57. Базисные функции. Ортогональные и ортонормированные функции.

Спектральное представление периодических сигналов рядами Фурье

В теории электрических цепей и радиоэлектронике используется оригиналь­ный прием, при котором реальные сигналы заменяют (аппроксимируют, представляют, декомпозируют) набором идеализированных математических моделей, описываемых простыми функциями. Это дает важный инструмент для анализа прохождения сигналов через радиотехнические цепи. Подобным образом можно также упростить задачу синтеза сложных сигналов из сово­купности простых сигналов.

Одним из наиболее удобных способов описания исследуемого сигнала является его аналитическое представление с помощью системы некоторых взаимосвязанных функций времени, которую называют базисной:

(2.2)

Здесь1,2,3...

Представление сигналапростыми моделями существенно упрощается, если выбрана система базисных функций, обладающих свойствомортонормированности (ортогональности и нормированности). В математике такую систему базисных функций называют ортонормированным базисом.

Две функцииортогональны на интервале, если их скалярное произведение (интеграл от произведения)

(2.3)

при том условии, что ни одна из этих функций не равна тождественно нулю при заданных свойствах.

Свойство ортогональности функций (в данном случае сигналов) обяза­тельно связано с интервалом их определения (рис. 2.4). Например, гармони­ческие сигналы ортогональны на любом интервале времени, длительность которого равна целому числу полуперио­дов(рис. 2.4, а). Следовательно, в первом периоде сигналыортогональны на интервале; однако на интервалеони уже неортогональны. На рис. 2.4,б сигналы ортогональны вследствие разновре­менности их появления.

Рис. 2.4. Ортогональные сигналы: а — ортогональность на интервале; б— ортогональность из-за разновременности появления

Из математики известно, что, если для любой пары функций из ортого­нальной системы (2.3) выполняется условие

(2.4)

то данная система функций — ортонормированна (нормирована к1).

Фурье показал, что любое изменение во времени некоторой функции можно представить (аппроксимировать) в виде конечной или бесконечной суммы ряда гармонических колебаний с разными амплитудами, частотами и начальными фазами. Этой функцией может быть ток или напряжение в некоторой электрической цепи. Столь простое представление сложного изменения во времени какой-либо физической величины в виде суммы ряда простейших гармонических колебаний могло показаться на первый взгляд лишь математическим трю­ком. Но это не трюк. Несложный пример доказательства рассуждений Фурье показан на рис. 2.5. Периодическая, достаточно сложная по форме кривая (рис. 2.5, а) — это сумма двух синусоид разных частот: (рис. 2.5, б) первой и удвоенной (рис. 2.5, в).

Пусть на заданном интервале временидействует произвольный не­прерывный сигнали для его аппроксимации используется система идеа­лизированных функций (2.2), являющаяся ортонормированной. Тогда дан­ный сигнал может быть представленобобщенным рядом Фурье

(2.5)

где— некоторые постоянные коэффициенты.

Для определения коэффициентов данного ряда выберем одну из базис­ных функцийс произвольным номером. Умножим обе части выраже­ния (2.5) на эту функцию и проинтегрируем результат по времени

Вследствие ортонормированнрсти базиса выбранных функций в правой части этого равенства все члены суммы приобратятся в нуль. Ненуле­вым останется только единственный член суммы с номером.