15. Тұрақты коэффициенттері бар сызықты бітекті жүйенің шешімін Эйлер әдісімен табу. Сипаттаушы теңдеудің түбірлерінің әртүрлі нақты сандар болатын жағдайы.

+

+

Эйлер әдісімен анықтаймыз:

1ши туынды:

=

2ші теңдеуге қойғанда әрбір 𝜆

+ +…+

16. Тұрақты коэффициентті сызықты біртекті жүйенің сипаттаушы теңдеуінің түбірлерінің ішінде комплекс сандар болатын жағдайында жалпы шешімді құру.

𝜆= 𝛽

Мысалы:

17.Тұрақты коффициентті сызықты біртекті жүйенің сипаттаушы теңдеуінің түбірлері құрамында еселі түбірдің болатын жағдайында жалпы шешімді құру.

Тұрақты коэф-рі бар n-дәрежелі сызықтық теңдеу мынадай:

біртекті емес

Біртекті

P₁,P₂ , P_n- тұрақты сандар. Эйлер y=e^λx

λ-тұрақты сан

1)Сипатташы теңдеудің шешімдерінің түбірлерінің ішінде еселі түбір болсын.

Мысалы:λ₁ = λ₂ =……..= λ_kk<n

e^λ,x , xe^λ,x, x²e^λ,x,……x^k-1 e^λ,x

y=c₁y₁+c₂y₂+…….+c_ny_n

18.Біртекті емес сызықтық дифференциалдық жүйелердің жалпы шешімдерінің құрылымы.

Біртекті емес теңдеуді қарасытрамыз:

y₀ -біртектінің жалпы шешімі

y₁ -біртекті еместің яғни 1-ші теңдеудің бір дербес шешімі.

Жалпы шешімін табу үшін тұрақтыны варияциялау әдісімен де табу.

бізге 4- ші теңдеу жалпы шешімі белгілі болсын яғни біртектң теңдеудің

4- жалпы шешімі

c₁,c₂-

c₁менc₂ні осы 6,3- теңдеулердің шешімі болуы керек.

3-ke осында қоямыз

c’₁пен c₂’ алу үшін (8) сызықтық жүйе алдық.

19.Автономдық жүйелер

Оң жағындағы функциялар x- ке тәуелді емес

Егер X=φ(t)1-ші жүйенің шешімі болса онда x=φ(t+c) да 1- ші жүйенің шешімі, мұндағы c- тұрақты вектор.

20.Дифференциалдық теңдеудің шешімінің барлығы және оның жалғыздығы туралы Пикаро теоремасы.

Пикаро теоремасы деп Егер f(x,y) функциясы (x₀ ,y₀ ) нүктесінің бір аймағында үзіліссіз және оның үзліссіз әf/әy туындысы бар болса, онда 1-теңдеуінің 2-ші шарты орындайтын жалғыз шешімі бар.Пикаро теоремасы Егерf(x,y) функциясы(x₀ ,y₀ )1- ң бір аймағында үзіліссзі болса , және осы аймақта Липниц шартын қанағаттандырса , онда Коши есебінің 1-шешімі болады. y=y(x)=y(x, x₀ ,y₀ )Сонымен қатар ол шешім y(x)€c¹(|x-x₀ |≤h) яғни дифференциалданады. Ал y=y(x)=y(x, x₀ ,y₀ ) шешімі (|x-x₀ |≤h) болғанда R облысында жатады. яғни y(x)-y₀≤b ;

1-ші теңдеунен мынандай интегралдық теңдеуі шығады.

6 яғни 1 және 6 теңдеуінің эквиваелнтті 6- шы теңдеунің кез келген шешімі 1теңдеуді де 2ші шартты да қанағаттандырады.6-шы теңдеуінің кез келген шешімі Коши есебі болады. 6-шы теңддеінен шешімінің барлығын және оның жалғыздығы.

21.Сызықтық теңдеу үшін Пикаро теоремасы

1)

облысындаүзіліссіз болсын.

оң жағы Пикаро теоремасының 2-шартын да орындайды. Сондықтан 1,2 Коши есебінің

2)

24.Диффернциалдық теңдеуінің толық дифференциал болуының қажетті және жекілікті шарты.

Әрбір кезде берілген теңдеудің толық дифференциалдық болатыны я болмайтынын дәлелдейтін белгі бар.Теңдеудегі M(t,x) және N(t,x ) функциялары дербес туындылармен бірге осы теңдеудің анықталу облысында үзіліссзі деп алынсын . 1-теңдеудің сол жағы U(t,x) функциясының толық дифференциалы болсын.Демек:

Бұл тепе теңдік мына тепе теңдіктерге

эквивалентті.Соңғы тепе теңдіктердің біріншісін x бойынша, ал екіншсіні t боынша дифференциалдаса

тепе теңдіктері шығады.Әдепкі қойылған шарт бойынша тепе теңдіктердің сол жақтары үзіліссіз.Ендеше олардың оң жақтары да үзіліссз.Ал онда аралас дербес туындылар бойынша өзара тең болады да,

тепе теңдігі алынады.

Сонымен егер 1 теңдеу толық дифференциал болса,онда 5 шарт орындалады, яғни 5 шарт 1 теңдеудің толық дифференциалдық болуының қажетті шарты.Бұл шарт жеткілікті де болады.Оны көрсету үшін 5 шарт орындалсын деп алып,3 немесе 4 теңдіктерді қанағаттандыратын U(t,x) функцияны табу жеткілікті.