Теория вероятностей Вариант №13

1. Зенитная батарея, состоящая из k орудий, производит залп по группе, состоящей из l самолетов (kl). Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, все k орудий выстрелят по одной и той же цели.

2. Происходит воздушный бой между двумя самолетами: истребителем и бомбардировщиком. Стрельбу начинает истребитель: он дает по бомбардировщику один выстрел и сбивает его с вероятностью p₁. Если бомбардировщик этим выстрелом не сбит, он стреляет по истребителю и сбивает его с вероятностью p₂. Если истребитель не сбит, он еще раз стреляет по бомбардировщику и сбивает его с вероятностью p₃. Найти вероятность того, что будет сбит хотя бы один самолет.

3. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможны в любой промежуток времени длительностью 2,5 сек. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 0,8 сек. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за данное время, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.

4. Предположим, что 25% населения живет в области, охваченной коммерческим TV, рекламирующим две новые модели автомобилей; 34% населения охвачено радиорекламой. Также известно, что 10% населения слушает и радио и телерекламу. Если случайно отобрать человека, живущего в данной области, то чему будет равна вероятность того, что он знаком по крайней мере хотя бы с одной из рекламных передач фирмы?

5. Транснациональная компания обсуждает возможности инвестиций в некоторое государство с неустойчивой политической ситуацией. Менеджеры компании считают, что успех предполагаемых инвестиций зависит, в частности, и от политического климата в стране, в которую предполагается вливание инвестиционных средств. Менеджеры оценивают вероятность успеха (в терминах годового дохода от субсидий в течение первого года работы) равной 0,65, если преобладающая политическая ситуация будет благоприятной; равной 0,45, если политическая ситуация в течение года будет нейтральной; равной 0,20, если политическая ситуация в течение года будет неблагоприятной. Менеджеры компании также полагают, что вероятности благоприятной, нейтральной и неблагоприятной политических ситуаций соответственно равны: 0,7; 0,2 и 0,1. Чему равна вероятность успеха инвестиций?

6. В первой урне содержится 5 фиолетовых и 4 оранжевых шаров, во второй – 7 фиолетовых и 4 оранжевых шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают три шара. После этого из второй урны наугад извлекают 4 шара. Найти вероятность того, что будут извлечены шары одного цвета.

7. В среднем 25% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 11 пакетов в результате торгов по первоначально заявленной цене: а) не будут проданы 5 пакетов; 2) хотя бы два пакета; 3) чему равно ожидаемое число пакетов, которые будут проданы по первоначально заявленной цене? 4) чему равно наивероятнейшее число пакетов, которые будут проданы по первоначально заявленной цене?

8. Посажено 600 семян кукурузы. Вероятность прорастания каждого семени равна 0,9. Найти вероятность того, что взойдет: а) ровно 550 семян; б) больше 535, но меньше 555 семян.

9. В страховой кампании 8 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 800 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной 0,006, страховая кампания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 70 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая кампания с надежностью 0,95?

10. Число яхт, сходящих о стапелей маленькой верфи, – случайная величина, заданная следующим рядом распределения:

xi	2	3	4	5	6	7	8
pi	0,10	0,20	0,30	0,10	0,10	0,15	0,05

а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Чему равна вероятность того, что число яхт, построенных в следующем месяце, будет находится между 4 и 7 (включая оба значения)? г) Чему равно ожидаемое число, дисперсия и среднее квадратичное отклонения построенных яхт? д) Чему будет равна ожидаемая сумма заработка конструктора яхт, если предположить, что конструктор зарабатывает в месяц фиксированную сумму, равную 25000 у.е. плюс 5000 у.е. за каждую сошедшую со стапелей яхту?

11. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x₁ и x₂, причем x₁<x₂. Вероятность того, что X примет значение x₁ равно 0,7. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = –0,5 и дисперсию D[X] =5,25.

12. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения

Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1<X<1,5).

13. Известны математическое ожидание a=8 и среднее квадратичное отклонение =2 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (3;10), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на =1.

14. Масса апельсинов, прибиваемых на оптовую базу в ящиках определенного размера, – нормально распределенная случайная величина. Известно, что 85% ящиков имеют чистую массу больше 62 кг и 25% – имеют массу меньше, чем 55 кг. Найдите ожидаемое значение и среднее квадратичное отклонение чистой массы ящиков.

Э, МР, БМ, СМ

Типовой расчет