- •1. Айнымалылары ажыратылған теңдеулер.
- •2. Толық дифференциалды теңдеулер
- •4. Біртекті теңдеулерге келтіретін теңдеулер.
- •5. Бірінші ретті сызықты теңдеулер
- •6. Бернулли теңдеуі
- •7. Туынды бойынша шешілмеген теңдеулер
- •9. Лагранж және Клеро теңдеулері
- •11. Реті төмендетілген теңдеулер.
- •14. N ретті сызықтық теңдеулердің сызықтық тәуелсіз шешімдері, оның Вронскианы
- •15. N ретті сызықтық теідеулер шешімдері үшін Лиувилль-Остроградский формуласы
- •16. Біртекті емес сызықты теңдеулердің жалпы шешімін тұрақты санды вариациялау әдісі (Лагранж әдісі).
- •18. Біртекті емес сызықты теңдеулердің жалпы шешімінің құрылымы.
- •19. Біртекті сызықты теңдеулер
- •20. N ретті тұрақты коэффициентті біртекті теңдеулерді Эйлер әдісімен шешу.
- •23. N ретті деференциалдық теңдеулердің шешімдерінің қасиеттері
- •29. Жай дифф теңдеулер үшін шеттік есеп. Гринн функциясы
- •5. Толык диф тендеудин жалп интегр кортып шыгару
- •7. Жогаргы ретти диф тендеудин жазлыуы
- •9. Туынды бойынша шешілмеген бірінші реттідифференциялдық теңдеудің айқындалған, айқындалмаған параметрлік түрдегі шешімдері.
- •10. Дифференциалдық теңдеулердің симметриялық жүйесі.
- •11. Вольтерр түріндегі интегралдық теңдеулер. Олардың түрлері және дифференциалдық теңдеулермен байланысы.
- •12. Фредгольм түріндегі интегралдық теңдеулер. Олардың түрлері және дифференциалдық теңдеулермен байланысы.
- •13. Бірінші ретті біртекті емес сызықтық жүйелердің жалпы шешімін тұрақтыны варияциялау әдісімен шығару.
- •14. Бірінші ретті біртекті сызықтық жүйелердің жалпы шешімінің құрылымы.
- •15. Тұрақты коэффициенттері бар сызықты бітекті жүйенің шешімін Эйлер әдісімен табу. Сипаттаушы теңдеудің түбірлерінің әртүрлі нақты сандар болатын жағдайы.
- •21.Сызықтық теңдеу үшін Пикаро теоремасы
- •24.Диффернциалдық теңдеуінің толық дифференциал болуының қажетті және жекілікті шарты.
- •26.Сызықтық дифференциалдық жүйелердің түрлері,қойылатын Коши есебінің шешімінің бар және жалғыз болу туралы теорема.
- •10. Жогары ретті туынды бойынша шешілмеген тенде
1-блок
1. Айнымалылары ажыратылған теңдеулер.
Айнымалылары ажыратылған дифф теңдеулердің жалпы түрі
M(x)N(y)dy+P(x)Q(y)dx=0 (1)
Мұндағы M, N және P, Q сәйкес түрде x және y айнымалыларынан тәуелді D облысында анықталған үздіксіз функциялар.
Бұл теңдеудің екі жағын
1/M(x)Q(y)-ге көбейтсек, ( N(y)/ Q(y)) dy+( P(x)/ M(x)) dx=0 (2)
(2)-ші теңдеуді n(y)= N(y)/ Q(y), m(x)= P(x)/ M(x)
n(y)dy+m(x)dx=0
(2)-ші теңдеуді айнымалылары ажыратылған дифф теңдеу деп атайды.
N(y)/ Q(y)) dy+( P(x)/ M(x)) dx=0
ℇ(y)+ℇ(x)+c=0 - жалпы шешім.
2. Толық дифференциалды теңдеулер
Симметриялық түрде берілген
(1)
дифференциалдық теңдеудің сол жағы кейбір екі айнымалы функциясының толық дифференциалына тең болса, яғни
(2)
онда (1) теңдеуді толық дифференциалды теңдеу деп атайды. Соңғы (2) теңдікті пайдалансақ, (1) теңдеуді былай жазуға болады:
(3)
Бұдан
(4)
өрнегі (1) теңдеудің жалпы интегралы болатынын көреміз. Сондықтан осы функциясын табу жолын келтірейік.
Әдетте, берілген теңдеудің толық дифференциалдылығын бірден байқау мүмкін емес. Сондықтан ондай жағдайды анықтайтын белгіні келтірейік.
Айталық, (1) теңдеудегі және функциялары кейбір D облысында өзінің дербес туындылары жәнемен бірге үздіксіз функциялар болсын.
Теорема. Берілген (1) теңдеу толық дифференциалды теңдеу болу үшін бір байланысты D облысында
(5)
тепе-теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеуі. Қажеттілігі. Айталық, (1) теңдеудің сол жағы кейбір функциясының толық дифференциалы болсын:
(6)
Бұл тепе-теңдіктен мына қатынастарды аламыз:
(7)
Соңғы қатынастардың біріншісін у бойынша, екіншісін х бойынша дифференциалдасақ,
(8)
тепе-теңдіктері шығады. Шарт бойынша тепе-теңдіктердің оң жақтары үздіксіз. Ендеше, олардың сол жақтары да үздіксіз. Ал үздіксіз функцияның аралас дербес туындылары өзара тең болады да,
(9)
тепе-теңдігі алынады.
Жеткіліктілігі. Айталық, (5) шарт орындалсын. Алдымен (7) қатынастардың біріншісін қанағаттандыратын функциясын іздейік. Сол бірінші қатынастыбойынша интегралдасақ, мынандай функция аламыз:
, (10)
мұнда – тек у-ке байланысты кез келген функция және ол үздіксіз дифференциалданатын функция болсын.
Енді осы функциясын (7) қатынастардың екіншісі орындалaтындай етіп алайық, яғни
(11)
Бұл жерде мына теңдікті көрсете кетейік:
Сондықтан (11) қатынас былай жазылады:
немесе
(12)
Осыдан
(13)
Осы табылған функциясын (10) өрнекке апарып қоятын болсақ,
(14)
функциясын аламыз. Ал бұл функцияны кез келген С санына теңестірсек, онда берілген (1) теңдеудің жалпы интегралын аламыз:
(15)
Егер функциясын құруды (7) қатынастардың екіншісінен бастасақ, онда (1) теңдеудің жалпы интегралының түрі мынандай болады:
(16)
Мысал-1. теңдеуінің жалпы интегралын табу керек болсын.
Шешуі: ,
яғни .
Бұл теңдеу толық дифференциалды теңдеу. (15) өрнекті пайдаланып жалпы интегралды іздейміз. Мұнда деп алайық. Сонда:
немесе
4. Біртекті теңдеулерге келтіретін теңдеулер.
Біртекті теңдеулердің жалпы түрі түрінде жазылады. Мұндай теңдеулералмастыруы арқылы айнымалылары ажырайды.
түріндегі теңдеулерде біртектіге келтіріледі. Мұнда анықтауыштың нөлге тең, тең емес жағдайына байланысты алмастыру түрі әртүрлі болатынын көрсету керек.