4 .1.1 Аналитическое решение уравнения теплопроводности.

Дифференциальное уравнение теплопроводности для твердых тел имеет вид:

(4.8)

Для аналитического решения этого уравнения необходимо задание следующих краевых условий:

- геометрические размеры тела;

- начальное распределение температуры в теле;

- действие на поверхность окружающей среды (граничные условия).

Как говорилось ранее, имеется несколько способов задания граничных условий:

Рис.4.4. Графическая интерпретация трех способов задания

граничных условий.

а) по первому типу граничных условий (ГУ) задается постоянное значение температуры поверхности t_с ; графически это условие выражается заданием точки А (рис.4.4). Количество тепла dQ, проходящее через элемент поверхности dF, заранее неизвестно. Графически это выражается тем, что не известен наклон температурной кривой в теле около поверхности, т.е. угол  (tg = - dt/dn), ведь согласно закону Фурье количество тепла, протекающее в теле к поверхности, равно:

(*)

б) по второму типу ГУ задается количество тепла проходящего через поверхность, (т.е. в конечном счете угол ), но неизвестна ее температура t_с , т.е. положение точки А (рис.4.4,б).

в) при третьем типе ГУ задается температура окружающей среды t_ж и коэффициент теплоотдачи α между средой и поверхностью. Так как для количества тепла dQ , притекающего изнутри и переходящего от поверхности тела в окружающую среду, помимо выражения (*), может быть написано еще выражение, основанное на уравнении Ньютона:

dQ = α(t_c- t_ж)dF, (**)

Из сопоставления (*) и (**) имеем:

(4.9)

Уравнение (4.9) является математической формулировкой граничного условия третьего рода. Из рис.4.4,в следует:

Следовательно, условием третьего рода определяется точка О, через которую должны проходить все касательные к температурной кривой в точке, лежащей на поверхности тела. Точка О называется направляющей и лежит на расстоянии s = λ/α от поверхности. Размерность s в м.

Решение уравнения (4.8) дает такую функцию, которая одновременно удовлетворяло бы и самому уравнению и краевым условиям. Для упрощения решения, что приемлемо для решения технических задач, ограничиваются каким-то одним направлением тока тепла.

Методы, при использовании которых решение задачи теплопроводности получается в виде конечной формулы или бесконечного ряда, называются аналитическими. Их условно делят на точные и приближенные. Точные методы решения задач теплопроводности обычно подразделяются на классические и методы интегральных преобразований. К классическим можно отнести метод разделения переменных и метод функций Грина (метод точечных источников тепла). Методы интегральных преобразований, в свою очередь, бывают с конечными пределами интегрирования и с бесконечными пределами (преобразования Фурье и Лапласа).

В основу большинства точных аналитических методов положен принцип суперпозиции (принцип наложения или сложения решений), поэтому точные решения применимы лишь к линейным дифференциальным уравнениям теплопроводности с линейными краевыми условиями. В случае нелинейных краевых задач, когда принцип суперпозиций непригоден, не удается построить сколько-нибудь общих аналитических методов решения нелинейных задач. По этой причине нелинейные задачи решаются преимущественно численными методами.