4. Теплообмен теплопроводностью.

Математическая теория теплопроводности строится на основе дифференциального уравнения, называемого уравнением Фурье. С физической точки зрения это уравнение представляет собой принцип сохранения энергии, сочетаемый с законом Фурье.

Выделим внутри тела элементарный объем. В этом объеме могут действовать источники тепловыделения, как это имеет место, например, в электрических проводниках при течении тока, или в тепловыделяющих элементах атомных реакторов. Количество теплоты dQ_ист , выделенное внутренними источниками, за вычетом количества теплоты dQ_выт , вытекшего сквозь поверхность наружу, идет на приращение внутренней энергии вещества в выделенном объеме:

dU = dQ_ист - dQ_выт (4.1)

Рис.4.1. К выводу уравнения теплопроводности

Малые размеры выделенного объема позволяют считать теплопроводность в его пределах постоянной. Размеры ребер выделенного параллелепипеда (рис. 4.1) составляют соответственно по осям dx, dy, dz. Если объемная мощность тепловыделения, т.е. количество теплоты, выделяющееся в единице объема вещества за единицу времени, обозначить через q_v , где размерность q_v = ккал/м³·ч или Вт/м³, то за время dτ величина тепловыделения :

dQ_ист = q_v·dxdydzdτ (*)

Для вычисления dQ_выт рассмотрим сперва направление, определяемое осью Х. Согласно формуле (4.1) в этом направлении через левую грань поступает внутрь выделенного объема количество теплоты:

Через противоположную грань за тот же промежуток времени выходит количество тепла:

Суммарное количество вытекающего тепла

Очевидно, полное количество вытекающего из параллелепипеда тепла во всех трех направлениях равно:

dQ_выт = (**)

Приращение внутренней энергии вычисляется через теплоемкость и приращение температуры:

, (***)

где [с] = ккал/кг·град или Дж/кг·град, [ρ] = кг/м³,

[сρ] = ккал/м³·град или Дж/м³·град.

Подставляя выражения (*), (**) в (***) и, производя сокращения, получим:

(4.2)

Дифференциальное уравнение (4.2) является основой аналитической теории теплопроводности, которую создал Фурье в первом десятилетии XIX века, одновременно положив начало разработке многих родственных задач математической физики. В уравнение Фурье не вводил понятия внутреннего тепловыделения, а, кроме того, для описания теплопроводности использовал понятие теплорода.

Для обозначения суммы вторых производных температуры по координатам позже стали использовать символ ² , так называемый лапласиан. Тогда уравнение (4.2) запишется:

(4.2а)

Если ввести в формулу коэффициент температуропроводности а :

, м²/сек, (4.3)

то уравнение (4.2) можно выразить в следующем виде:

(4.4)

Физический смысл уравнения Фурье в том, что им связывается пространственное распределение температуры с изменением его во времени. Если упростить выражение (4.4), исключив источник внутреннего тепловыделения, то можно провести анализ связи распределения температур с потоком теплоты, протекающим через твердое тело. Чем выше коэффициент а, тем быстрее меняется температура в теле. Обратная коэффициенту а величина характеризует температурную инерцию. Именно отношение коэффициента теплопроводности к теплоемкости этого объема может характеризовать скорость реакции вещества на изменение теплопотока.

Интересно рассмотреть графическую интерпретацию уравнения Фурье в применении к одномерным задачам.

Рис.4.2. Геометрический смысл градиента температуры

Пусть в некоторый момент времени вблизи точки М температура t = f (x) распределена так, как показано на рис. 18 . Обратим внимание прежде всего на то, что в геометрическом смысле первая производная , т.е. величина grad t есть тангенс угла наклона  касательной к кривой:

(4.5)

Соответственно вторая производная характеризует интенсивность приращения тангенса  вдоль координаты х. В условиях одномерности и равенства нулю внутреннего тепловыделения q_v (как мы приняли выше) уравнение (65) превращается в уравнение:

(4.6)

и производная в левой части равенства будет положительной, т.е. температура к следующему моменту времени будет возрастать – тело прогревается. Кроме того, из рис.4.2 можно видеть, что тангенс угла наклона касательной вдоль оси х нарастает, что свидетельствует об увеличении темпа нагревания вдоль оси х.

Очевидно, что если в районе какой-то точки тела температура меняется линейно, то вторая производная изменения температуры во времени равна 0, а, следовательно , и процесс теплопроводности стационарен.

Применительно к пространственной задаче стационарной теплопроводности и при отсутствии внутреннего тепловыделения уравнение Фурье получает вид:

; ²t = 0 (4.7)

Это уравнение принадлежит к категории уравнений Лапласа.

В цилиндрических координатах уравнение (4.7) записывается следующим образом:

(4.8)