IW_2_Math_Analysis

. (1)

Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка. Так как для

функции имеем , то, согласно формуле (1), имеем , т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой

переменной: . Поэтому формулу (1) можно записать так:

, (2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Задача 3. Найти дифференциал .

Задача 3. Найти дифференциал dy .
3.1. y x arcsin 1 x ln		x
				x2 1		,	x 0.
3.2. y tg 2arccos			,
	1 2x2			x 0.

3.3.y 1 2x ln x 1 2x .

3.4.y x2 arctg x2 1 x2 1.

3.5. y arccos 1		,
	1 2x2		x 0.

11

3.6.y x ln x x2 3 x2 3.

3.7.y arctg sh x sh x lnch x.

3.8.y arccos x2 1 x2 2 .

3.9.y ln cos2 x 1 cos4 x .

3.10.y ln x 1 x2 1 x2 arctg x.

	3.11. y	ln	x			1		ln	x2
		1 x2				2			1 x2
	3.12. y ln ex									arcsinex .
							e2 x 1

a arcsin x

2 .

3.14. y lntg x

2 x sin x.

3.13. y x

4 x2

3.15. y 2x ln

sin x 2cos x

.

3.16. y

ctg x

tg3 x 3.

3.17. y ln

x

x2

1

.

3.18. y 3

x 2

.

2x

x 2

x2

1

3.20. y ln

x2 1

1

3.19. y arctg

.

.

x

x

x2 1

3.21. y arctg

tg

1 .

2

3.22. y ln 2x 2x2 x 1 .

3.23. y ln cos x x tg x.

3.24. y ex cos 2x 2sin 2x .

3.25. y x sin ln x cosln x .

			1
					x 1 .
3.26. y	x 1			e2
			2

12

3.27.y cos x lntg x lntg 2x .

3.28.y 3 x2 x ln x 3 x2 .

3.29.y x 1 x arctg x.

3.30.y x arctg x ln 1 x2 .

3.31.y xx2 1 ln x x2 1 .

Дифференцирование. Задача 4

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Постановка задачи. Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке .

План решения. Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то

. (1)

1.Выбираем точку , ближайшую к и такую, чтобы легко вычислялись значения и .

2.Вычисляем , и .

3.По формуле (1) вычисляем .

Задача 4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала.

.

В нашем случае: , , .

Вычисляем:

; 13

,

.

Имеем:

Задача 4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала.

4.1. y 3

x 7,76.

x,

4.2. y 3

x3

7x,

x 1,012.

4.3. y x

5 x2

2, x 0,98.

4.4. y 3

x,

x 27,54.

4.5. y arcsin x,

x 0,08.

4.6. y 3

x2

2x 5,

x 0,97.

4.7. y 3

x,

x 26,46.

4.8. y

x2

x 3,

x 1,97.

4.9. y x11,

x 1,021.

4.10. y 3

x 1,21.

x,

4.11. y x21,

x 0,998.

4.12. y 3

x 1,03.

x2 ,

4.13. y x6 ,

x 2,01.

4.14. y 3

x,

x 8,24.

4.15. y x7 ,

x 1,996.

4.16. y 3

x 7,64.

x,

4.17. y

4x 1,

x 2,56.

4.18. y 1

2x2 x 1,

x 1,016.

4.19. y 3

x,

x 8,36.

4.20. y 1

x , x 4,16.

4.21. y x7 ,

x 2,002.

4.22. y

4x 3,

x 1,78.

4.23. y

x3 ,

x 0,98.

4.24. y x5 ,

x 2,997.

14

4.25. y 5x2 , x 1,03. 4.26. y x4 , x 3,998.

4.27. y

1 x sin x,

x 0,01.

4.28. y 3

3x cos x,

x 0,01.

,

4.29. y 4

2x sin x

2

x 1,02.

4.30. y

x2 5,

x 1,97.

4.31. y 1

2x 1,

x 1,58.

Дифференцирование. Задача 5

Вычисление производных

Постановка задачи. Найти производную функции .

План решения. Задача решается в несколько этапов. На каждом этапе необходимо распознать тип функции и применить соответствующее правило дифференцирования. Возможны следующие типы функций.

1. Функция имеет вид ,

где – некоторые функции и – некоторые постоянные (константы). Используем формулу производной линейной комбинации

.

2. Функция имеет вид . Используем формулу производной произведения:

.

3. Функция имеет вид

. Используем формулу производной частного:

.

4. Функция имеет вид . Используем формулу производной сложной функции:

15

.

5. Функция имеет вид . Производная такой функции вычисляется при помощи формулы

.

Переход от этапа к этапу совершается до тех пор, пока под каждым знаком производной не окажется табличная функция.

Таблица производных основных элементарных функций.

Функция

Производная

16

Задача 5. Найти производную.

.

Задача 5. Найти производную.
	2 3x3 4		x 2				2x2 1
5.1. y		x2		.	5.2.	y		1 x2		.
							3x3
	15 1 x

17

5.3. y	x4 8x2			.
	2 x2 4
	1 x8
5.5. y		1 x8 .
	12x12
	x2 6					.
5.7. y				4 x2 3
	120x5

5.9. y

4 3x3

.

x 3 2 x3 2

5.11. y

x6

x3 2

.

1 x3

5.13. y

1 x2

.

2

1 2x2

5.15. y 1 x2 3 .

3x3

5.17.y 2x 3 x 2 .

x2

5.19. y 2x2 3 x2 3 .

9x3

5.21.y 2x 1 x2 x .

x2

	5.23.	y		1		.
			x 2
				x2 4x 5

5.4. y	2x2 x 1								.
	3			2 4x
5.6. y				x2			.
		1
	2				3x4

5.8. y x2 8 x2 8 .

6x3

5.10. y 3 1 x34 2 .

x3 2

5.12. y x2 2 4 x2 .

24x3

5.14. y x 1 3x 2 .

4x2

5.16. y x6 8x3 128 .

8 x3

5.18. y 1 x2 5x3 1x .

5.20. y		x 1							.
	x2 5						x2 5
		1
5.22. y 2			x		.
		1
			x

5.24.y 3 3x2 x 1 .

x1

18

5.25. y 3

x 1

5.26. y

x 7

3

.

.

x 1 2

6 x

2

2x 7

5.27. y

x

x 1

.

5.28. y

x2

2

.

x2

x 1

2 1

x4

5.29. y x 3

2x 1 .

3x

5.30. y

x

.

2x 7

x2 2

5.31. y 3x6 4x4 x2 2 .

151 x2

Дифференцирование. Задача 6

Вычисление производных

Постановка задачи. Найти производную функции .

План решения. Задача решается в несколько этапов. На каждом этапе необходимо распознать тип функции и применить соответствующее правило дифференцирования. Возможны следующие типы функций.

1. Функция имеет вид ,

где – некоторые функции и – некоторые постоянные (константы). Используем формулу производной линейной комбинации

.

2. Функция имеет вид . Используем формулу производной произведения:

.

3. Функция имеет вид

. Используем формулу производной частного:

19

.

4. Функция имеет вид . Используем формулу производной сложной функции:

.

5. Функция имеет вид . Производная такой функции вычисляется при помощи формулы

.

Переход от этапа к этапу совершается до тех пор, пока под каждым знаком производной не окажется табличная функция.

Таблица производных основных элементарных функций.

Функция

Производная

20