21. Правила лопиталя

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность

типа или.

Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

Если и, то ;

Если и, то аналогично .

Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа . Первые две неопределенностиможно свести к типуилис помощью алгебраических преобразований. А неопределенностисводятся к типус помощью соотношения

Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов.

22. Признаки монотонности функции

Функция монотонна повсюду, если она непрерывна, а её производная в существует в любой точке и не равна нулю, либо равна нулю повсюду. Что равносильно тому, что функция повсюду возрастает, убывает или является константой.

Пусть функция у = f(x) определена и дифференцируема в интервале ]а, Ь[.

Для того чтобы функция f(x) была неубывающей (невозраста-ющей) в интервале ]а, Ъ[, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках интервала ]а, Ь[ производная f'(x) > 0 (/'(*) < 0).

Для того чтобы функция f(x) была строго возрастающей (строго убывающей) в интервале ]а,Ь[, достаточно, чтобы во всех точках интервала ]а, Ь[ производная f'(x) > 0

23.Достаточные условия локального экстремума

1. Случай функции одной переменной. Заметим, что максимум или минимум дифференцируемой функции может находиться лишь в ее критической точке (необходимое условие экстремума).

Пусть х0 – критическая (стационарная) точка функции y = f(x) (т.е. внутренняя точка области ее определения, в которой производная равна нулю). Тогда можно сформулировать следующие достаточные условия существования экстремума в этой точке:

а) Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности U точки х0, не содержащей других критических точек. Тогда:

если при переходе через точку х0 производная f ' меняет свой знак с плюса на минус, х0 – точка (локального) максимума функции;

если при переходе через точку х0 производная меняет свой знак с минуса на плюс, х0 – точка (локального) минимума функции;

если при переходе через точку х0 производная не меняет свой знак, в точке х0 нет экстремума.

б) Пусть в точке х0 существует вторая производная функции f, f ''(x0), не равная нулю. Тогда:

если f’’(x0) > 0, х0 – точка (локального) минимума функции;

если f’’(x0) < 0, х0 – точка (локального) максимума функции.

в) Пусть в точке х0 функция дифференцируема n раз, причем f' (x0)= f ''(x0)= f '''(x0)……,

а f(n)(x0) ≠ 0. Тогда:

– если n четно и f(n)(x0) < 0, то х0 – точка (локального) максимума функции;

– если n четно и f(n)(x0) > 0, то х0 – точка (локального) минимума функции;

– если n нечетно, в точке х0 нет экстремума.

Конечно, в любой ситуации применяется наиболее удобный признак.

2. Случай функции двух переменных. Пусть функция двух переменных z = f(x; y) дифференцируема в некоторой окрестности точки М(х0; у0), дважды дифференцируема в самой точке М и при этом точка М – стационарная (критическая), т.е. полный дифференциал функции в этой точке равен нулю (что эквивалентно равенству нулю обеих частных производных функции, z'x и z'y, в этой точке).

Введем следующие обозначения:

Тогда:

– если АС – В2 > 0, то функция имеет в точке М локальный экстремум, причем в случае А > 0 минимум, а при A < 0 – максимум;

– если АС – В2 < 0, в точке М экстремума нет;

– случай АС – В2 = 0 требует дополнительного исследования.