Образец выполнения контрольной работы

Задание 1

Найти область определения функции .

Решение.

Функция существует на всей числовой оси, так как при любом значениифункция имеет определенное вещественное значение. Точек разрыва нет, поэтому интервал непрерывности совпадает с областью определения функции.

Задание 3.

1. Найти производные функций указанного порядка:

а) ,;

б) , ,

Решение.

а) Применим правило дифференцирования суммы , тогда

.

При дифференцировании первого слагаемого используем формулу , где– константа. Получим:

.

Для второго слагаемого применим формулу . Тогда

.

Итак, в результате получим:

.

б) Замечая, что является сложной функцией, где, применим правило дифференцирования сложной функции. Получим:

.

Итак, в ответе получаем .

Найдем . Так как, то. Применим формулу для вычисления производной произведения:, полагая, а. Таким образом. Как и выше, заметим, что– сложная функция, где, поэтому, а так как, имеем:

.

Итак, .

Задание 4.

1. Найти .

Решение.

.

Пояснения к решению:

1) В числителе применили формулу сокращенного умножения .

2) Поделив почленно числитель на знаменатель, представили подынтегральную функцию в виде суммы более простых функций.

3) Применили свойства неопределенного интеграла: интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от каждой функции, а также вынесли постоянный множитель за знак интеграла.

4) Использовали таблицу основных интегралов.

2. Найти .

Решение.

В этом интеграле надо сделать замену переменных.

.

Пояснения к решению:

1) Делаем замену переменных . В прямых скобках показано, почему делается именно такая замена. В остальных строках приведены вспомогательные выкладки.

2) Снова делаем замену переменных, возвращаясь к прежней переменной .

4. Найти .

Решение.

В этом случае необходимо применить формулу интегрирования по частям .

Пояснения к решению:

1. Применили формулу интегрирования по частям. Это дало возможность понизить показатель степени степенной функции.

2. Еще раз применили формулу интегрирования по частям.

Задание 5.

Вычислим интеграл , используя метод замены переменно

.

Ответ: .

Задание 6.

а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Решение. Построим фигуру, площадь которой требуется найти (рис. 2).

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как, а вершина находится в точке, где

; .

Таким образом, .

Найдём точки пересечения параболы с осью :

; ;

;

.

Парабола пересекает ось абсцисс в точках и.

Для построения прямой, заданной уравнением , достаточно указать координаты двух её точек:

	0	4
	5	7

Найдём точку пересечения прямой и параболы. Для этого решим совместно систему уравнений:

Рис. 2

Итак, прямая пересекает параболу в точках и.Площадь заштрихованной фигурынайдём по формуле

,

где

, ,,,

так как прямая является верхней границей заштрихованной области, а парабола − нижней.

Итак,

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями и, равнакв. ед.

б) Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями:,.

Решение. Объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой, определяется по формуле:

,

.

Выразим черезв уравнениях заданных кривых:

, . Решая систему уравнений

получим пределы интегрирования и.

Тогда

Ответ: Объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями,равен 0,47куб. ед.