71. Дискретизация сигналов. Теорема Котельникова.

Первичный сигнал чаще всего представ­ляет собой непрерывную ф-цию времени f(t). Однако во многих случаях целесооб­разно (или необходимо) превратить его в дискретный сигнал, т. е. заменить ф-цию f(t) последовательностью ее отсчетов f(t_k), взятых через некоторый интервал времени Δt так, что t_k=kΔt, где k=0, 1, 2... При такой дискретизации сигналов появляется возможность одновременной передачи не­скольких сообщений по одному каналу пу­тем временного уплотнения кана­лов, т. е. передачи в промежутках между отсчетами одного сигнала отсчетов других сигналов. При дискретизации сигналов по­являются новые способы борьбы с помеха­ми. Дискретный сигнал поддается кодиро­ванию, что облегчает задачу введения ин­формации в ЭВМ и обмена информацией между ними.

Дискретизация сигналов во времени должна осуществляться с минимальной по­терей информации. Это значит, что дискрет­ные отсчеты непрерывной ф-ции времени должны быть достаточны для обратного преобразования их в такую же (или близ­кую) ф-цию времени (на приемном конце).

Теорема Котельникова. Взаимная одно­значность преобразования из непрерывного сигнала в дискретный возможна лишь для ф-ций времени с ограниченной шириной спектра. Условия, позволяющие осущест­вить дискретизацию сигнала без потерь ин­формации, иллюстрирует рис. 7-7, в.

Слева изображены отсчеты через ин­тервалы Δt ф-циис ограниченной ши­риной спектраСпектр дискретных отсчетов (справа) показывает, что вся ин­формация О ф-циисодержится в ос­новном спектре (вполосе 0-Ω). Дополни­тельные (сдвинутые наnω₀) спектры после передачи дискретизированного сигнала дол­жны быть подавлены фильтром нижних ча­стот с частотой среза ω_cp = Ω. Это можно сделать, если основной и дополнительные спектры не пересекаются (рис. 7-7, г), т. е. должно выполняться условие

или

откуда

Это является обоснованием теоремы Котельникова, которая гласит: ф-ция f(t), не содержащая частот выше F (Гц), полностью определяется последовательностью своих значений в моменты времени, отстоя­щие друг от друга на 1/2F (см. § 6-5).

Рис. 7-9. График функций, по которым осущест­влено разложение в ряде Котельникова.

Явную зависимость ф-ции f(t) с огра­ниченной шириной спектра от своих отсче­тов f(kΔt), взятых через интервал Δt=l/2F, дает выражение

(7-36)

которое является разложением сигнала f(t) в бесконечный ряд (k=0±1; ±2...):

(7-37)

составленный из ф-ций (рис. 7-9)

(7-38)

Коэффициентампри этих ф-циях яв­ляются отсчеты сигнала f(t), отстоящие на Δt=l/2F с друг от друга.

Ф-цииобладают свойствами ор­тогональности:

Разложение сигнала в бесконечный ряд (7-36) является точным при условии, что спектр ф-ции f(t) ограничен частотой F. Это условие в большинстве случаев выпол­няется лишь приближенно в результате пре­небрежения высокочастотными составляю­щими спектра, превышающими некоторую частоту F. При этом представление сигнала f(t) рядом (7*36) также становится при­ближенным. Если ε — энергия неограничен­ного спектра ф-ции f(t), а Δε — энергия пренебрегаемых его высокочастотных со­ставляющих, то средний квадрат относи­тельной погрешности разложения f(t) в ряд (7-36) имеет порядок Δε / ε . Следователь­но, указанное разложение тем более точно, чем меньше доля энергии спектральных со­ставляющих ф-ции f(t), находящихся за пределами полосы F.

Разложение (7-36) предполагает сня­тие бесконечного числа отсчетов с бесконеч­но длящегося сигнала. Но сигналы всегда ограничены во времени некоторым проме­жутком Т, и, следовательно, практической дискретизации сигнала соответствует вы­ражение

(7-39)

где n = T/Δt = 2FT — число отсчетов ф-ции f(t), снятых за время Т через Δt = 1/2F.

Разложение (7-39) ф-ции f(t) на конеч­ном интервале времени Т в принципе не может быть точным, так как из преобразо­ваний Фурье следует, что ф-ция, заданная в конечном интервале времени, не может иметь ограниченный спектр. Следовательно, сигнал с ограниченным спектром, наблюда­емый в ограниченном интервале времени Т, может быть восстановлен по n=2FT отсче­там лишь приближенно. Погрешность равна нулю в точках отсчета, отлична от нуля ме­жду точками отсчета и растет по мере при­ближения к краям интервала Т. Усиление неравенства n = 2FT>> 1 снижает макси­мальную погрешность.