Теория вероятностей Вариант №15

1. Из множества чисел {1, 2, ... , n} последовательно выбирается три числа. Какова вероятность того, что второе число будет заключаться между первым и третьим, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?

2. Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается исправным с вероятностью q₁, второй – с вероятностью q₂ и третий – с вероятностью q₃. Наладчик, вызванный для осмотра устройства, обнаруживает и устраняет неисправность каждого узла, если она имеется, с вероятностью p, а с вероятностью q=1–p объявляет узел исправным. Найти вероятность того, что после осмотра наладчиком хотя бы один узел устройства будет неисправным.

3. Окно защищено решеткой, сделанной из стальных прутьев диаметром 1 см. Прутья делят все пространство окна на квадраты, расстояние между прутьями 8 см. Кто-то бросил в окно камень диаметром 3 см. Какова вероятность, что камень пролетит сквозь решетку, не задев прутьев?

4. В ходе исследования потребительского рынка проводили опрос потребителей. В частности, один из вопросов касался сорта зубной пасты, которую использует потребитель. Если известно, что 14% населения используют сорт А, а 9% – сорт В, то чему равна вероятность того, что случайно выбранный человек будет использовать одну из двух паст. (Предполагается, что в данный момент человек использует только одну пасту).

5. Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае – в 0,25. по оценкам экспертов компании, вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта?

6. Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается исправным с вероятностью q₁, второй – с вероятностью q₂ и третий – с вероятностью q₃. Наладчик, вызванный для осмотра устройства, обнаруживает и устраняет неисправность каждого узла, если она имеется, с вероятностью p, а с вероятностью q=1–p объявляет узел исправным. Найти вероятность того, что после осмотра наладчиком хотя бы один узел устройства будет неисправным.

7. В среднем по 17% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 14 договоров с наступление страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) 3 договора; 2) не менее двух; 3) чему равно ожидаемое число договоров, которые будут связаны с выплатой страховой суммы? 4) чему равно наивероятнейшее число договоров, которые будут связаны с выплатой страховой суммы?

8. Вероятность выхода из строя одного прибора равна 0,15. Найти вероятность того, что из 90 имеющихся приборов выйдет из строя: а) ровно 10; б) больше 15, но меньше 20.

9. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,6. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0,95, что доля проданных среди них отклонится от 0,6 не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине)?

10. Доход от некоторого рискованного бизнеса составляет сумму около 1000 у.е. с заданным рядом распределения (знак минус означает убыток):

xi	–2000	–1000	0	1000	2000	3000
pi	0,1	0,1	0,2	0,2	0,3	0,1

а) Какой наиболее вероятностный денежный доход рискованного бизнеса? б) Является ли этот риск вероятностно-успешным? Объясните. в) Чему равен на длительный период средний доход от этого бизнеса? г) Какова хорошая мера риска вложений в такое рискованное предприятие? Почему? Вычислите эту меру.

11. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x₁ и x₂, причем x₁<x₂. Вероятность того, что X примет значение x₁ равно 0,4. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 2,2 и дисперсию D[X] = 0,96.

12. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения

Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).

13. Известны математическое ожидание a=6 и среднее квадратичное отклонение =4 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (1;8), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на =3.

14. Фирма, занимающая продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов – есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением =550 и неизвестным математическим ожиданием a. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 8500. Найти среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

Э, МР, БМ, СМ

Типовой расчет