Частотные критерии устойчивости замкнутых систем

Начнем со случая одномерных систем. Пусть передаточная функция объекта (либо объекта совместно с регулятором) в непрерывной системе имеет вид

где A(s),B(s) — взаимно простые полиномы степеней и соответственно, причем (т.е. выполняется условие реализуемости). Объект замкнут единичной обратной связью (рис. 5.4); тогда передаточная функция замкнутой системы равна

(5.20)

Таким образом, характеристический полином равен P(s) = A(s) + B(s) и в случае, если А и В заданы явно, проверка его устойчивости не вызывает проблем. Однако во многих случаях нам доступна лишь частотная

Рис. 3.4. Отрицательная единичная обратная связь

характеристика разомкнутой системы, т.е. функция (во многих практических задачах именно частотная характеристика доступна измерению). Точка при изменении от 0 до описывает некоторую кривую на комплексной плоскости, которая называется годографом Найквиста. Задача заключается в том, чтобы по поведению этой кривой сделать выводы об устойчивости замкнутой системы, т. е. о гурвицевости P(s). Ее простое решение дается нижеследующим критерием Найквиста.

Теорема 5.7. Пусть передаточная функция G(s) разомкнутой системы имеет р неустойчивых полюсов и устойчивых и не имеет мнимых полюсов. Тогда замкнутая система (5.20) устойчива, если и только если не проходит через точку -1 и делает вокруг нее р/2 оборотов против часовой стрелки.

Доказательство. Для замкнутой системы

поэтому при изменении от 0 до

По условию 3 теоремы 5.5 полином P{s) устойчив тогда и только тогда, когда ,

. В силу предположений о передаточной функции G(s) имеем и можно доказать справедливость равенства

.

Таким образом, должно быть и

.

Это и означает, что делает р/2 оборотов вокруг точки -1. При этом подразумевается, что 1/2 оборота — это приращение аргумента на .

Заметим, что при имеем , а при имеем ; если , и =0, если , т.е. годограф начинается и заканчивается на вещественной оси.

В частности, если B(s) — устойчивый полином, то критерий Найквиста принимает простейший вид: годограф не должен охватывать точку -1.

В связи с годографом Найквиста введем понятия, широко употребляемые в инженерной практике (см. рис. 5.5).

Рис. 3.5. Годограф Найквиста. Запасы устойчивости по амплитуде и по фазе

Запасом устойчивости по амплитуде L называется величина, обратная расстоянию от нуля до ближайшего к критической точке -1 пересечения годографа с отрицательной вещественной полуосью.

Запасом устойчивости по фазе называется угол между отрицательной вещественной полуосью и той точкой, в которой || = 1.

Ясно, что чем больше эти величины, тем дальше годограф от точки -1, поэтому они могут служить некоторой мерой устойчивости. Введем определение частоты среза _с, для которой |)|=1. Таким образом, запас устойчивости по фазе — это значение .

При рассмотрении проблем устойчивости систем, заданных передаточными функциями, надо иметь в виду одно обстоятельство, связанное с возможным сокращением нулей и полюсов, т. е. наличием общих корней у числителя и знаменателя передаточной функции. Рассмотрим, например, последовательное соединение объекта с передаточной функцией

и регулятора

Поступая формально, вычисляем передаточную функцию

и эта передаточная функция устойчива (единственный полюс -1 лежит в левой полуплоскости). Однако соответствующие дифференциальные уравнения имеют вид

'"' U -

откуда, подставляя и в первое уравнение, получаем

Такое дифференциальное уравнение даже при нулевом входе w=0 (т.е. неустойчиво. Действительно, его решение

растет с ростом t при сколь угодно малом .

Аналогичным образом даже при нулевых начальных условиях при малых решение возрастает. Это противоречие возникло вследствие сокращения неустойчивого корня s = 1

Таким образом, мы приходим к важному выводу: сокращение общих неустойчивых нулей и полюсов передаточной функции недопустимо. В то же время выводы об устойчивости передаточной функции, имеющей общие устойчивые нули и полюса, можно делать и после сокращения этих множителей.

Перейдем теперь к случаю многомерных систем.

Как известно (см. лек.2), передаточная функция системы

(5.21)

имеет вид

, где W(s) — матрица, все элементы которой являются полиномами от s, a P(s) = det(sI- A) — характеристический полином матрицы А, т. е. Р(s) является общим знаменателем всех элементов H(s). Если задана лишь матрица H(s), а не реализация в пространстве состояний (5.21), то критерий устойчивости формулируется следующим образом:

Теорема 5.8. Система с матричной передаточной функцией H(s) устойчива тогда и только тогда, когда полюса H(s) лежат в левой полуплоскости.

Эта теорема есть обобщение теоремы 5.2 на многомерный случай. Такие матричные передаточные функции называются устойчивыми.

Многомерный аналог критерия Найквиста отвечает следующей задаче. Задана матричная передаточная функция G(s) открытой системы. Будет устойчива замкнутая система, получающаяся путем введения единичной обратной связи? Возникающая конфигурация показана на следующем рисунке:

Многомерная система, замкнутая единичной обратной связью

(двойные линии отвечают векторным сигналам). Передаточная функция от входа и к выходу у вычисляется так:

Таким образом, ,

и нас интересует устойчивость этой передаточной функции. Рассмотрим годограф

пусть р — число неустойчивых полюсов G(s).

Теорема 5.9. Для устойчивости замкнутой системы на рис. Необходимо и достаточно, чтобы годограф не проходил через точку 0 и делал вокруг нее р/2 оборотов против часовой стрелки.

Доказательство этой теоремы достаточно сложно, и мы его опускаем. Покажем лишь, что в одномерном случае теорема 5.9 совпадает с обычным критерием Найквиста. В самом деле, тогда (множеству комплексных чисел), , т.е - сдвинутый на единицу вправо годограф . 1оэтому точка (-1, 0) в теореме 5.7 заменяется на точку (0, 0) в теореме 5.9.

Проблема устойчивости многомерных систем, заданных передаточными функциями, имеет некоторые особенности по сравнению с одномерным случаем. Например, для системы, изображенной на рис. …, имеется несколько передаточных функций (от входа к выходу, от входа к ошибке и т.д.), однако все они одновременно были или устойчивы, или неустойчивы. В многомерном случае это может быть не так.

Кроме того, вопрос о сокращении нулей и полюсов матричной передаточной функции совсем не прост.