14.Приближённое вычисление с помощью дифференциалов

Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Формулу

задающую определение дифференциала, можно записать в виде приближённого равенства

если считать (при малых ) значение бесконечно малой величинымного меньшим, чем. Переносяв правую часть, получаем:

где . С учётом выражения дифференциала через частные производные, находим, что

Эту формулу можно применять для приближённого вычисления значений функции в точках, если известны значенияи её частных производныхв точке. 15.Производные и дифференциалы высших порядков 

Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,

f"(x) = (f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f⁽ⁿ⁾. Итак,

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n-1)(x))',   n ϵ N,   f⁽⁰⁾(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dⁿf(x) = d(d^n-1f(x)),   d⁰f(x) = f(x),   n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const   и   d²x = d³x = ... = dⁿx = 0.

В этом случае справедлива формула

dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ.

16. Понятие дифференцируемости функции данной точки . Связь между понятие дифференцированности и непрерывности

17.Теорема Ферма

18.Теорема Ролля

19. Теорема Лагранжа

Теорема. Пусть функция дифференцируема в открытом промежутке и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка , что (13)

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке , а на его концах принимает одинаковые значения:

Тогда удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка , в которой производная функции равна нулю:

Следствие 1. В частном случае, когда , из теоремы Лагранжа вытекает, что существует точка, в которой производная функцииравна нулю:. Это означает, что теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.

Следствие 2. Если во всех точках некоторого промежутка, тов этом промежутке.

Действительно, пусть и– произвольные точки промежуткаи. Применяя теорему Лагранжа к промежутку, получим

Однако во всех точках промежутка. Тогда

Учитывая произвольность точек и, получаем требуемое утверждение.

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа. Разностное отношение в правой части формулы (13) есть угловой коэффициент секущей, проходящей через точки и, а производнаяравна угловому коэффициенту касательной к графику функциив некоторой средней точке промежутка. Поэтому за теоремой Лагранжа закрепилось название “теорема о среднем”.

Рис. 6. Теорема Лагранжа устанавливает условия существования хотя бы одной точки c, в которой касательная к графику функции параллельна секущей AB. Таких точек может быть несколько.

Физическая интерпретацию теоремы Лагранжа. Пусть функция описывает смещение частицы из начального положения в зависимости от времени x ее движения по прямой. Тогда разностное отношение

представляет собой среднюю скорость движения частицы за промежуток времени , а производная –мгновенную скорость движения частицы в момент времени c. Существует такой момент времени, в который мгновенная скорость движения равна средней скорости.

Отметим, что формула (13) сохраняет свою справедливость и при b < a. Если применить теорему Лагранжа к промежутку и представить значение c в виде

где то формула (13) примет вид(14)

Равенство (14) дает точное значение для приращения функции при конечном значении приращения аргумента и называется формулой конечных приращений. Единственным недостатком этой замечательной формулы является присутствие в ней неопределенного числа θ. 20. Теорема Коши