать некоторая функция G(p), подлежащая определению.

Поставляя изображения δ(t) и g(t) в выражение для комплексной частотной характеристики, получаем

			T ( p) = G( p) = G( p) ,					(2.1.51)
					1
т.е. изображение импульсной характеристики совпадает с передаточной характеристикой
линейной цепи в операторном виде.
Таким образом g(t) и Т(p)					связаны парой преобразования Лапласа
ì		∞
ï T ( p) = ò g(t)e− pt dt
ï	−∞
í	1	c+ jj∞
ï		òT ( p)e		pt
ïg(t) =					dp.
	π
î	2 j	c− j∞
(2.1.52)
						T(p)		h(t)
		1(t)

Изображение 1(t) равно 1/p. Изображению h(t) пусть будет соответствовать некоторая функция H(p), подлежащая определению.

Поставляя изображения 1(t) и h(t) в выражение для передаточной характеристики в

операторном виде, получаем						T ( p) = H ( p) × p , или			(2.1.53)
						T ( p) = H ( p) .
							p
						(2.1.54)
т.е. изображение					переходной характеристики совпадает с передаточной				характеристикой
линейной цепи в операторном виде, деленной на p.
Таким образом h(t) и Т(p) связаны парой преобразования Лапласа
ì	T ( p) =			c+ j∞
ï				òh(t)e− ptdt
ï	p			−∞
í	1			∞	T ( p)
ï				ò			pt
ïh(t) =						e		dp.
		π
î		2 j c− j∞			p

Билет 23. Анализ линейной электронной цепи методом дифференциальных уравнений.

Рассмотрим линейный четырехполюсник вида

L R

u1(t)

I(t)

C u2(t) = ?

По второму закону Кирхгофа

u1 (t) = uR (t) +uL (t) +uC (t),

uR (t) = i(t) × R, uC (t) = u2 (t)

uL (t) = L

di(t)

,uC (t) =

1

ò

i(t)dt.

C

dt

Составим дифференциальное уравнение

u1 (t) = L di(t)

+ Ri(t) +

1

i(t)dt .

C ò

Так как

dt

du2 (t)

i(t) = C

,то

dt

u1 (t) = LC

d 2u2 (t)

+ RC

du2

(t)

+ u2

(t) или

dt

2

dt

u1 (t) =

d 2u2 (t)

+

R du2 (t)

+

1

u2 (t)

dt2

L

dt

LC

Получили дифференциальное уравнение, связывающее отклик u2 (t) и воздействие u1 (t) . Решая дифференциальное уравнение при заданном u1 (t) , находим u2 (t) .

Алгоритм анализа

1). По заданной схеме составляем дифференциальное уравнение цепи, связывающее входной и выходной сигналы;

2). Решение дифференциального уравнения и нахождение выходного сигнала.

Билет 24. Спектральный метод анализа линейных цепей

Спектральный метод анализа состоит в нахождении выходного сигнала при использовании комплексной частотной характеристики.

u (t)	T(jω)	u2(t)=?
1

Спектральный метод разбивается на два случая: в первом случае входной сигнал периодический, во втором случае входной сигнал непериодический.

Спектральный метод анализа при периодическом входном воздействии.

В этом случае представляем входной сигнал в виде совокупности гармонических колебаний с амплитудами Аn и начальными фазами φn в виде

									a0	∞
							u1	(t) =		+ åAnCos(nΩt + ϕn ) .	(2.1.57)
								2		n=0
							Так как
										T ( jnΩ) = T (nΩ)e jϕn (ω ) , то
			a0вых			=	a0	T (0) , Aпвых = AnT (nΩ) , ϕпвых =ϕn +ϕ(nΩ) и
		2
						2		∞
				a0
	u2	(t) =				T (0) + åAnT (nΩ)Cos[nΩt +ϕn +ϕ(nΩ)].					(2.1.58)
		2						n=0

Алгоритм анализа

1). Нахождение Т(jω), если линейная цепь задана электрической схемой. 2). Разложение входного сигнала в тригонометрический ряд Фурье.

3). Нахождение постоянной и амплитуд и фаз гармонических составляющих на выходе цепи. 4). Восстановление выходного сигнала по полученным амплитудам и фазам.

Спектральный метод анализа при непериодическом входном воздействии.

Задан линейный четырехполюсник

u (t)	T(jω)	u2(t)=?
1

Так как спектральные плотности входного и выходного сигналов будут соответственно для u1(t) S1( jω) , для u2 (t) S2 ( jω) , то с учетом определения комплексной частотной

характеристики

					T ( jω) =	S2 ( jω)
						S1 ( jω)
(2.1.59)
получим S2 ( jω) = S1 ( jω)T ( jω) .								(2.1.60)
И используя обратное преобразование Фурье, получим выходной сигнал
u	2	(t) =	1	∞ S ( jω)T ( jω)e jωt dω .				(2.1.61)
			2π	−∞ò	1

Алгоритм анализа

1). Определение T(jω), если цепь задана электрической схемой.

2). Расчет спектральной плотности входного сигнала S1(jω) с помощью прямого преобразования Фурье от u1(t).

3). Расчет спектральной плотности выходного сигнала S2(jω) = S1(jω) T(jω).

4). Нахождение выходного сигнала u2(t) c помощью обратного преобразования Фурье от

S2(jω).

5).

Билет 25. Операторный метод анализа линейных цепей.Примеры

Задан линейный четырехполюсник

			T(p)	u2(t)=?
u (t)
1
Так как изображения		входного и выходного сигналов будут соответственно для

u1(t) S1( p) , для u2 (t) S2 ( p) , то с учетом определения передаточной характеристики в операторном виде

			T ( p) =	S2 ( p)
				S ( p)
				1
	(2.1.62)
	получим S2 ( p) = S1( p)T ( p) .					(2.1.63)
	И используя обратное преобразование Фурье, находим выходной сигнал
		1	c + j∞
	u2 (t) =		òS1 ( p)T ( p)e pt dp .			(2.1.64)
		π
		2 j	c − j∞

Алгоритм анализа

1). Определение T(p), если цепь задана электрической схемой.

2). Расчет изображения входного сигнала S1(p) с помощью прямого преобразования Лапласа от u1(t).

3). Расчет спектральной плотности выходного сигнала S2(p) = S1(p) T(p).

4). Нахождение выходного сигнала u2(t) c помощью обратного преобразования Лапласа от

S2(p).

Пример I

Дан четырехполюсник Рассмотрим линейный четырехполюсник вида

Найти операторным методом импульсную характеристику цепи.

	C
u1(t)	R u2(t) = ?

T ( p) = pRC

1 + pRC

,S1 ( p) =1.

pRC

= pRC +1 −1

1

1

1

S2

( p) =

=1 −

δ (t) −

e−

t , т.е.

RC

1

+ pRC

1 + pRC

RC

1 + pRC

1

−

1

t

g(t) = δ (t) −

e

RC

.

RC

График импульсной характеристики приведен на рис.2.6. g(t)

-

1

t

R ×C

Рис.2.6.

Пример 2

Дан четырехполюсник u1(t) = аt

C

u1(t)

R

u2(t) = ?

T ( p) =

pRC

S ( p) =

a

1

+ pRC

1

p2

pRCa

RCa

RCa

RCa

1

1

S

( p) =

=

+

e−

t

= aRC(1− e−

t )

RC

RC

, т.е.

p2 (1+ pRC)

p(1+ pRC)

1

1

2

−

RC

1

RC

u2 (t) = aRC(1− e−

t ) .

RC

График выходного сигнала приведен на рис.2.7.

aRC

u2(t)

t

Рис.2.7.

В обоих примерах обратное преобразование Лапласа найдено с помощью

теоремы разложения (Хэвисайда).

Билет 26. Временной метод анализа линейных цепей.

На основе переходной характеристики.

u1(t)

Задан линейный четырехполюсник, входной сигнал

и импульсная характеристика

g(t).

u1(t)

h(t)

u2(t)=?

Предположим, что входной сигнал задан в

виде функции,

изображенной

на

рис.2.8.

Из рисунка

ясно, что функцию u1(t) можно

u (t)

представить

в

виде

совокупности

1

начального

скачка

u1(0)1(t) и множества

∆u1(t)

малых

скачков

∆u1(τ)1(t

-

τ),

последовательно смещаемых во времени на

t

интервал ∆τ, т.е.

τ

∆τ

Рис.2.1.8

		∞
u1 (t) ≈ u1 (0)1(t) + å u1 (τ )1(t −τ ) (2.1.65)
или		n=1
				∞	u (τ )
		u1 (t) ≈ u1 (0)1(t) + å 1τ				τ1(t −τ ) .	(2.1.66)
				n=1
Из определения переходной характеристики и принципа суперпозиции следует, что
				∞	u (τ )
		u2 (t) ≈ u1(0)h(t) + å				τh(t −τ ) .	(2.1.67)
					1τ
				n=1
Если ∆τ→∞, то получим точное значение функции u2(t) или
u		(t) = lim u (0)h(t) +	∞	u1(τ )	τh(t −τ )
	2		å
		τ →∞ 1		τ
Взяв предел, получим			n=1
			t	′	−τ)dτ .
							(2.1.68)
		u2 (t) = u1 (0)h(t) + òu (τ)h(t
			0
		Интегрируя второе слагаемое по частям, получим
			t	′	−τ)dτ .
							(2.1.69)
		u2 (t) = u1(t)h(0) + òu(τ)h (t
			0
Сделав замену переменных ξ = t – τ, получим
		t
		′		′
u2 (t) = u1(0)h(t) + òu (t −ξ)h (ξ)dξ или

0

t
′		(2.1.70)
u2 (t) = u1 (0)h(t) + òu (t −τ)h(τ)dτ .
0
Интегрируя по частям второе слагаемое, получим
t
′	.	(2.1.71)
u2 (t) = u1(t)h(0) + òu(t −τ)h (τ)dτ
0
Выражения (2.1.68), (2.1.69), (2.1.70)	и (2.1.71) получили	названия интегралов

Дюамеля.

На основе импульсной характеристики

Задан линейный четырехполюсник, входной сигнал u1(t) и импульсная характеристика

g(t).

u1(t)

u1(t)

g(t)

u2(t)=

u1(n∆t)

?

t

n∆t

∆τ

Рис.2.1.9

Предположим, что входной сигнал задан в виде функции,

изображенной

на

рис.2.9. Из рисунка ясно, что функцию u1(t) можно представить в виде последовательности

прямоугольных импульсов un(t) (n=0,1,2,…) малой длительности ∆τ. Аналитически любой

такой импульс можно записать

(t) ≈u (τ

)[1(t −τ

+ ) −1(t −τ

)]

u

,

(2.1.72)

n

1

n

n

1

)

n

τn = n∆τ,

un (t) ≈ u1 (τ n ) τ

1(t −τ

+ ) −1(t −τ

n

где

или

n 1

или

τ

un (t) ≈ u1(τn ) τδ(t −τ) .

Тогда входной сигнал можно приблизительно записать в виде

∞

u1(t) ≈ åu1(τn )δ (t −τn )

τ .

(2.1.73)

n=0

Из определения импульсной характеристики и принципа суперпозиции следует, что

∞

u2 (t) ≈ åu1(τn )g(t −τn )

τ .

(2.1.74)

n=0

Если ∆τ→∞, то получим точное значение функции u2(t) или

∞

u2 (t) = limτ →∞ åu1(τn )g(t −τn )

τ

n=0

Взяв предел, получим

t

u2 (t) = òu1(τ)g(t −τ)dτ .

0

Последнее выраже6ние называется интегралом свертки, т.е. выходной сигнал линейной цепи

равен свертке входного сигнала и импульсной характеристики цепи.

Билет 27. Фильтры. Типы фильтры. Схемы построения.

Фильтром называются четырехполюсники, которые обладают коэффициентом передачи, равным единице в некоторой интервале частот, называемой полосой прозрачности (пропускания), и равным нулю в остальном диапазоне частот, называемом полосой подавления (заграждения).

По функциональному назначению фильтры делятся на:

∙фильтры низких частот (полоса прозрачности лежит в пределах от 0 до ωВ). Идеальная амплитудно-частотная характеристика имеет вид: