5. Геометрия зубчатых колес и передач

Зацеплением называют процесс передачи движения с помощью высшей кинематической пары; этим же термином часто называют и саму кинематическую пару.

Рис. 5.1

5.1. Основной закон зацепления.

Сопряженные профили

Кинематика и геометрия плоского зацепления обладают следующим свойством: контактная нормаль пересекает межосевую линию в точке, которая делит межосевое расстояние на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям звеньев.

Это основополагающее для теории плоских зацеплений утверждение называют основным законом зацепления или теоремой Р. Виллиса.

На рис. 5.1 обозначены:

Y – контактная точка;

–контактная нормаль;

–межосевая линия;

П – полюс зацепления;

–межосевое расстояние;

таким образом, согласно основному закону зацепления

. (5.1)

С зацепляющимися звеньями тесно связаны начальные окружности диаметров , которые касаются друг друга в полюсе и, вращаясь с угловыми скоростями, перекатываются одна по другой без скольжения.

Взаимодействующие профили, для которых в любой момент зацепления при выполняется соотношение (5.1), называютсопряженными; говорят также, что эти профили очерчены взаимно огибаемыми кривыми.

Один из двух сопряженных профилей может быть выбран произвольно, тогда геометрия второго профиля должна быть определена исходя из основного закона зацепления. Желательно, чтобы оба сопряженных профиля были очерчены однотипными кривыми; вид таких кривых определяет вид зацепления (эвольвентное, циклоидальное и т.д.).

В настоящее время наибольшее распространение получило эвольвентное зацепление, когда каждая из взаимно огибаемых кривых является эвольвентой окружности.

5.2. Эвольвента окружности, ее уравнение и свойства

Рис. 5.2

Эвольвента окружности (в дальнейшем просто эвольвента) представляет собой траекторию любой точки прямой, перекатываемой без скольжения по окружности. Иногда эвольвенту представляют как траекторию любой точки гибкой нерастяжимой нити, сматываемой с окружности и поэтому ее часто называют разверткой окружности.

Для описания геометрии и свойств эвольвенты используют следующие термины и обозначения:

основная окружность – окружность, разверткой которой является эвольвента;

(или ) – диаметр (и, соответственно, радиус) основной окружности;

B – предельная точка эвольвенты, Y– текущая точка, – радиус-вектор текущей точки эвольвенты;

NY – производящая прямая, она же – нормаль к эвольвенте в точке Y (при этом точка N – текущий центр кривизны эвольвенты, т. е. – еерадиус кривизны в точке Y).

Из определения эвольвенты как развертки окружности следует, что дуга BN и длина отрезка NY одинаковы;

–угол развернутости (центральный угол, соответствующий дуге развернутости BN);

–угол профиля (угол между радиус-вектором текущей точки Y эвольвенты и касательной к ней в этой точке); очевидно, что

;

–полярный угол текущей точки эвольвенты (читается – инволюта альфа игрек).

Для текущей точки Y эвольвенты, принадлежащей окружности радиуса , перечисленные параметры связаны соотношениями:

угол профиля

(5.1)

угол развернутости (в радианах)

; (5.2)

инволюта угла профиля (полярный угол точки Y в радианах)

; (5.3)

радиус кривизны эвольвенты в точке Y

. (5.4)

Уравнение эвольвенты в полярной параметрической форме

(5.5)

Формулы (5.2) – (5.5) связывают между собой параметры ,,,ипри известном диаметре основной окружности; зная любой из этих параметров, нетрудно найти остальные.