2.4. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятностей

Определение. Случайная величина , заданная на вероятностном пространстве ,называется непрерывной или имеющей непрерывный закон распределения, если существует такая функция , что для любогофункция распределенияслучайной величиныдопускает представление:

. (2.3)

При этом функция называетсяплотностью вероятностей (плотностью распределения вероятностей, плотностью распределения) случайной величины .

Замечание. Для существования интеграла (2.3) предполагается, что плотность вероятностей является функцией непрерывна всюду, за исключением, может быть, конечного числа точек.

Из определения следует:

1. Если случайная величина является непрерывной, то ее функция распределениянепрерывна на всей числовой прямой.

(Это следует из свойств интеграла с переменным верхним пределом).

Следствие. Если случайная величина является непрерывной, то

для любого . (2.4)

2. Если случайная величина является непрерывной, то ее функция распределенияявляетсядифференцируемой во всех точках, где плотность вероятностей непрерывна, и при этом справедливо равенство:

. (2.5)

(Этот факт также следует из свойств интеграла с переменным верхним пределом).

В точках, где плотность вероятностей непрерывной не является, производная функции распределенияне существует. Это означает, что в этих точках функция распределения, являясь функцией непрерывной, имеетизлом, так что . Но таких точек в соответствии с замечанием не более конечного числа и в них плотность вероятностей может быть задана произвольно (на величине интеграла (2.3) и на вероятностях событий, связанных со случайной величиной, в соответствии с (2.4) это никак не отражается).

Замечание. Говорят также, что равенство (2.5) выполняется «почти всюду» или «для почти всех », понимая под этим справедливость равенства «везде» или «для всех», кроме (возможно)из некоторого множества нулевой меры (длины). Используя данную терминологию, можно сказать, что функция распределения непрерывной случайной величины является дифференцируемой почти всюду.

Геометрическая иллюстрация.

Из равенства (2.5) и определения производной следует, что

.

Интерпретируя вероятность как массу, приходящуюся на интервал, отношениепредставляет собой среднюю плотность массы на этом интервале, а в пределе приполучаем плотность массы в точкех. Это обстоятельство и оправдывает использование термина «плотность» для функции .

Формулы (2.3) и (2.5) показывают, что между функцией распределения непрерывной случайной величины и плотностью вероятностейсуществует взаимно однозначное соответствие. Поэтому по аналогии с дискретным случаем плотность вероятностей можно называть законом распределения непрерывной случайной величины или непрерывным законом распределения.

Свойства плотности вероятностей

f1). Плотность вероятностей является функцией неотрицательной:

для любого .

▲ Поскольку функция распределения является функцией неубывающей, то ее производная. Поэтому свойство следует из равенства (2.5) ■.

f2). Площадь под графиком плотности вероятностей равна единице:

- условие нормировки.

▲ Из представления (2.3) следует, что , а в соответствии со свойствомF2) функции распределения ■.

f3). Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервалопределяется как интеграл от плотности вероятностей по этому интервалу: для любых

. (2.6)

▲ Поскольку в соответствии со свойством F6) функции распределения , то данное свойство непосредственно вытекает из представления (2.3):

■.

Следствие. Для непрерывной случайной величины

и все вероятности определяются с помощью интеграла (2.6).

Графическая иллюстрация функции распределения и плотности вероятностей непрерывной случайной величины.