2.5. Важнейшие непрерывные случайные величины

1. Равномерная случайная величина.

Говорят, что непрерывная случайная величина имеет равномерный закон распределения (равномерное распределение) на отрезке , если множество ее возможных значений, а плотность вероятностей постоянна на этом отрезке:

Константа С при этом однозначно определяется из условия нормировки:

, то есть .

Таким образом, равномерно распределенная случайная величина имеет плотность вероятностей:

и для нее используется сокращенное обозначение: .

Найдем функцию распределения случайной величины .

Для этого рассмотрим три случая:

а) если , то ;

б) если ,то ;

в) если , то.

Окончательно имеем:

Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины имеют вид:

2. Показательная (экспоненциальная) случайная величина.

Говорят, что непрерывная случайная величина имеет показательный закон распределения (показательное, экспоненциальное распределение), если множество ее возможных значений , а плотность вероятностей имеет вид:

Число называется параметром показательного закона распределения, а для показательной случайной величиныиспользуется сокращенное обозначение: .

Проверим условие нормировки:

при любом .

Найдем функцию распределения случайной величины .

Для этого рассмотрим два случая:

а) если , то ;

в) если , то.

Окончательно имеем:

Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины имеют вид:

3. Нормальная (гауссовская) случайная величина.

Говорят, что непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения (нормальное, гауссовское распределение) с параметрами , если множество ее возможных значений, а плотность вероятностей имеет вид:

.

Сокращенное обозначение нормальной случайной величины:

.

Кривая плотности вероятностей имеет симметричный вид относительно прямой и имеет максимум в точке.

Проверим условие нормировки:

для любых значений параметров а и (при этом использовался известный в анализе факт, что- интеграл Пуассона).

В зависимости от изменения параметров плотность вероятностей нормального закона распределения меняется следующим образом.

Если параметр фиксирован, то при измененииа кривая , не изменяя своей формы, просто смещается вдоль оси абсцисс. Таким образом, параметр а является параметром сдвига (положения). Также параметр а характеризует среднее значение случайной величины.

Изменение при фиксированнома равносильно изменению масштаба кривой по обеим осям: при увеличении плотность вероятностей становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; при уменьшении- вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков (эффект действия условия нормировки). Таким образом, параметрявляется параметром масштаба.

Также параметр характеризует степень разброса значений случайной величины около среднего значенияа в следующем смысле. Чем меньше , тем больше при фиксированномвероятность вида, как площадь под плотностью вероятностей или, другими словами, тем при меньшемможно получить заданную вероятность вида. Это означает, что при уменьшениизначения случайной величиныболее плотно группируются околоа, то есть степень разброса значений случайной величины около среднего значения а меньше.

Если и, то нормальный закон распределения называетсястандартным, его плотность вероятностей имеет вид:

и называется функцией Гаусса.

Функция распределения случайной величины имеет вид:

и не выражается в элементарных функциях. Функцию называют функцией Лапласа (или интегралом вероятностей).

Геометрическая иллюстрация.

Свойства функции Лапласа :

1. ;

2. для.

Значения функции Лапласа длятабулированы.

Функция распределения случайной величины также выражается через функцию Лапласа :

.

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервалопределяется по формуле:

.

Наиболее просто выражается через функцию Лапласа вероятность попадания случайной величины в интервал длины, симметричный относительно точки :

.

Далее, если положить и учесть, что, то получаем:

.

Полученный результат носит название «Правило трех сигма». Он означает, что «практически все» значения случайной величины находятся внутри интервалав том смысле, что вероятность случайной величине принять значение, не принадлежащее этому интервалу, пренебрежимо мала ().

Геометрическая иллюстрация «Правила трех сигма».

Нормальный закон распределения очень распространен и имеет чрезвычайно большое значение для практики. В этом мы убедимся, когда познакомимся с центральной предельной теоремой.

5. Случайная величина, имеющая закон распределения Коши.

Говорят, что непрерывная случайная величина имеет закон распределения Коши, если множество ее возможных значений , а плотность вероятностей имеет вид:

.

Функция распределения случайной величины, распределенной по закону Коши, имеет вид:

.

Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины, распределенной по закону Коши, выглядят следующим образом:

21