- •Речевая система
- •Система управления с обратной связью
- •Вернемся к выражению (11) для решения системы (10). Если в этом выражении иизвестны, то можно найтидля всех моментов.
- •Пусть в системе, представленной линейной моделью в пространстве состояний
- •Устойчивость систем
- •Устойчивость линейных непрерывных систем
- •Устойчивость линейных дискретных систем.
- •Критерии устойчивости полиномов
- •Графические критерии устойчивости полиномов Пусть задан полином
- •Алгоритм Рауса
- •Устойчивость дискретных полиномов
- •Частотные критерии устойчивости замкнутых систем
- •Устойчивость нелинейных систем
- •Операции над множествами
- •1.3. Упорядоченное множество и прямое произведение множеств
- •1.4. Соответствия
- •1.5. Конечные и бесконечные множества. Мощность множества
- •5. Случайные процессы в системах управления
- •5.1. Случайные величины и их основные характеристики
- •5.1.1. Интегральный закон распределения (функция распределения)
- •5.1.2. Дифференциальный закон распределения (плотность вероятности)
- •5.1.3. Моменты случайных величин и их свойства
- •5.2. Векторные случайные величины
- •5.2.1. Функция распределения двумерного случайного вектора
- •5.2.2. Функция плотности вероятности двумерного случайного вектора
- •5.2.3. Моменты системы случайных величин
- •5.3. Случайные функции. Многомерные законы распределения
- •5.4. Характеристики случайных функций
- •5.5. Операции над случайными функциями
- •5.5.1. Суммирование случайной и детерминированной функций
- •5.5.2. Интегрирование случайной функции
- •5.5.3. Дифференцирование случайной функции
- •5.5.4. Сложение случайных функций
- •5.6. Стационарные случайные процессы
- •5.6.1. Эргодическая теорема
- •5.6.2. Корреляционная функция стационарного случайного процесса
- •5.6.3. Расчет корреляционной функции по экспериментальным данным
- •5.7. Спектральная плотность стационарного случайного процесса
- •5.8. Связь между спектральной плотностью и корреляционной функцией стационарного случайного процесса
- •5.9. Случайные функции и их характеристики (примеры)
- •5.10. Прохождение стационарного случайного сигнала через линейную систему
- •Введение
- •Алгоритм нелинейного динамического прогнозирования и некоторые его модификации
- •Интерпретация алгоритма с использованием виртуальных моделей как процедуры ассоциативного поиска
5.5.1. Суммирование случайной и детерминированной функций
Пусть к случайной функции X(t) прибавляется неслучайное слагаемое (х):
Y(t)=X(t)+ (t),
где Y(t)- новая случайная функция.
Посмотрим, как изменяется математическое ожидание и корреляционная функция случайного процесса. Пусть случайная функция X(t) имеет одномерную функцию плотности вероятности f(x,t). Если к случайной величине добавить неслучайную X(t)+ +(t), то закон распределения не изменится. Действительно, (t) означает, что при заданном t - (t) имеет вполне определенное значение. Поэтому при одном и том же t значения X(t) и X(t)+(t) будут иметь одну и ту же вероятность. От прибавления в момент t постоянной величины к X(t) закон распределения только лишь сместится по оси X.
f (y,t)=f[x+),t].
Рассмотрим выражение
Y(t)=X(t)+(t) (5) где Y- случайная величина, X - случайная величина, - константа (при заданном t).
Найдем дифференциал от левой и правой частей (5): dy=dx (при фиксированном t).
Умножаем (5) на f(y,t)dy и интегрируем:
Так как пределы интегрирования , то
Отсюда следует: my=mx+(t).
Итак, при прибавлении к случайной функции неслучайного слагаемого к ее математическому ожиданию прибавляется то же неслучайное слагаемое.
Корреляционную функцию случайной функции у(t) можно определить следующим образом:
Таким образом, при прибавлении неслучайного слагаемого к случайной функции корреляционная функция случайной функции не меняется.
5.5.2. Интегрирование случайной функции
Пусть
Запишем интеграл как предел суммы:
Применим к последнему выражению операцию математического ожидания:
Математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от ее математического ожидания.
Определим корреляционную функцию Ky(t1,t2). По определению корреляционной функции
Перемножив последние выражения, получим:
Последнее выражение можно переписать в виде двойного интеграла:
Применив операцию математического ожидания и меняя ее в правой части с операцией интегрирования, получим:
что дает окончательно
Следовательно, чтобы получить корреляционную функцию интеграла от случайной функции, необходимо дважды проинтегрировать корреляционную функцию исходной случайной функции - первый раз по одному аргументу, затем по другому.
5.5.3. Дифференцирование случайной функции
Пусть
Найдем характеристики случайной функции Y(t): my(t) и Ky(t1,t2).
Запишем Y(t) как предел отношения
Применяя операцию математического ожидания, получим:
Таким образом, математическое ожидание производной от случайной функции равно производной от ее математического ожидания.
Будем искать корреляционную функцию Ky(t1,t2).
По определению
Подставим выражения для
Выражение в квадратных скобках представим в виде второй смешанной частной производной:
Так как математическое ожидание производной равно производной математического ожидания, получим:
Следовательно, чтобы найти корреляционную функцию производной случайного процесса, нужно дважды продифференцировать корреляционную функцию исходной случайной функции: сначала по одному аргументу, затем по другому.