- •010501 Прикладная математика и информатика
- •2.1. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства
- •2.2. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины.
- •2.3. Важнейшие дискретные случайные величины и их законы распределения
- •2.4. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятностей
- •2.5. Важнейшие непрерывные случайные величины
2.2. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины.
Определение. Случайная величина , заданная на вероятностном пространстве , называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно:
или .
Для полной вероятностной характеристики дискретной случайной величины достаточно указать все ее возможное значения и вероятности , с которыми эти значения принимаются,. При этом, поскольку события,, образуют полную группу событий, то
(условие нормировки).
Подобную информацию о дискретной случайной величине записывают в виде таблицы:
(2.1) | ||||||
которую называют законом распределения дискретной случайной величины илирядом распределения.
Закон распределения (2.1) является более удобной и наглядной вероятностной характеристикой, чем функция распределения, и его задание полностью эквивалентно заданию функции распределения.
Действительно, функция распределения дискретной случайной величины определяется по закону распределения (2.1) с помощью формулы:
. (2.2)
Подробнее в случае конечного числа значений дискретной случайной величины формула (2.2) выглядит следующим образом:
График функции распределения дискретной случайной величины является кусочно-постоянным со скачками в точках равными ,. Это означает, что закон распределения (2.1) по функции распределения (2.2) всегда можно однозначно восстановить.
Вероятность попадания дискретной случайной величины в любое борелевское множество на числовой прямой определяется по формуле:
.
Отметим, что через функцию распределения вероятность в явном виде может и не выражаться.
2.3. Важнейшие дискретные случайные величины и их законы распределения
1. Вырожденная случайная величина.
Любую константу С можно рассматривать как случайную величину, принимающую одно значение: для любого.
Закон распределения вырожденной случайной величины имеет вид:
С | |
1 |
Выражение для функции распределения вырожденной случайной величины и ее график также имеют вырожденный вид:
С x F(x) 1 0
2. Индикаторная случайная величина.
С любым случайным событием А можно связать случайную величину вида:
.
Случайная величина называется индикатором случайного события А или индикаторной случайной величиной. Она принимает только два значения и , при этом
, .
Закон распределения индикаторной случайной величины имеет вид:
0 |
1 | |
q |
p |
Аналитическое выражение и график функции распределения имеют вид:
x
3. Биномиальная случайная величина.
Биномиальной называется дискретная случайная величина , представляющая собой число успехов в n независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, с вероятностью успеха в одном испытании равной р.
Множество возможных значений биномиальной случайной величины:
.
Вероятности, с которыми значения принимаются, определяются по формуле Бернулли:
.
Закон распределения имеет вид:
0 |
1 |
n | ||
и называется биномиальным законом распределения.
Условие нормировки при этом следует из формулы Бернулли или непосредственно из бинома Ньютона:
.
(Записать аналитическое выражение для функции распределения и построить ее график самостоятельно).
Сокращенное обозначение для биномиальной случайной величины:
.
4. Геометрическая случайная величина.
Геометрической называется дискретная случайная величина , представляющая собой число испытаний, проводимых по схеме Бернулли, до появления первого успеха с вероятностью успеха в одном испытании равной р.
Геометрическая случайная величина имеет счетное множество возможных значений:
.
Вероятности значений определяются по формуле:
.
Закон распределения имеет вид:
1 |
2 |
n | |||
и называется геометрическим законом распределения.
Условие нормировки при этом следует из формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
.
(Записать аналитическое выражение для функции распределения и построить ее график самостоятельно).
Сокращенное обозначение для геометрической случайной величины:
.
5. Пуассоновская случайная величина.
Пуассоновской называется целочисленная случайная величина, множество возможных значений которой
,
а вероятности, с которыми значения принимаются, задаются формулой:
.
Число называется параметром пуассоновской случайной величины.
Закон распределения имеет вид:
0 |
1 |
n | |||
и называется пуассоновским законом распределения.
Условие нормировки при этом следует из разложения экспоненты в ряд Тейлора:
.
(Записать аналитическое выражение для функции распределения и построить ее график самостоятельно).
Сокращенное обозначение для пуассоновской случайной величины:
.