билеты 1-40

Т(ω)

1

ω

0 ωв

∙фильтры высоких частот (полоса прозрачности лежит в пределах от ωН до ∞). Идеальная амплитудно-частотная характеристика имеет вид:

Т(ω)

1

ω

0 ωн

∙полосовой фильтр (полоса прозрачности лежит в пределах от ωН до ωВ). Идеальная амплитудно-частотная характеристика имеет вид:

Т(ω)

1

ω

0 ωн ωв

∙заграждающий фильтр (полоса заграждения лежит в пределах от ωН до ωВ). Идеальная амплитудно-частотная характеристика имеет вид:

Т(ω)

1

ω

0 ωн ωв

Фильтры строятся по следующим схемам:

∙Т – образная схема

Z1/2 Z1/2

Z2

∙П – образная схема

\				Z1
			2Z2					2Z2

∙Г – образная схема

Z1

Z2

Первые две схемы относятся к симметричным схемам построения фильтров.

В дальнейшем будем рассматривать фильтры, построенные по симметричной схеме построения.

Из теории четырехполюсников известно:

Z

chΓ =1 + 2Z1 , (2.2.29)

2

где Г – постоянная распространения, Г = α + jβ, α – постоянная затухания фильтра, β – фазовая постоянная фильтра.

Билет 28.

Условия прозрачности фильтров. Граничные частоты.

В полосе прозрачности	постоянная затухания α принимает значение 0.
Тогда Г = jβ, откуда следует	ch( jβ ) = Cosβ = 1+	Z1	,	(2.2.30)
		2Z2

а так как -1 ≤ Соsβ ≤ 1, то

−1 ≤1+

Z1

≤1.

(2.2.31)

2Z2

Вычитая из всех частей неравенства единицу, получим

−1 ≤

Z1

≤ 0.

(2.2.32)

4Z2

Из последнего неравенства видно, что Z1 и Z2 должны быть разных знаков и

Z1

≤

4Z 2

.

(2.2.33)

Граничные частоты

Z1

Используя неравенство −1 ≤

≤ 0 , найдем граничные частоты

4Z2

из условия

Z1(ωГ )

= −1

и

Z1 (ωГР )

= 0 .

4Z2

(ωГР )

4Z2 (ωГР )

Билет 29.

Частотные характеристики фильтров.

∙в полосе прозрачности.

chΓ = ch(α + jβ ) = chα ∙ chjβ + shα ∙ shjβ или chΓ = chα ∙ cos β + shα ∙ j ∙sin β.

В полосе прозрачности постоянная затухания α = 0 и ее график совпадает с частотной

	осью.				Z1
	Тогда сhα = 1, а shα = 0 и			Cosβ = 1+		, откуда фазочастотная характеристика
					2Z2
	β = arccos(1+	Z1	).		(2.2.34)
		2Z2

∙в полосе заграждения

chΓ = chα × cos β + j × shα × sin β = 1+

Z1

.

2Z2

Так как величина 1+

Z1

вещественная , то j × shα ×sin β = 0 , т.е. Sinβ = 0.

2Z2

Тогда β = 0, если 1+

Z1

ñ0,и β = π, если 1+

Z1

á0.

2Z2

2Z2

Амплитудно-частотная характеристика будет определяться, как

Z1

α = arcch

1+

.

2Z2

Билет 30.

Фильтры нижних частот. Фильтры верхних частот.

Фильтры нижних частот

Принципиальная схема фильтра нижних частот имеет вид:

				Z1=jωL,	Z 2	=		1
							j	ω
L/2		L/2						C

С

Найдем граничные частоты. Для этого запишем

ω

ω2

LC

Z

1

ω

2

LC .

chΓ =1 −

L

=1 −

и

= −

−1

2

4Z 2

2(ωC)

4

Найдем граничные частоты из условий:

−

ωГР2 1 LC

= −1 ,

откуда ωГР1 =

2

и

4

LC

−

ωГР2 2 LC

= 0 ,

откуда ωГР2 = 0 .

4

В полосе прозрачности характеристика затухания фильтра α = 0, а в полосе

заграждения

α = arcch

1−

ω2 LC

= arcch

1−

2

ω2

.

(2.2.36)

2

ω2

ГР1

В полосе заграждения фазовая характеристика фильтра β = π, а в полосе

прозрачности

β = arccos(1− 2

ω2

).

(2.2.37)

ω2

ГР1

Графики α и β в зависимости отϑ =

ω

приведены на рис.2.23.

ω

ГР1

α

ν

β

ν

а) νГР1

б) νГР1

Рис.2.23.Амплитудно-частотная (а) и фазочастотные (б)

характеристики фильтра нижних частот.

Рассмотрим характеристики фильтра нижних частот при различных сопротивлениях

нагрузки Zн. В этом случае П-образная схема фильтра будет иметь вид: Комплексная частотная характеристика приведенного фильтра будет определяться

	L/2	Zэкв
Ů1 С	С	R Ů2

∙

ZЭ

T ( jω ) = U∙2 =

jωL + ZЭ

U1

Z Э =

RН

,

где

.

Тогда

1

+ jωCRН

T ( jω) =

1

ω2 LC

jωL

,

а ее модуль или амплитудно-частотная характеристика

1−

+

2

RН

фильтра будет определяться как

T (ω) =

1

ω 2 LC )2

+ ω 2 L2

(1−

.

(2.2.38)

2

R2

Н

Резонансная частота контура П - образной схемы фильтра будет определяться как

ωР

=

1

=

2

ω

LC

LC

и совпадает с граничной частотой фильтра

ГР1

.

4

Тогда АЧХ фильтра можно записать в виде

T (ω) =

1

ω

2

ω2 ρ 2

(1− 2

)2 + 4

,

(2.2.39)

ω2

R2

ω2

ГР1

ГР1

Н

гдеρ – характеристическое сопротивление колебательного контура, составленного из индуктивности L и емкости С, определяемое как

ρ = Z1 Z2 = CL .

Графики амплитудно-частотных характеристик при различных сопротивлениях нагрузки приведены на рис.2.24.

R

=

R

н

Rн=2ρ

Rн=ρ

opt

Т(ω) Rн= Ropt

Rн= ∞

Rн=0,5ρ

1

ω 0,707ωГР1 ω

ГР1

Рис.2.24. АЧХ фильтра низких частот при различных сопротивлениях нагрузки.

Найдем расчетные формулы для определения L и С. При проектировании фильтров обычно задаются граничные частоты и сопротивление нагрузки.

			RН = ρ =	L
		В режиме согласования				.				(2.2.40)
				C
							ωГР =		2
	Граничная частота фильтра нижних частот											.	(2.2.41)
									LC

Перемножая и деля почленно выражения () и (), находим:

C =	2			L =	2RH
			и			(2.2.42).
	ωГР RH				ωГР

2.2.3.2. Фильтры верхних частот

Принципиальная схема фильтра верхних частот имеет вид:

Z2=jωL,

Z1

=

1

j

ω

C

2С

2С

L

Найдем граничные частоты.

Z1

1

Для этого запишем chΓ = 1−

1

и

= −

.

4Z

4ω 2 LC

ω 2

LC

2

2

Найдем граничные частоты из условий:

−

1

= −1

,

откуда ωГР1

=

1

и

2

2

LC

4ωГР1LC

−

1

= 0 ,

откуда ωГР 2

= ∞ .

4ω

2 LC

В полосе прозрачности характеристика затухания фильтра α = 0, а в полосе

заграждения

α = arcch

1−

1

= arcch

1− 2

ω2

.

ГР1

(2.2.43)

2ω

2

LC

2

ω

В полосе заграждения фазовая характеристика фильтра β = -π, а в полосе

прозрачности

β = arccos(1− 2

ω

2

).

(2.2.44)

ГР1

ω 2

Графики α и β в зависимости отϑ =

ω

приведены на рис.2.25.

ω

ГР1

α

β

ГР1

ν

ν

а)

ν

б)

-π

νГР1

Рис.2.23.Амплитудно-частотная (а) и фазочастотные (б)

характеристики фильтра верхних частот.

С

Zэкв

Рассмотрим

характеристики

фильтра

нижних

частот

при

Z

различных

Ů

2L

R

Ů

1

2L

н

2

сопротивлениях

нагрузки

н

.

В этом

П

случае

-образная схема

фильтра будет

иметь вид:

Комплексная частотная характе-ристика приведенного фильтра будет определяться как

∙

T ( jω) =

U2

=

ZЭ

Z

=

j2ωLRН

,

где

.

∙

1

Э

RН + j2ωL

U1

+ ZЭ

jωC

T ( jω) =

− 2ω 2 LCR

Тогда

H

, а

ее модуль или амплитудно-частотная

(1− 2ω 2 LC)R

+ j2ωL

Н

характеристика фильтра будет определяться как

T (ω) =

2ω 2 LCRH

.

(2.2.45)

(1− 2ω 2 LC)

2 R2 + 4(ωL)2

H

П

Резонансная

частота

контура

-образной

схемы фильтра будет определяться как

1

ωР =

ω

и совпадает с граничной частотой фильтра

.

ГР1

2

LC

Тогда АЧХ фильтра можно записать в виде

ω 2 RH

T (ω ) =

2ω ГР2

1

,

(2.2.46)

(1−

ω 2

)2 R2

+

ω 2 ρ 2

2ω ГР2 1

ω ГР2 1

H

гдеρ – характеристическое сопротивление контура, составленного из индуктивности L и

ρ =

L

С

=

Z1 Z2

емкости

,

определяемое как

.

C

Графики амплитудно-частотных характеристик при различных сопротивлениях

нагрузки приведены на рис.2.24.

Т(ω

)

Rн=Ropt

Rн=∞

Rн=2ρ

Rн=ρ

Rн=0,5ρ

1

ω

0	ωГР1 1,41ωгр1

Рис.2.24. АЧХ фильтра высоких частот при различных сопротивлениях нагрузки.

Найдем расчетные формулы для определения L и С. При проектировании фильтров обычно задаются граничные частоты и сопротивление нагрузки.

		RН = ρ =	L
	В режиме согласования				.					(2.2.47)
			C
						ωГР =		1
Граничная частота фильтра нижних частот												.	(2.2.48)
							2
									LC

Перемножая и деля почленно выражения () и (), находим:

C =	1			L =	RH
			и
	2ωГР RH				2ωГР

Билет 31.

Полосовые фильтры и заграждающие фильтры.

Полосовой фильтр

Принципиальная схема полосового фильтра имеет вид:

С1/2

2L1

2L1

С1/2

C2

L2

Z

= j(ωL −

1

)

и

Z2

=

L2 C2

или

1

1

ωC

j

(ωL

− 1

)

1

2

ωC2

Z

= jρ (

ω

−

ωР1 )

Z2 =

ρ2

и

ω

ω

Р2

) .

1

1

ωР1

ω

j(

−

ωР2

ω

Примем ωР1 =ωР 2

=ω0

и L1C1 = L2 C2 .

Z

= jρ (

ω

− ω0 )

Z2 =

ρ2

Тогда

и

ω

ω

0

) .

1

1

ω0

ω

j(

−

ω0

ω

Найдем граничные частоты.

ρ1

ω

ω0

Z1

ρ1

ω

ω0

Для этого запишем chΓ = 1−

(

−

)2

и

=

(

−

)2 .

2ρ2

ω

ω

ω0

4Z2

4ρ2

ω0

Найдем граничные частоты.

ρ

L C C

2

C

1

=

L C

2

=

=

2

Так как

1

1

1

2

,

ρ 2

C1 L2

C12 L2C2

C1

то

Z1

C2

ω

− ω0 )2

ω

ω0 = ±2

−

= −

(

= −1

и

−

C1

,

откуда

4Z

4C

ω

ω

C

2

0

ω

0

ω

2

1

2

ω 2

− ω02

= ±2ω0ω

C1

или ω 2

ω − ω02

= 0 .

C2

L1C2

Решая полученное квадратное уравнения и отбрасывая решения с отрицательным знаком, как не имеющие физического смысла, получаем

ωГР1	= ωB =	1					+	1					+				1					,			(2.2.50)
		L C						L C
										2							L C		2
		1			1			1									1
																	1
ωГР2	=ωH =		1				+	1						−										.	(2.2.51)
				L C					L C		2							L C		2
		1			1			1									1

Перемножая (2.2.50) и (2.2.51), получаем

ωB × ωH =

1

= ω02 .

L1C1

В полосе прозрачности характеристика затухания фильтра α = 0, а в полосе

заграждения

α = arch

1 −

C2

(

ω

− ω0

)2

.

2C1

ω0

ω

В полосе заграждения фазовая характеристика фильтра β = -π при ω<ωН и

β = π при ω>ωВ, а в полосе прозрачности

β = arccos[1−

C2

(

ω

−

ω0 )2

]

(2.2.52)

2C1

ω0

ω

Графики α и β в зависимости отω приведены на рис.2.25.

α

β

ω

ω

ωГР1

ωГР2

0

ωГР1

а)

ωГР2

б)

Рис.2.25.Амплитудно-частотная (а) и фазочастотная (б)

характеристики полосового фильтра.

В режиме холостого хода, т.е. при

ZН = ∞, передаточная характеристики полосового

фильтра будет иметь вид:

Z2

1

T( jω ) =

=

Z1

ρ1

ω

ω0

2

Z2

+

Z1

1+

Z1

, а с учетом

= −

(

− ω )

2

2Z2

2Z2

2ρ2

ω0

(2.2.53)

T ( jω) =

1

1−

C2

(

ω

−

ω0

)

2 .

(2.2.54)

2C

ω

0

ω

1

График амплитудно-частотн0й характеристики в режиме холостого хода приведены на

рис.2.26.

Rн=Ropt

Rн=∞

Т(ω)

ωН	ω
	ωв

Рис.2.26. Амплитудно-частотные характеристики полосового фильтра.