- •Введение.
- •Обозначения и символы
- •Глава 1. Способы проецирования
- •1.1. Общие понятия метода проецирования
- •1.2. Центральное проецирование
- •1.3. Параллельное проецирование
- •1.4. Основные свойства параллельного проецирования
- •Глава 2. Точка
- •2.1. Ортогональная система двух плоскостей проекций. Эпюр Монжа
- •2.2 Ортогональная система трех плоскостей проекций
- •2.3 Точки разных углов пространства. Точки частного положения
- •Вопросы и задачи для самоконтроля
- •Глава 3. Прямые линии
- •3.1. Проекции прямой линии
- •3.2 Проекции прямых линий частного положения
- •3.3 Определение длины отрезка прямой и углов ее наклона. К плоскостям проекций (способ прямоугольного треугольника)
- •Рис3.9б. Определение длины отрезка прямой и углов ее наклона к плоскостям проекций.
- •3.4 Следы прямой
- •Рис 3.10. Следы прямой.
- •3.5 Взаимное расположение прямых.
- •Рис 3.11. Пересекающиеся прямые.
- •Вопросы и задачи для самоконтроля
- •Глава 4. Плоскость
- •4.1 Способы задания плоскости
- •4.2 Плоскости частного положения
- •4.3 Прямая линия и точка в плоскости общего положения
- •4.4. Главные линии плоскости
- •4.5. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой линии и плоскости
- •4.5.1. Параллельные плоскости.
- •4.5.2.Прямая линия, параллельная плоскости.
- •4.5.3. Пересекающиеся плоскости.
- •4.5.4.Пересечение прямой линии с плоскостью .
- •4.5.5. Прямая линия, перпендикулярная плоскости.
- •4.5.6 Взаимно перпендикулярные плоскости.
- •Вопросы и задачи для самоконтроля
- •Глава 5. Способы преобразования проекций
- •5.1 Способ замены плоскостей проекций
- •5.2 Способ вращения
- •5.2.1. Вращение вокруг проецирующих прямых
- •5.2.2 Вращение вокруг линии уровня
- •5.3. Способ плоскопараллельного перемещения
- •Вопросы и задачи для самоконтроля
- •Глава 6. Поверхности
- •6.1. Многогранные поверхности
- •6.1.1. Классификация многогранников
- •6.1.2. Некоторые позиционные задачи пересечения многогранника с прямой и плоскостью
- •6.1.3. Развертка многогранника
- •6.2. Кривые поверхности
- •6.2.1. Основные понятия
- •6.2.2. Задание поверхности вращения на чертеже. Точки и линии на поверхности
- •6.2.3. Позиционные задачи на пересечение поверхности с прямой линией и плоскостью
- •6.2.4. Взаимное пересечение поверхностей
- •Вопросы и задачи для самоконтроля
- •Глава 7. Элементы компьютерной графики в начертательной геометрии и черчении
- •7.1 Возможности системы AutoCad
- •7.1.1. Манипулятор "Мышь"
- •7.1.2. Функциональные клавиши.
- •7.1.3. Система координат
- •7.1.4. Меню команд
- •7.1.5. Указание точек
- •7.1.6. Слои, цвета типы линий
- •7.2 Примеры компьютерного решения графических
- •Список литературы
1.2. Центральное проецирование
Аппаратом центрального проецирования является плоскость проекции и центр проецирования точкаS, причемSне принадлежит. Сущность способа в том, что все проецирующие лучи исходят из центраS.
Рассмотрим ряд произвольных точек и определим их центральные проекции (рис. 1.2).
Рис. 1.2. Центральное проецирование.
Для этого из центра Sчерез точки проведем проецирующие лучи до пересечения с плоскостью проекций.AиB – проекции точекАиВна плоскость проекций.
Если для некоторой точки Кпроецирующий луч оказался параллелен плоскости проекций, то проекцияКнаходится в несобственной точке, т.е.Кудалена в бесконечность.
1.3. Параллельное проецирование
Аппаратом параллельного проецирования является плоскость проекций и заданное направление проецированияs. Центр проецированияSудален в бесконечность. Сущность способа в том, что все проецирующие лучи параллельны друг другу. Параллельное проецирование является частным случаем центрального проецирования.
Определим параллельные проекции точек AиB(рис. 1.3а).
Для этого через точки параллельно направлению проецирования проведем проецирующие лучи до пересечения с плоскостью и найдем проекции точекAиB.
Обратим внимание, что каждой точке пространства соответствует проекция на плоскости. Однако каждой проекции на плоскости соответствует бесконечное множество точек пространства, т.е. проекция точки на плоскость не определяет ее положение в пространстве.
Рис. 1.3а. Параллельное проецирование.
Для однозначного определения точки в пространстве необходимо иметь два направления проецирования s1иs2(рис. 1.3б). Тогда две проекции на плоскостьA1иА2однозначно определяют ее положение в пространстве.
Рис. 1.3б. Параллельное проецирование.
1.4. Основные свойства параллельного проецирования
При проецировании между геометрическим объектом и его проекцией существует геометрическая взаимосвязь. Некоторые свойства оригинала сохраняются и на пропорции. Такие неизменные свойства называются инвариантными (независимыми).
Перечислим их без доказательства.
проекция точки есть точка.
Проекция прямой есть прямая (в общем случае).
Не изменяется взаимная принадлежность геометрических объектов и их проекций.
Проекции отрезков взаимно параллельных прямых параллельны.
Проекции точки пересечения линии есть точки пересечения проекций этих линий.
При прямоугольном проецировании прямой угол проецируется без искажения, если одна из его сторон параллельна плоскости проекции, а другая ей не принадлежит.
Глава 2. Точка
2.1. Ортогональная система двух плоскостей проекций. Эпюр Монжа
Ортогональное или прямоугольное проецирование является частным случаем параллельного (косоугольного) проецирования. Направление проецирующих лучей в ортогональном проецировании перпендикулярно плоскости проекций.
Метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости носит название метода Монжа. Гаспар Монж (1746 - 1818 г.) – француз, основоположник начертательной геометрии.
Зададим две взаимно перпендикулярные плоскости проекций 12(рис. 2.1)1– горизонтальная плоскость проекций,2– фронтальная плоскость проекций. Линия пересечения плоскостей называетсяосью проекцийи обозначаетсях12.
Рис. 2.1. Система 2хплоскостей проекций.
Четыре двухгранных угла, на которые плоскости делят пространство, называются четвертями.
Спроецируем точку А, произвольно выбранную в первой четверти, в данной системе плоскостей проекций. Направление лучей проецированияs1перпендикулярно1иs2перпендикулярно2.А1–горизонтальнаяпроекция точкиА,А2–фронтальнаяпроекция точкиА. Проецирующие лучиАА1иАА2образуют плоскость, которая пересекает плоскость проекций по прямымАхА1иАхА2. Эти прямые перпендикулярны осиx12и называютсялиниями проекционной связи.
Повернем плоскость 1вокруг осиx12до совмещения с2на 90в направлении, указанном на чертеже (рис. 2.1). Получим одну плоскость – плоскость чертежа илиэпюр(фр. - чертеж) (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Эпюр точки.
Эпюромточки называется чертеж, на котором изображены две проекции точки, расположенные в проекционной связи.
Две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве. Если из проекции А1иА2восстановить перпендикуляры к плоскостям проекций, то точкаАопределится однозначно. ТочкаАв пространстве определена тремя координатамиx,y,z, которые можно измерять на эпюре.