28. Понятие первообразной неопределенной функции 29. Основные свойства неопределенного интеграла

Основные свойства неопределенного интеграла

Примеры решений задач

Решить неопределенный интеграл

ответ и решение

Решить неопределенный интеграл

ответ и решение

Операция интегрирования функции обладает некоторыми свойствами, которые помогают при вычислении неопределенных интегралов. Ниже выписана таблица основных свойств интегралов.

Данные свойства позволяют свести исходныйнеопределенный интеграл к серии более легких и простыхинтегралов, которые берутся из основной таблицы неопределенных интегралов.

1. 

2. 

3.    где

4. 

Здесь C-произвольная постоянная, т.к. производная от постоянной есть нуль, следовательно,неопределенный интеграл определяется с точностью до постоянной.

30. Интегрирование методом замены переменной

Метод замены переменной (метод подстановки) [править]

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановкугде— функция, имеющая непрерывнуюпроизводную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаемформулу интегрирования подстановкой:

31. Интегрирование неопределенного интеграла по частям

Интегрирование по частям [править]

Основная статья: Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

Или:

В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл

где — многочлен-ой степени.

32. Интегрированы рациональной функции

Интегрирование рациональных дробей [править]

Основная статья: Разложение дробей при интегрировании

Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

где — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощьюметода неопределённых коэффициентов.

Примеры [править]

Вычислить: 

Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:

Следовательно 

Тогда 

Теперь легко вычислить исходный интеграл 

33. Интегрирование геометрической функции